第27章 反比例函数-（分层作业） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以分层设计构建反比例函数知识网络，融合概念理解、性质应用与综合建模，通过典型题例提炼解题方法，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|17题（如第2、5、8题）|反比例关系判断（乘积为常数）、k值几何意义（矩形面积）、实际问题建模|从定义到图象性质，再到简单应用，形成“概念-性质-初步应用”链条| |提优过关|3题（如18、19、20题）|函数与几何综合（矩形性质）、动态问题（等腰直角三角形存在性）、定值证明|深化函数与几何、代数的融合，构建“综合应用-拓展探究”逻辑|

（分层作业）第27章反比例函数-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 2．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 3．已知反比例函数的图象经过点，则下列结论一定成立的是（    ） A．点在同一个象限 B．若，则 C．若，则 D． 4．已知点都在函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示，当时，气体的密度是（   ） A． B． C． D． 6．若正比例函数（为常数，）与反比例函数（为常数，）图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图象交于A，B两点，点A的坐标为，则下列结论错误的是（   ） A．反比例函数表达式为 B．点B的坐标为 C．随x的增大而减小 D．当或时， 8．如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 9．已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，则的面积为______． 11．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作两坐标轴的平行线，分别交x轴、y轴于点B，C，连接，若，则k的值为____． 12．在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到时，此物体在力的方向上移动的距离是______． 13．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，一个反比例函数的图象经过点A，则该反比例函数的表达式为________．    14．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 三、解答题 15．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 16．为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒．在教室内，消毒药物在空气中的浓度y（）随时间x（min）变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段y与x成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，y与x成反比例函数关系． (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)当教室内的药物浓度不低于时，才能有效灭活病毒．则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多久？ 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标及的面积． 提优过关 18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点和，点、分别是矩形的边、与轴的交点，轴，若，点的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点是该反比例函数图象上的点，连接、得到，满足，请求出点的坐标． 19．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值； (3)若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 20．如图，动点在函数的图像上，过点分别作轴和平行线，交函数 的图像于点、，作直线，设直线的函数表达式为． (1)若点的坐标为． ①直线的函数表达式为______； ②当 时，的取值范围是______； ③点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标； (2)连接、，求证：的面积是个定值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第27章反比例函数-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A A A C C 1．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，当时，， ∴当，， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 无法得到点在同一个象限，若，则，当点在不同象限时，，； 故只有选项D正确； 故选D． 4．A 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由可得在每个象限内，y随x的增大而增大，进而由即可解答， 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，从图象获取信息求得反比例函数的解析式是解题的关键． 根据图象可知点在该反比例函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后代入时，求得对应的函数值即可． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 由图象可知，点在该反比例函数图象上， 则，即， ∴该反比例函数的解析式为， ∴当时，． 故选：Ａ． 6．A 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称的点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象的性质是解题的关键． 因为正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以它们的交点也关于原点对称，据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴它们的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标为， ∴另一个交点的坐标为． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点，反比例函数的性质，先理解题意，根据一次函数与反比例函数图象交于A，B两点，且点A的坐标为，得出点B的坐标为，，则在每个象限内，随x的增大而减小，当或时，，即可作答． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数图象交于A，B两点， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 故B选项不符合题意； 把代入，得， 解得， ∴反比例函数表达式为， 故A选项不符合题意； ∵， 则在每个象限内，随x的增大而减小， 故C选项符合题意； ∵一次函数与反比例函数图象交于， 两点， ∴当或时，， 故D选项不符合题意； 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上的点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8， ∴， ∴． 故选：C． 9． 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 10．12 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先利用反比例函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，求出的长，然后利用的面积代入求解即可． 【详解】解：把，代入， 得，， ∴，， 把，代入得 ，解得， ∴一次函数解析式为， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 故答案为：12． 11．12 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴，轴， ∴四边形是矩形 ∴ ∵点A是反比例函数图象上一点， ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴． 故答案为：12． 12．1 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键．设反比例函数关系为，代入求出的值，得到，再代入求出对应的值即可求解． 【详解】解：设反比例函数关系为， 代入，得， ∴反比例函数关系为， 当时，， 解得， 故答案为：1． 13． 【分析】本题考查了正方形的性质，求反比例函数解析式． 连接，交于E，根据正方形的性质得到，，根据k的几何意义求出，根据反比例函数图象经过第二象限得到，即可求出反比例函数的表达式． 【详解】解：如图，连接，交于E，    ∵正方形 ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 14．8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 15．(1) ， (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． （1）运用反比例函数解析式求出点、的坐标即可； （2）使用待定系数法求出一次函数的解析式； （3）根据图象判断不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点坐标为； （2）解：将 ，代入，得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：不等式，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在轴下方， 将代入，得， 解得：， 由图象可知，不等式的解集为． 16．(1) (2)此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是 【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法，将点代入即可； （2）求出正比例关系阶段的函数表达式，求出当时对应的时间，即可得出有效杀灭病毒的持续时间． 【详解】（1）解：当时，设函数的表达式为， 将代入上式得， 并解得， 即函数表达式为． （2）解：当时，设该段函数的表达式为， 将代入上式得：， 解得， 故该段的函数表达式为， 当时，解得； 当时， 时，得； ∵（min） 即此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是． 17．(1) (2)， 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、等边三角形的性质、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算；解题的关键是利用等边三角形的性质求出点的坐标，进而确定反比例函数表达式，再通过求直线解析式与反比例函数的交点得到点的坐标． （1）由及为等边三角形，可得点的坐标为；将点代入反比例函数，求出，从而得到反比例函数表达式． （2）先求出直线的解析式，再联立反比例函数解析式求出点的坐标；最后以为底，点的纵坐标为高，计算的面积． 【详解】（1）解：，为等边三角形， ， 过点B作，垂足为H， 则，， ． 点在上， ，得． 反比例函数的表达式为． （2）解：点与点关于原点对称 ． 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得， 直线的解析式为． 联立得， 解得或． 将代入得，， ． 的面积． 答：点的坐标为，的面积为． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质、三角形的面积公式； （1）根据轴以及点的坐标为，求出点的坐标，再结合，求出，再代入到，求出的值即可； （2）根据矩形的性质可得，，进而得出轴，轴，利用反比例函数的性质求出，进而得到，设点的坐标为，再利用矩形和三角形的面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵轴，点的坐标为，点是边与轴的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）得，，，， ∴， ∵矩形， ∴，，即， ∵轴， ∴轴，轴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边与轴的交点， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为或． 19．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义等；能利用全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义进行求解是解题的关键． （1）联立两个函数的解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点，由反比例函数比例系数的几何意义得，由平移得，由即可求解； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，由判定，由全等三角形的性质得，，即可求解． 【详解】（1）解：联立得，， 解得，； ，． （2）解：过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点， ，四边形是矩形， 将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故的值为； （3）解：存在； 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， （）， ，， ， ， ， 即， 在反比例函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， ． 20．(1)①；②或；③或 (2) 证明：延长分别交x轴于G，交y轴于H，设， ∴，， ∴ ， ∴的面积是个定值． 【分析】（1）①首先求出点B和C的坐标，代入直线的函数表达式为，解方程即可；②首先求出直线与x轴交点横坐标，再根据图象可得答案；③设，分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案； （2）延长分别交x轴于G，交y轴于H，设，表示出的面积即可． 【详解】（1）解：①当时，则，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 故答案为：； ②当时，， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； ③设， 当为对角线时， ， ∴ ， ∴， 当为对角线时，， ∴， 此时点B、C、D、E共线，故舍去， 当为对角线时，， ∴， ∴， 综上，或； （2）略 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点M的坐标，从而得出点B和C的坐标是解决问题（2）的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $