第六章 数据的分析 单元复习学案 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

该初中数学单元学案以“数据的分析”为主题，聚焦集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（极差、方差、标准差）核心概念，通过“知识点总结-单元测试-答案解析”三部分设计，按“基础概念-计算方法-易错警示”递进构建学习路径，关联成绩统计、工资分析等实际情境，形成完整知识体系。 亮点在于“易错警示”模块针对中位数忘排序、方差计算步骤等高频错误，培养严谨运算能力，“从统计图分析数据”任务（如条形图求中位数、扇形图算人数）发展数据意识，单元测试中招聘成绩加权计算、射击成绩稳定性比较等问题促进推理意识。为学生提供系统复习框架，为教师单元教学提供重难点指导与实践案例支撑。

北师大版数学　八年级上册 第六章　数据的分析　单元小测 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案与解析 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【使用说明】本卷依据北师大版数学八年级上册第六章「数据的分析」编写，覆盖第 1 节「平均数」、第 2 节「中位数与众数」、第 3 节「从统计图分析数据的集中趋势」、第 4 节「数据的离散程度」全部内容，不涉及本章以外的知识。 全卷分三部分：第一部分为知识点总结；第二部分为单元小测，满分 分，建议用时 分钟；第三部分为参考答案与解析。 第一部分　知识点总结 知识点 1　平均数 1．算术平均数　一组数据 ，，， 的算术平均数为 读作「 拔」。 2．加权平均数　若 ，，， 的权分别为 ，，，，则 「权」的含义　权表示各个数据的重要程度，权越大，这个数据对平均数的影响就越大。 权可以是：次数（频数）、百分比、比例、所占份数。 例　某同学的平时成绩 分、期中成绩 分、期末成绩 分，若三项按 计入总评，则总评成绩为 3．两个常用结论 （1）若一组数据的平均数是 ，则所有数据之和 ； （2）一组数据都加上（或减去）同一个数 ，平均数也加上（或减去）； 一组数据都乘以同一个数 ，平均数也乘以 。 知识点 2　中位数与众数 1．中位数　把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序重新排列后： （1）若数据的个数是奇数，则最中间的那个数是中位数； （2）若数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数是中位数。 求中位数的第一步永远是排序，这是最容易被忽略的一步。 2．众数　一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 注意： （1）众数可能不止一个； （2）若所有数据出现的次数都相同，则这组数据没有众数； （3）众数一定是这组数据中已经出现过的数，而平均数和中位数不一定是。 3．三个统计量的特点比较 统计量 优点 缺点 适用场合 平均数 利用了全部数据的信息 容易受极端值影响 数据分布比较均匀时 中位数 不受极端值影响，计算简便 没有利用全部数据 数据中有极端值时 众数 反映数据的集中情况 可能不唯一或不存在 关心「哪个出现最多」时 选择的经验： （1）问「中等水平」「一半以上」 用中位数； （2）问「最受欢迎」「哪种型号进货最多」 用众数； （3）问「总体平均水平」且数据中没有特别大或特别小的值 用平均数。 知识点 3　从统计图分析数据的集中趋势 1．条形统计图　能清楚看出每一项的具体数量。从条形图求三个统计量时，把每个数据按它对应的人数（频数）作为权，用加权平均数计算。 图 6-1　条形统计图（横轴为成绩，纵轴为人数） 由图 6-1 可知，总人数为 （人），平均数为 把 个数据按从小到大排列，第 个和第 个都是 ，所以中位数是 分； 出现次数最多的是 （共 次），所以众数是 分。 2．折线统计图　能清楚看出数据的变化趋势（上升还是下降、变化快还是慢）。 图 6-2　折线统计图（横轴为月份，纵轴为销量） 3．扇形统计图　能清楚看出各部分占总体的百分比。 图 6-3　扇形统计图，各部分百分比之和为 知识点 4　数据的离散程度——极差、方差与标准差 1．极差　一组数据中最大值与最小值的差： 极差反映数据的变化范围，计算简便，但只用到了两个数据。 2．方差　设一组数据为 ，，，，平均数为 ，则方差为 方差的含义：各个数据与平均数的差的平方的平均数。 3．标准差　方差的算术平方根： 标准差与原数据的单位相同，因此更便于比较。 4．方差（标准差）的意义（最重要的一条） 图 6-4　两人平均数相同，但甲的波动明显比乙小 5．计算方差的四个步骤 第一步　求出平均数 ； 第二步　求出每个数据与平均数的差 ； 第三步　把这些差分别平方再求和； 第四步　除以数据的个数 。 例　求 ，，，， 的方差。 平均数为 方差为 标准差为 。 6．一个常用结论　一组数据都加上（或减去）同一个数 ，平均数改变，方差不变（因为每个数据与平均数的差没有变化）。 知识点 5　易错警示 ① 求中位数时忘记先排序。这是本章最高频的错误。 ② 数据个数为偶数时把中间某一个数当成中位数。应取中间两个数的平均数。 ③ 认为众数只有一个。众数可能有多个，也可能不存在。 ④ 加权平均数的分母写错。分母应是所有权的和，不是数据的个数。 ⑤ 算方差时忘记除以 。方差是差的平方的平均数，不是它们的和。 ⑥ 算方差时把差直接相加。必须先平方再相加，否则结果恒为 。 ⑦ 把方差与标准差混淆。标准差是方差的算术平方根，。 ⑧ 认为方差越大越好。在比较稳定性时，方差越小表示越稳定。 ⑨ 从条形图求平均数时直接把几个数值相加除以类别数。必须用加权平均数，权是各类的人数。 ⑩ 忽略极端值对平均数的影响。有极端值时，用中位数描述一般水平更合适。 第二部分　单元小测（满分 分，时间 分钟） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． 一组数据 ，，，， 的平均数是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2． 一组数据 ，，，， 的中位数是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3． 一组数据 ，，，，，， 的众数是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 和 4． 一组数据 ，，，， 的极差是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5． 数据 ，，， 的方差是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6． 甲、乙两名射击运动员平均成绩相同，其中 ，，则成绩较稳定的是（　　） A．甲　　B．乙　　C．一样稳定　　D．无法确定 7． 已知一组数据的方差是 ，则这组数据的标准差是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8． 某同学平时、期中、期末成绩分别为 分、 分、 分，若按 计入总评，则总评成绩是（　　） A． 分　　B． 分　　C． 分　　D． 分 9． 如图是某班 名同学一次测验成绩的条形统计图，则这 个数据的中位数是（　　） 第 9～10 题图 A． 分　　B． 分　　C． 分　　D． 分 10． 上图中，这 个数据的众数是（　　） A． 分　　B． 分　　C． 分　　D． 分 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． 一组数据 ，，，， 的平均数是＿＿＿＿，中位数是＿＿＿＿。 12． 一组数据 ，，， 的中位数是＿＿＿＿。 13． 若一组数据 ，，，， 的平均数是 ，则 ＿＿＿＿。 14． 数据 ，，，， 的方差是＿＿＿＿，标准差是＿＿＿＿。 15． 若一组数据的每一个数都加上 ，则新数据的平均数比原来＿＿＿＿，方差＿＿＿＿。（填「增加 」「减少 」「不变」等） 16． 如图的扇形统计图中，若被调查的总人数是 人，则 类的人数是＿＿＿＿人， 类所对应扇形的圆心角是＿＿＿＿度。 第 16 题图 三、解答题（本题共 7 小题，共 66 分） 17．（8 分）已知一组数据：，，，，，，。 （1）求这组数据的平均数； （2）求这组数据的中位数； （3）求这组数据的众数； （4）求这组数据的极差。 18．（10 分）某学校招聘教师，对应聘者从「专业知识」「教学能力」「综合素质」三个方面进行测试，某应聘者的三项成绩分别是 分、 分、 分。 （1）若三项成绩同等重要，求这位应聘者的平均成绩； （2）若三项成绩按 的比例计入总成绩，求这位应聘者的总成绩； （3）比较（1）（2）的结果，说明「权」对平均数的影响。 19．（10 分）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击 次，成绩（单位：环）如下： 甲：，，，，，； 乙：，，，，，。 第 19 题图（两人成绩的折线示意图） （1）分别求甲、乙的平均成绩； （2）分别求甲、乙成绩的方差； （3）若要从中选一人参加比赛，你认为选谁更合适？请说明理由。 20．（10 分）如图是某班 名同学一次数学测验成绩的条形统计图。 第 20 题图 （1）求这 名同学的平均成绩； （2）求这组数据的中位数和众数； （3）若把成绩不低于 分记为「优秀」，求这个班优秀率是多少； （4）这组数据的极差是多少？ 21．（10 分）某公司有 名员工，他们的月工资（单位：元）如下表所示。 职务 经理 副经理 职员 人数 月工资/元 （1）求这 名员工月工资的平均数； （2）求这 个数据的中位数和众数； （3）你认为用平均数、中位数、众数中的哪一个来描述该公司员工工资的一般水平更合适？为什么？ 22．（10 分）某商店对某种衬衫上个月的销售情况作了统计，各号型的销量（单位：件）如下表。 号型 销量/件 （1）求这批衬衫号型的众数； （2）求这批衬衫号型的中位数； （3）若商店下个月要进货 件，你建议 号型进多少件？说明理由； （4）对商店经理来说，众数、中位数、平均数中哪一个最有参考价值？ 23．（8 分）已知一组数据 ，，，， 的平均数是 ，方差是 。 （1）求 的值； （2）求新数据 ，，，， 的平均数； （3）求新数据 ，，，， 的方差，并说明理由； （4）求原数据的标准差。 第三部分　参考答案与解析 一、选择题 1．B 【解析】这组数据共有 个，平均数为 【易错点】选项 D 是数据之和，忘了除以个数。 2．C 【解析】数据 ，，，， 已经从小到大排好，共 个（奇数个），最中间的是第 个，即 。 3．C 【解析】统计各数出现的次数： 出现 次， 出现 次， 出现 次， 出现 次。 出现次数最多的是 ，所以众数是 。 【易错点】选项 D 误认为出现多次的数都是众数，其实只有出现次数最多的才是。 4．C 【解析】 5．A 【解析】平均数为 每个数据与平均数的差都是 ，所以 【方法总结】一组数据全部相同时，方差一定为 ；反过来，方差为 也说明这组数据全部相同。 6．A 【解析】平均成绩相同时，方差越小表示成绩波动越小、越稳定。 因为 ，即 ，所以甲的成绩较稳定。 7．A 【解析】标准差是方差的算术平方根： 【易错点】选项 D 是把「方差是 」误当成了「标准差是 」再开方。 8．B 【解析】按 的比例，权分别为 、、，权的和为 ，所以 【易错点】分母必须是权的和 ，不能写成数据个数 。 9．D 【解析】由条形图知，成绩 分的有 人、 分的有 人、 分的有 人、 分的有 人，共 人。 把这 个数据从小到大排列： 数据个数是偶数，取中间两个（第 个与第 个）的平均数： 10．C 【解析】 分出现 次，是出现次数最多的，所以众数是 分。 二、填空题 11． ；　 【解析】平均数为 数据已按从小到大排列，共 个，最中间的第 个是 ，所以中位数是 。 12． 【解析】数据 ，，， 共 个（偶数个），取中间两个 与 的平均数： 【易错点】偶数个数据的中位数往往不是原数据中的数，本题的 就没有出现在原数据里。 13． 【解析】由 得 14． ；　 【解析】平均数为 方差为 标准差为 。 15． 增加 ；　不变 【解析】每个数据都加上 ，平均数也随之加上 。 但每个数据与平均数的差没有变化（数据加了 ，平均数也加了 ，差不变），所以方差不变。 16． ；　 【解析】 类占 ，所以人数为 类占 ，所对应扇形的圆心角为 三、解答题 17．（8 分） （1）这组数据共有 个，它们的和为 所以平均数为 （2）先把数据从小到大排列： 共 个（奇数个），最中间的是第 个，所以中位数是 。 （3） 出现了 次，是出现次数最多的，所以众数是 。 （4） 【易错点】求中位数必须先排序。本题若不排序，直接取原数据中间的 作为中位数就错了。 18．（10 分） （1）三项同等重要，即权都相同，用算术平均数： （2）按 计入，权分别为 、、，权的和为 ，所以 （3）两次计算的数据完全相同，只是权不同，结果由 分变成了 分。 原因是：第（2）问中「专业知识」的权最大（为 ），而这位应聘者的专业知识成绩 分恰好是三项中最高的，所以总成绩被「拉高」了。 结论：权反映了各个数据的重要程度，权越大的数据对平均数的影响就越大。 19．（10 分） （1）甲的六个数据之和为 所以 乙的六个数据之和为 所以 两人的平均成绩相同，都是 环。 （2）甲的成绩中， 出现 次、 出现 次，与平均数的差分别是 与 ，所以 乙的成绩中， 出现 次、 出现 次，与平均数的差分别是 与 ，所以 （3）选甲更合适。 理由：两人的平均成绩相同（都是 环），无法用平均数分出高下，这时要比较方差。 因为 ，说明甲的成绩波动更小、更稳定。 从图中也能直观看出：甲的折线在平均数附近小幅起伏，乙的折线大起大落。 所以选甲参加比赛更合适。 【方法总结】比较两组数据时，先比平均数（看水平高低），再比方差（看是否稳定）。平均数相近时，方差小的更可取。 20．（10 分） （1）由条形图可知各成绩的人数： 分 人， 分 人， 分 人， 分 人，共 用加权平均数计算： （2）把 个数据从小到大排列： 数据个数为偶数，中位数是第 个与第 个的平均数： 分出现 次最多，所以众数是 分。 （3）不低于 分的人数为 （人），所以优秀率为 （4） 【易错点】（1）中不能算成 ，那样忽略了各成绩的人数（权），是本题最典型的错误。 21．（10 分） （1） 名员工的工资总和为 所以平均数为 （2）把 个数据从小到大排列，前 个都是 ，接着是两个 ，最后是 。 数据个数是奇数，中位数是第 个数。因为第 到第 个都是 ，所以第 个是 。 即中位数是 元。 出现了 次，是出现次数最多的，所以众数是 元。 （3）用中位数（或众数）来描述更合适。 理由：平均数是 元，但 名员工中有 人的工资只有 元，只有 人的工资高于平均数。 这是因为经理的工资 元是一个极端值，把平均数「拉高」了，使得平均数不能代表大多数员工的实际水平。 而中位数 元和众数 元都不受极端值影响，能更真实地反映该公司员工工资的一般水平。 【方法总结】当一组数据中存在特别大或特别小的极端值时，平均数会被「带偏」，此时用中位数描述一般水平更合理。这也是新闻中常说「工资被平均了」的道理。 22．（10 分） （1） 号型销量最大（ 件），出现的次数最多，所以众数是 号。 （2）总销量为 是偶数，中位数是把 件衬衫的号型从小到大排列后第 件与第 件的平均数。 累计销量： 号累计 件； 号累计 件； 号累计 件。 因为 且 ，所以第 件和第 件都是 号。 因此中位数是 号。 （3）建议 号型进货约 件。 理由：上个月 号型的销量占总销量的 按同样的比例进货 件，则 号型应进 （4）对商店经理来说，众数最有参考价值。 理由：经理最关心的是「哪种号型卖得最多」，以便决定各号型的进货数量。众数正好反映了销量最大的号型，而号型的平均数（如 号）并没有实际意义，因为并不存在这样的号型。 23．（8 分） （1）由平均数的定义得 两边同乘 ，得 （2）新数据的和为 所以新数据的平均数为 （也可以直接得出：每个数据都加 ，平均数也加 ，即 。） （3）新数据的方差仍然是 。 理由：设原数据的平均数为 ，新数据的平均数为 。 对于每一个数据，新数据与新平均数的差为 与原来的差完全相同。既然每一个差都没有变，差的平方和也没有变，除以相同的个数 后，方差自然不变。 所以新数据的方差还是 。 （4）标准差是方差的算术平方根，所以 【学后反思】本章的两条主线是「集中趋势」与「离散程度」： ① 集中趋势——平均数、中位数、众数各有所长。平均数用足了全部信息但怕极端值；中位数不怕极端值但要先排序；众数反映最集中的取值但可能不唯一。选哪一个，取决于问题问的是什么。 ② 离散程度——极差最简单但只看两端；方差与标准差刻画了全体数据围绕平均数的波动，越小越稳定。 ③ 两条常用性质——数据整体加上同一个数，平均数随之改变而方差不变；从统计图求平均数必须用加权平均数，权就是各类的频数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $