第17期 7.1 认识证明 7.2 平行线的证明（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（北师大版2024）

4 素养·拓展 数理热 志所责年组：任小蝴 质量反电话 0351-527126 数理招 2025年10月22日·星期三 初中数学 (上接第3版) 专值母 纸发行质量反情电话： 第17期总第1山61期 北师大 附加题⊙ 0351-521248 强强联合来解题 八年银 (以下球题，各地根据实称请况选周) 上接4版壶考答案】 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版杜长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707川下)邮发代号：21-204 1,(8分)观察下列等式： (2)由扇形线 第1个等式52-12=8×3： 。山西蒋珂 第2个等式92-3=8×7： 一，平行线的性质与线联合 十图，得甲车员工 入门向导 ∠DBE)■LABE■35 第3个等式：13-9■8×11： 例1如图1，AB∥CD, 工资为4千元.5千 本思进 AD⊥AC.∠B4D=35, 三，平行楼的性质与判定联合 4元 学习命题三要素 第4个等式：172-132 =8x15 例3 一块直角三角板按如图3所示的方 8千元的员工分别 ■■■■■■■ 71为竹么要证明 ACD 式收置在一张长方形纸条上，若∠【=28°，则 。四川王靖舒 1认过证期 按照以上规律，解答下列间题： 解：因为AD⊥AC 有1名2名4名 所以∠CAD=0 ∠2的度数为 一，理解命题的定义 如果足假命题，请举出一个反例 2名，1名 7.3平行线的证明 (1)写出第5个等式： 因为∠BAD■35 A28 B.56 C.36 D.62 判一件事情的句子，叫作命 (1)相等的角是对琐角： 学习目标：.经两观察，实，壮的等过 《2)写出你猜想的第n个等式： 所以甲车间员 倒1 下列语句中，娜些是命题？生不是 (2)同位角相等： 置.认识利正明的达烫量，终长抗里瓷识 用含的代数式表示)，并给子证明 折以∠CAB=∠CAD+∠BAD=25 T的平均工资为：司 命题 (3)若x>2.则*-3≥0 2了解定义，命避，公里、定的含义， 用为AB∥CD所以∠ACD=10=∠CA月 (3)计算8×3+8×7+8×11+…+8×3羽 (1)如果a>0,6>0,那么ab>0: 解：(1)是假命题如：如图1，若0B是 区分命题的条件和结论，掌援入个基本事实 2.(12分)如图.AB∥CD,点E,F分别为直 55(两我线平行，同旁内角至补》 (4×1+5×2+ (2)如果乙A+LB=180°，那么∠A与 乙AOC的平分线，则∠A0B=∠C0B,但∠AO8 3,提平行的性质定及判定定题 线AB,CD上的点，点M在两平行线AB与CD之 故填55°， 4+7×2+8×1 ∠B互为邻补角： 与∠C0B不是对西角 并能解决相关问题 间，连接EM,FM,∠AEW的平分线EN交CD于 二，平行线的性质与角平分线联合 解：如图4，过点E作MN∥AB,交AD于点 =6(千元) 232.已甲AB (3)吸烟对身体有害 点 M,交BC于点 CD,BC平分∠AD,点E在CD 方益为：而× 《4)回一个角： 补充进去，即口改成“如果两个角是对预角，那 (1)如图1，过点M作MG∥AB,若∠AEN 日以∠2■∠3（两直线平纤，内错角物等} 上，BF平分∠DBE若∠BED (5)对顶角： 么这两个相等 ■64°，∠EF■12，求∠FD的度数 由题意，得AB∥CD [(4-6)2+2×(5 (2)如图2，∠MFD的平分线FH的反向延 ■0，求∠CBF的度故， (6)内错角相等 例3指出下列命粤的条件和结论 6)2+4×(6-6)2+ 解：因为AB∥CD, 所以MN∥CD(平行于同一条直线的两条 2×(7-6)2+(8 解：(1)(2)(3)(6)是命题：(4)(5)不是 (2)是段命题.如：如图2，∠1和∠2是间位 (1)同角的补角相等： 长线交EN于点P 瓦线手行) 折以∠ABE=∠BED=7D(两黄线平行： 命 角，显然，∠1<∠2 (2)在阴一平面内，两条直战不乎行，它们 ①求证：∠AEP=∠EPH+∠HFD 内错角相等) 所以∠4=∠1=28（两直线平行，内错角 6)=12 一识列直仍转 (3)是假命跑，如：当￥■2.5时-3<0. 定相交： ②南直接写出2EF与∠EPW的数量关系 因为BC平分∠ABD,BF平分∠DBE, 和￥). 因为1.2< 船电，每个命荒由第牛性洁论组成第 三区分每件与结论 (3)如果两条真线都与第三条直线平行，那 因为∠3+∠4=90 7.6, 么这两条真线也互相平程 所以∠CBD=LBD,LDF=DBE 件咸立，且结论一定成立的命圆是真命题：如果 命题是由条件和结论两部分组成的.条件 所以∠3=90"-∠4=62 所以甲车间员 解：1》合口业写成：的果两下角品司 条件成立，不能保证结论一定成立的命圆是假是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事 以∠CBn:LCBD-∠DBiF=(LABD 历以∠2=∠3=62 工的工资收入比较 个角的补角，那么这两个角相等 命☒.虫所一个争到是真命心时。回以用准连加L这单的合题口号成”如果…， 故选D. 条件：两个角是司一个角的补角：结论：这 稳定. 以论证而判断一个命题是假命时，只要举出 的形式，“如果”引出的部分是条件，“么”引 两个角相等 44:5.号或4或号 数学成绩更好 (3)原来甲车 一个符合该命题的条件，而不满足该命则结论 H的部经是洁个有出合雪的第年中结个不是 (2)条件：在同一平面内，两条直线不平行： 20.(137 数理报杜试题研究中心 可员工工资的中位 三、16.(1)从小到大排列此数据为：5,6,7， (2)88.9 的反例就可以了，在数学中，这种方法称为“举 很期显，如“对顶角相等“，经过分析可以写成结论：这两条直线一定相交安 (参考答案见下阴】 7,8,8,8,数据8出现了三次，最多，为众数，7处 (3)此人是乙，理由如下：把乙中的其中任 数为：6=6（千 反例 “如果…，那么…”的形式，但在改写时，不 (3)条件：两条直格与第三条直找平行： 在第4位，为中位数，所以读同学所得分数的众意一个数改为其他数，这组数挺的中位数和众 例2判斯下列命是真命题还是根命题， 能简单地加上“如果"“那么”，应把省路的成分结论：这两条直线互相平行 第16期2版参考答案 63个团队收益大 数与中位数分别为8分，7分 数都不变，均为8 充》 因为甲车问员 第一步，证明的定义 基础圳练1.D:2.不变，变小 (2)该同学所得分数的平均数为：二(5+6 21.(1)D8.8,1,56 名师点晴 。八年级竞赛成绩的众数为7分，方为 工工资低于6千元 从已划条件出发，依据学过的定义，基本事 3.(1)表格从左到右、从上到下依次填人 +7×2+8×3)=7(分). 85,85.80. 1.88,九年级竞赛成靖的众数为8分，方差为 的有3名。不低于 实，定理等，按照逻辑规则.推号出结论，这一方 17,甲的平均成绩为：7x60x4 明 法称为演绎推理，演择推理的过程称为证明推 座谈会 (2)初中代麦队与高中代表队选手决赛成 1.56,所以力年级成的数又因为 6干元的有7名，新 颜的平均数相同，初中代表队选手决成的 两个年级竞赛成绩的平均数相同，九年级竞誉 理和证明是有区别的，推理是证明过程的组成 中位数高，故初中代表队的决置成墙较好 8器.2〔分)，乙的平均城绩为：1×6+82x4 数据的中位数小于 。广东 幸亚琴 =成绩波动小，所以应该给九年级领奖 6+4 原来甲车间工资的 部分， 个证明过程往往包含多个拾理 (2)八年的获奖率为：(10+7+11)÷50 来选择多个“果”中的某一个或某几个 已知：如图2，AB∥CD,直 (3)初中代队选手决臂成鳞的方差为：； 87.4〔分) 中位数，所以n的 第二步，证明的结构 (3)多因一果型， 安1W分交A星，GD于点E, 因为88.2>87,4.所以甲将被录收 =56%:九年级的我奖率为：(14+13+6)+50 小值为：7-3=4. 1.证明的基本结构是： ×[(75-85)+(80-85)2+2×(85-85)°+ :6 例如，因为a∥b,6∥c(己如). F,过E,F两点分别作∠EF 18.将这12个数据由小到大排序为：7,5 因为6函学>56%，所以九年领的获奖率高， 所以当这4名 因为…( (100-85)2]=70: 7.8,81,8.58.68.8,8.8,9.0.9.1,9.3.9.5. 所以a∥（平行于同一条直线的两条直线 ∠CFE平分子线E用，FG 五，22.1}a=6b=4.7C=4.75, 员工工低于6千 所以( 单行1 求证：FG∥EH 高中代表队选手决赛成端的方慈为：行×9.6，所以m:81片85=8,3（分），m= (2)若选众数4.7kg,估计这300箱大零 元，且是较高工资 )”里面写由因得果的依据，即“理 这种类型的拉理，必须多因”那具备时，才 分析：从结论出发，要证明FG∥EH,雾 [00-5(585+(80-85+2×8:88。《8分)m=91；93 共损坏了：300×(5-47)■90（千克）： 时，这4名员工的1 由” 能得出果 明内桥角∠HEF=∠GFE从条件出发.由AB (10-85)】=160 若速择平均数或中位数4,75k,估计运 资和收得最大值， 例咖，因为∠1和∠2是对顶角（已知）， 第三步、证期的步 ∥CD,可得内辑角∠BEF=∠CFE:由EH,FG 因为70<160，所以初中代表队选手的成9.2（分） 300箱大要共坏了：300×(5-4.75)=75（千 所以这4名员 所以∠1=∠2（项角轴等） 分别是∠BEF,∠CFE的平分线可得∠HEF= 鳞较为稳定 正明的一般步骤如下（以元何为时）： ∠GFE 4,(1)两组学牛坐位体前虽结果的最小 四，19.()英语成铺的方差为：×[（克 正明由“因”“果”和“理由”三部分组成 (3)若选择众数，10×5×300÷(300×5- 工的工资分别为 《1)根据避意，回出图形，即把命题中的文 相等，A组学生坐位体前园结果的四分位数、最 -85)2+(82-85)2+(9+-85)2+(85-85)290)=10.64(元)，所以每千克至少定价107元 4千元4千元，5千 2抽理的形式有三种， 字语言化成图形语言.同时为了叙述的方便， 证明：因为AB∥CD川已知)， 大值都高于B组，B组学生坐位体前结果的波 元5干元 (1》一因一果型 还要在闲上标出必要的字母和符号 所以∠EF=∠CFE(两查平行，内错角 +(76一5)2门=36，所以其标准笼为：√药=丘. 才不亏本： 动相对较小 (2)甲同学数学成绩的标准分为：(71 若选择平均数成中位数，10×5×0+ 所以这4名 上述的例子就是这种类型 相等) (2)根起条件和结论，结合图形，写出已知、 (2)B组有可佳是普通学生组 70)÷,万-号：莫语成统的标准分为：（器-85） (300×5-75)-10.53(元).所以每千克至少 工的工资和的最为 (2)一因多果型 求证，这一步是向符号语言转化 因为EH,FG分别是∠BEF,LCFE的平分 (3)不一定 定价0.6元才不亏本 值为：4+4+5+5 如图1，因为AD 第16期3,4版参考答案 23.(1)144.乙车抽日比的1D空月工中4月 (3)经过分折，找出由已知推出求证的速战（已知）， ←·的 46= 18{千元). BC(己知)， 径，写出证明的过程这一步是证胡的核心、一 所以∠BF。合∠BEF,∠GFE= 份工资为5千元的有：10-5-2-1=2（名） 所以∠1·∠B(两直线 因号子，所以甲同学在这次考试中， 补图路 【全文完】 般情况下，分析过程不用写出来，只要求写出证 ∠CFE(角平分我的定义) 二11.24：12.丙：13.4.2元 (下转14版中缝 平行，同位和等) 明过。 ∠2=LC(两直线平行，内错角相￥). 例明：两直线平行，内角的平分线互 所以LHEF=∠GFE(等量代换) 这种类型的推理，在具体证明时应根据需相平行， 所以G∥EH(内错角相等，两直线平行) 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 2.2认识证明 3平行线的证明 16.(10分)已知：如图10，直线AB,CD,EF被 跟踪训练 直线BF所截，请从①∠B+∠1=180，②∠2= 便配调练 侵团调练 同步检测 ∠3.入BEF中无西车为半，一个车为洁论 1.下语句中，是命题的有 1.如图1，∥6.∠1=60.则∠2= 使其成一个真命，并写出证期过程 TONGBUJIANCE 71为什么要证明 (1)条件： ,结论： (填序 ①线垂直平分线上的点到战段两端的距 【检测范围：7.1-73】 离相等 1309 B.40 C.50 D.60 一、精心选一选（每小题4分，共32分】 75:④∠AEG= PMN,其中正确的是 《2)明： ②你喜欢数学吗？ 题号1234567 A.①28④ B.4 1.下列关于断一个数学结论是否正确的额 窗取线段AB的中点 C.24 D.①D23 述正确的是 ④角平分线上的点到角阿边的距离相等 二、知心填一填（喜小题4分，共24分》 A.只需观察得出 A.1个 B.2个 1.下列悟句是命题的是 命圆“同旁内角互补”的条件是 里1 B.只需依隙经验获得 C.3个 D.4个 A.过直线外一点作这条直线的垂线 ,洁论是 ,这个合国 C.话辛自史得 2.下列选项中，德说明命题“如果：>6，那么 2如图2，在下列四组条件中，不能判定AD B.食堂的葱油鸡吃四 (填“年”或“似”)命题 D.必颈进行有根据地正明 2>62”属于假命题的反例是 BC的是 C.百家争鸣思想活 10.如图6，直线4∥6，CD⊥B于点D.若∠1 2.某公阅计划断一个形状如围1-①的喷水 A.4=1.b=-2 Bg=-3.6=1 A.∠1=∠2 D,内补角相平 =130°，则∠2= 池，后来有人建议改为图！一少的形状，且外的 C,a==1.6=2 Dg=2,b=1 B.∠3=∠4 2.如图1，直线CD∥AB,点D在数AE上 直径不变，请你比较两种方案，确定一种方案 3,把命圆“互为相反数的两个数的和为零 C.∠BAD+∠ABG=180 ∠A=35°，则∠CDB的度数是 各圆形水池的周边需用的材料多？（友情接示：比 写成“如果一，那么…”的形式： D.∠尽AC=∠ACD A.35 B.55 C.145 D.125 校两种方发中各圆形心也周长的和》 3.知图3，平行于主光轴W的光线AB和CD 4.一只皮箱的密码是 个没有相旧数字的 经过山透镜的折射后，折射光线E,DF的反向 方 位数，小光说：“它是9%5.”小明引说：“它是285.“ 长找交于主光轴MN上一点P若∠ABE=I55 11.成城、勒勤、立立、达达四人中有一个人打 17.(12分)如图11，点A,D,E,F四点共线 小亮说：“它是214.”小强说：“你门海人都只猜对 ∠CDF=15S0°，则∠EPF的度数是 碎了花瓶老师问：“谁干的？”城城说：“不是我干 ∠1=∠2.∠3=∠4.∠5=∠A求正：BE∥CF 了一个数字，但位置不同”这只皮箱的密码是 的.”勒助说：“是达达干的”立立说：“是勒勤干 3如图2是画直战影∥：的操作过程，所依据的“达达说：“不是我干的.“这四人中只有 5写出下列命魅的条件和结论，井指出它是 的数学基本事实是 人没说真话，那么花瓶是 打碎的 A方案一多 ,方案二多 真命圆还是假命圆， A.同位角相等，两直线平行 2.如图7，CD⊥AB于点D,EF⊥，A君于友F C,两种方案一样多 (1)面积相等的两个三角形全等： B过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 DGC=100“,∠BCG=80，∠1=50°，则∠2 3.如图2，点P是直线/ (2)两角分别相等且其中一组等角的对边相 4.如图4，∠1■∠2，AC平分∠DAB,且∠D C.平行于同一条直线的两条直载平行 LDAB=2:1,则∠D的度数是 D,过直线外一点有且只有一条直线与这条直 13,书桌上有一款长臂折叠ED护银灯.其 外一点，过点P面直线PA 等的两个三角形全 5如图5，EF∥AD,∠1=∠2，∠BAG= 线平行 意图如图8所示，F与桌面MN垂直，当发光的灯 PB,PC,,分别交1于点A 82°，求∠AGD的度数 4.能说明命“如果x2>1,那么>1”是假 管AB给好与桌面MN平行时，若∠DEF=126 B,C,…,请你用量角器量 命想的反例是 ∠CD=1049,可∠GDE内gT5数为 ∠1.∠2，∠3的度数，井用 具，者世一 B.x=-万 划度尺量PA,PB,PC的长度那么你发现的规律 C.x=0 D.x=2 是 5,加图3直线AB.CD时商战EF年战.G卫 4,如图3，用黑白两色棋千摆图形.农比规 分∠EFD交AB于点G.下列条件中，不能判定AB 18,(14分)如图2.直线AB∥CD,EF∥GH N 律，第个因形中黑色棋子的个数为 (用 ∠AEF的平分线交CD于点P. ∥CD的是 含n的代数式表示) B.∠1=∠3 (1)∠EP与∠PEF相等吗请说明理由 A.∠2=∠3 14.已知直我AB∥CD,点P,Q分别在AB,CD (2)若∠HG=3∠BPF,求∠EFD的度 C,∠4+∠5=180°D.∠4=∠2+∠3 6.如图，点A,B.C.D在同一条直线上，E和 上，如图9所示，射线PB按顺时针方向以每秒4” (3)点Q为射线G上一点，连接FQ,FQ若 8 888 在直线AD两，且∠E=∠F.请从①AE=DF 6如图6，AD平分∠BAG交BC于点D.点F 54 的速度旋转至PA使立即回转，并不断住返转： ∠QFH=∠FQH,且∠PEQ-∠EQF=SD,求 ∠EQF的数 幕1个 第2小 2AB=CD③EC∥BF中选两个当条件，第三个 3个 3 当结论构成一个真命题 BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相 时射线PB也停止旋转若线QC先转45秒，射线 5.见亲下列等式 (1)条件 交于点G.∠BDA+∠CEG=180 ,结论： (萌序 P啡才开始转动，当射线PB旋转的时间为 第1个等式1×3+1=2： 3 h时.PB∥OC" 号)： (1)求证：AD∥EF: 第2个等式：2×4+1=3 (2)证期你所构建的命慧是真命题 (2)若点H在FE的延长线上，且∠ED 6,下列说法中正确的是 三、耐心解一解（共44分 C,且∠F=52°，求∠H的度数 人实，观察或归纳完金以判断一个数学 5.(8分)将下列命题改1写成“如果…，耶 第3个等式：3×5+1■4： 第4个等式4×6+1=5： 结论正确与否 …”的形式，并判海命题的真似，如果是 B.证明是科学家的事，与我们没有多大关系 题。请筝出反例 C,对下然数m.+m+37一定是田教 (1》两降边长为5和7的等腰三角形的周长为 根据以上规律，解决下列问据： D.有10个苹果，将它门版9个笠中，则至 17: (1)写出第5个等式： 有一个筐中的苹果不少于2个 (2)对值相等的两个数相等 (2)请写出第n个等式： (用含n的 7.如图4，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠 式子表示，n为压整数)，并登证其正确性： 后，点C,D分别落在G,D'的位置上，EG交AD于 (3)计第：(1+g×1+1017x× 点G,已知∠EFG=56°，则∠BEG的度数是 (1+98100 .112如 B.88 C.68 D.56 8,如图5，AB∥CD,将一副4 直角三角板按如图所示的方式 摆故，∠GEF=60°，∠MNP= 数理报社试题研究中心 45,下列结论：①GE∥MP: (参考答案见下期) 2∠EFN=150:3∠BEF= (下转第4版)