27.3《实际问题与反比例函数》分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册“实际问题与反比例函数”同步练，分层设计科学，覆盖工程、杠杆等7类实际问题，强化从概念到应用的知识巩固路径，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|工程、杠杆等单一知识点直接应用|以填空、选择为主，如工程问题直接写出函数关系式，夯实基础概念| |进阶思维题|跨知识点综合及变式应用|含选择、填空、解答，如矩形面积不变时长宽变化问题，提升推理能力| |中考链接题|中考真题及综合情境问题|以中考真题为主，如结合压强、行程的情境题，培养问题解决与创新意识|

人教版九年级上册 第26章 二次函数 27.3实际问题与反比例函数 本节知识点总结 1．工程问题：工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比，即 vt = k（k为工作总量）。 2．杠杆原理：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂，即 F₁l₁ = F₂l₂，当阻力和阻力臂一定时，动力F与动力臂l成反比。 3．功的问题：W = Fs，当功W为定值时，力F与位移s成反比，即 F = 。 4．行程问题：路程s一定时，平均速度v与时间t成反比，即 v = 。 5．物理中的反比例函数：①近视眼镜度数y与焦距x（米）的关系：y = ；②电功率P = ，当电压U一定时，P与R成反比；③气体压强p与体积V的关系（玻意耳定律）：pV = k（温度不变时）。 6．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：分析实际问题→确定变量关系→建立反比例函数模型→求解析式→利用图象和性质解决问题→检验结果是否符合实际意义。 7．实际问题中自变量的取值范围：要根据实际意义确定，通常x>0，有时还有上限限制。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 工程问题中的反比例函数 1．（2024秋·北京海淀·期中）某工厂要生产一批零件，工作总量为1200个，工作效率v（个/时）与工作时间t（时）之间的函数关系式为______，自变量t的取值范围是_____。 2．（2024秋·上海浦东·月考）某工程队承接了一项工程，工作总量为定值。若工作效率提高到原来的2倍，则完成工程所需时间变为原来的（　　） A．2倍 B． C．4倍 D． 3．（2024秋·广东广州·单元测）某码头要卸载一批货物，货物总量为480吨。 （1）写出平均卸载速度v（吨/天）与卸载时间t（天）之间的函数关系式； （2）若要求在8天内卸载完，平均每天至少要卸载多少吨？ 题型02 杠杆原理中的反比例函数 4．（2024秋·江苏南京·期中）如图，用撬棍撬动一块石头，已知阻力为1200N，阻力臂为0.5m。设动力为F（N），动力臂为l（m），则F与L之间的函数关系式为（　　） A．F = B．F = C．F = 600L D．F = 1200L 5．（2024秋·浙江杭州·月考）用杠杆撬重物，已知阻力为800N，阻力臂为0.6m。若动力臂为1.2m，则动力为_____N。 6．（2024秋·山东济南·期中）用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1500N，阻力臂为0.4m。 （1）求动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式； （2）若动力臂为1.5m，撬动石头至少需要多大的力？ （3）若想使动力不超过300N，动力臂至少要多长？ 题型03 功与力、位移的反比例关系 7．（2024秋·湖北武汉·月考）某人做了200J的功，设他所用的力为F（N），物体在力的方向上移动的距离为s（m），则F与s之间的函数图象大致是（　　） A．直线 B．双曲线（第一象限） C．抛物线 D．双曲线（第一、三象限） 8．（2024秋·湖南长沙·期中）已知某物体在力F的作用下沿力的方向移动了s米，所做的功为120J。若F = 40N，则s = ______m。 9．（2024秋·河南郑州·月考）某起重机做的功W为定值3000J。 （1）写出拉力F（N）与物体上升高度h（m）之间的函数关系式； （2）若拉力为500N，物体上升多高？ 题型04 行程问题中的反比例函数 10．（2024秋·河北石家庄·期中）甲、乙两地相距300km，一辆汽车从甲地开往乙地，设行驶速度为v（km/h），行驶时间为t（h），则v与t之间的函数关系式为______，若汽车速度为60km/h，则到达乙地需要______h。 11．（2024秋·陕西西安·月考）小明从家到学校的路程为定值。若他骑自行车的速度为15km/h，需要20分钟到达。若他想15分钟到达，速度应为（　　） A．18km/h B．20km/h C．22km/h D．25km/h 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）一艘轮船从A港出发到B港，航程为120海里。 （1）写出轮船速度v（海里/时）与航行时间t（时）之间的函数关系式； （2）若要求轮船在5小时内到达B港，速度至少为多少？ （3）若轮船速度不超过30海里/时，最早几小时能到达？ 题型05 物理中的反比例函数（电学、光学、气体） 13．（2024秋·重庆沙坪坝·月考）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的关系为y = 100/x。若小明的近视眼镜镜片焦距为0.25米，则他的眼镜度数为（　　） A．250度 B．400度 C．500度 D．1000度 14．（2024秋·天津南开·期中）在电压U为220V的电路中，电功率P（W）与电阻R（Ω）之间的关系为P = U²/R。当电阻R = 48.4Ω时，电功率P = ______W。 15．（2024秋·四川成都·月考）在一个密闭容器中装有一定质量的气体，当温度不变时，气体的压强p（kPa）与体积V（m³）成反比例。已知当V = 2m³时，p = 50kPa。 （1）求p与V之间的函数关系式； （2）当体积V = 5m³时，气体的压强是多少？ （3）若要求气体压强不超过20kPa，体积至少为多少？ 题型06 几何图形中的反比例函数（面积一定） 16．（2024秋·安徽合肥·期中）一个矩形的面积为24cm²，设它的长为x（cm），宽为y（cm），则y与x之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______。 17．（2024秋·福建福州·月考）一个三角形的面积为定值，设它的底边长为x，高为y，则y与x之间的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 18．（2024秋·江西南昌·期中）某矩形的面积为36cm²。 （1）写出矩形的长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系式； （2）若矩形的宽不超过4cm，长至少为多少？ （3）画出这个函数的图象（只画第一象限部分）。 题型07 建立函数模型解决实际问题 19．（2024秋·云南昆明·期中） 某蓄水池的排水管每小时排水8m³，6小时可将满池水全部排空。 （1）求蓄水池的容积； （2）设每小时排水量为Q（m³），排空时间为t（h），写出Q与t之间的函数关系式； （3）如果要在4小时内排空，每小时排水量至少为多少？ 20．（2024秋·贵州贵阳·月考）某商场出售一批商品，根据市场调查，当售价为每件x元时，每天可卖出y件，且y与x成反比例。已知当售价为50元时，每天可卖出40件。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若要求每天卖出不少于20件，售价最多为多少元？ 21．（2024秋·广西南宁·期中）某印刷厂印刷一批书籍，已知印刷成本y（元）与印刷数量x（册）之间的关系满足反比例函数模型。当印刷1000册时，每册成本为20元。 （1）求每册成本y（元）与印刷数量x（册）之间的函数关系式； （2）若印刷数量增加到2000册，每册成本为多少元？ （3）若要求每册成本不超过10元，至少要印刷多少册？ 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期中）某物体从A地到B地的路程为s（定值），则行驶速度v与时间t的函数图象是（　　） A．第一象限的双曲线 B．第一、三象限的双曲线 C．第一象限的射线 D．第一象限的抛物线 2．（2024秋·上海闵行·月考）用撬棍撬动重物，阻力和阻力臂不变。若动力臂增大到原来的3倍，则动力变为原来的（　　） A．3倍 B． C．9倍 D． 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·单元测）在电压不变的电路中，电功率P与电阻R成反比。若电阻增大到原来的2倍，则电功率变为原来的（　　） A．2倍 B． C．4倍 D． 4．（2024秋·江苏苏州·期中）某矩形的面积为24，长为x，宽为y。若长增加2，宽减少1，面积不变，则x的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）某工厂生产的产品，每件成本y（元）与生产数量x（件）成反比例。当生产100件时，每件成本为50元。若每件成本要求不超过25元，则至少要生产（　　） A．150件 B．200件 C．250件 D．300件 6．（2024秋·山东青岛·期中）下列实际问题中，两个变量之间不是反比例函数关系的是（　　） A．路程一定时，速度与时间 B．矩形面积一定时，长与宽 C．工作总量一定时，工作效率与工作时间 D．正方形的周长与边长 （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）某杠杆的阻力为600N，阻力臂为0.5m，动力臂为1.5m，则动力为______N。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）在一个密闭容器中，温度不变时，气体压强p与体积V成反比例。当V=3m³时，p=40kPa，则当V=6m³时，p=______kPa。 9．（2024秋·河南郑州·月考）近视眼镜的度数y（度）与焦距x（米）的关系为y=100/x。若某人的眼镜度数为500度，则镜片焦距为______米。 10．（2024秋·河北石家庄·期中）某三角形的面积为12cm²，设底边长为x（cm），高为y（cm），则y与x的函数关系式为______，当x=6cm时，y=______cm。 11．（2024秋·陕西西安·月考）某汽车行驶的路程为定值，若速度提高20%，则时间缩短______（填百分数）。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）某仓库要搬运一批货物，货物总量为600吨。 （1）写出每天搬运量y（吨）与所需天数x（天）之间的函数关系式； （2）若要求不超过10天搬完，每天至少要搬运多少吨？ （3）若每天最多能搬运80吨，最少需要多少天才能搬完？ 13．（2024秋·重庆渝中·月考）用撬棍撬动一块石头，已知阻力为1800N，阻力臂为0.3m。 （1）求动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式； （2）若动力臂为1.2m，撬动石头需要多大的力？ （3）若动力最大只能用450N，动力臂至少要多长？ 14．（2024秋·天津和平·期中）在某电路中，电源电压为定值。当电阻R=10Ω时，电流I=2A。 （1）求电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系式； （2）当电阻R=20Ω时，电流为多少？ （3）若要求电流不超过1A，电阻至少为多少？ 15．（2024秋·四川成都·期中）某商场销售一种商品，经市场调查发现：当售价为每件x元时，每天的销售量y（件）与x成反比例。当售价为60元时，每天可销售30件。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该商品的进价为每件30元，当售价为45元时，每天的利润是多少？ （3）若要求每天的利润不低于900元，售价应不低于多少元？ （注：利润 = （售价 - 进价）× 销售量） 三、中考链接题 1.（25·河南中考）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（     ） A. B. C. D. 2.（26·广东中考）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（       ） A. B. C. D. 3.（25·广东中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（       ） A. B. C. D. 4.（26·四川中考）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（        ） A. B. C. D. 5.（24·新疆中考）若矩形的面积是，相邻两边的长分别为、，则与的函数表达式为  ． 6.（25·黑龙江中考）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率________． 7.（25·江苏中考）如图，一块砖的，，三个面的面积比是．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_____________________． 8.（25·宁夏中考）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取）； （2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 9.（25·山东中考）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在天内（含天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前天的变化规律，第天时硫化物的浓度降为．从第天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系： 时间（天） …… 硫化物的浓度 …… （1）在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式； （2）在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在天以内不超过最高允许的？为什么？ 10.（2026·河南中考）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． （1）求关于的函数表达式． （2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ （3）学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第26章 二次函数 27.3实际问题与反比例函数 本节知识点总结 1．工程问题：工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比，即 vt = k（k为工作总量）。 2．杠杆原理：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂，即 F₁l₁ = F₂l₂，当阻力和阻力臂一定时，动力F与动力臂l成反比。 3．功的问题：W = Fs，当功W为定值时，力F与位移s成反比，即 F = 。 4．行程问题：路程s一定时，平均速度v与时间t成反比，即 v = 。 5．物理中的反比例函数：①近视眼镜度数y与焦距x（米）的关系：y = ；②电功率P = ，当电压U一定时，P与R成反比；③气体压强p与体积V的关系（玻意耳定律）：pV = k（温度不变时）。 6．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：分析实际问题→确定变量关系→建立反比例函数模型→求解析式→利用图象和性质解决问题→检验结果是否符合实际意义。 7．实际问题中自变量的取值范围：要根据实际意义确定，通常x>0，有时还有上限限制。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 工程问题中的反比例函数 1．（2024秋·北京海淀·期中）某工厂要生产一批零件，工作总量为1200个，工作效率v（个/时）与工作时间t（时）之间的函数关系式为___v = ___，自变量t的取值范围是___t > 0___。 【答案】v = ；t > 0 【分析】工作总量=工作效率×工作时间，即vt=1200，所以v=1200/t。时间t必须为正数。 【详解】解：由工作总量 = 工作效率 × 工作时间，得 vt = 1200， 所以 v = 。 ∵ 工作时间 t 必须为正数，∴ t > 0。 故答案为：v = ；t > 0。 2．（2024秋·上海浦东·月考）某工程队承接了一项工程，工作总量为定值。若工作效率提高到原来的2倍，则完成工程所需时间变为原来的（　　） A．2倍 B． C．4倍 D． 【答案】B 【分析】工作总量=工作效率×工作时间，总量一定时，效率与时间成反比。效率变为2倍，时间变为原来的。 【详解】解：设工作总量为k，原工作效率为v，原工作时间为t，则 k = vt。 工作效率提高到原来的2倍，即新效率为2v，设新时间为t'，则 k = 2v·t'。 ∴ vt = 2v·t'，解得 t' = 。 即完成工程所需时间变为原来的½。 故选：B。 3．（2024秋·广东广州·单元测）某码头要卸载一批货物，货物总量为480吨。 （1）写出平均卸载速度v（吨/天）与卸载时间t（天）之间的函数关系式； （2）若要求在8天内卸载完，平均每天至少要卸载多少吨？ 【答案】（1）v = （t > 0）；（2）平均每天至少要卸载60吨 【分析】（1）货物总量=卸载速度×时间，即vt=480；（2）将t=8代入求v，注意"至少"的含义。 【详解】解：（1）由货物总量 = 平均卸载速度 × 卸载时间，得 vt = 480， ∴ v = （t > 0）。 （2）当 t = 8 时，v = = 60（吨/天）。 ∵ 在 v = 中，k = 480 > 0， ∴ 当 t > 0 时，v 随 t 的增大而减小。 ∴ 要在8天内卸载完（即 t ≤ 8），平均每天至少要卸载60吨。 答：（1）v = （t > 0）；（2）平均每天至少要卸载60吨。 题型02 杠杆原理中的反比例函数 4．（2024秋·江苏南京·期中）如图，用撬棍撬动一块石头，已知阻力为1200N，阻力臂为0.5m。设动力为F（N），动力臂为l（m），则F与L之间的函数关系式为（　　） A．F = B．F = C．F = 600L D．F = 1200L 【答案】A 【分析】根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，即F·l=1200×0.5=600，所以F=600/l。 【详解】解：根据杠杆原理：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂， 即 F·L = 1200 × 0.5 = 600， ∴ F = （L > 0）。 故选：A。 5．（2024秋·浙江杭州·月考）用杠杆撬重物，已知阻力为800N，阻力臂为0.6m。若动力臂为1.2m，则动力为__400____N。 【答案】400 【分析】根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，即F×1.2=800×0.6=480，解得F=400。 【详解】解：根据杠杆原理：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂， 设动力为F，则 F × 1.2 = 800 × 0.6 = 480， 解得 F = = 400（N）。 故答案为：400。 6．（2024秋·山东济南·期中）用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1500N，阻力臂为0.4m。 （1）求动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式； （2）若动力臂为1.5m，撬动石头至少需要多大的力？ （3）若想使动力不超过300N，动力臂至少要多长？ 【答案】（1）F = （l > 0）；（2）至少需要400N；（3）动力臂至少要2m 【分析】（1）由杠杆原理F·l=1500×0.4=600；（2）将l=1.5代入求F；（3）将F=300代入求l，注意利用反比例函数的增减性。 【详解】解：（1）根据杠杆原理：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂， 即 F·l = 1500 × 0.4 = 600， ∴ F = （L> 0）。 （2）当L= 1.5 时，F = = 400（N）。 ∵ k = 600 > 0，∴ 当 L > 0 时，F 随 L 的增大而减小。 ∴ 动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要400N的力。 （3）当 F = 300 时，300 = ，解得 L = 2（m）。 ∵ F 随 L 的增大而减小， ∴ 要使动力不超过300N（即 F ≤ 300），动力臂至少要2m。 答：（1）F = （L > 0）；（2）至少需要400N；（3）动力臂至少要2m。 题型03 功与力、位移的反比例关系 7．（2024秋·湖北武汉·月考）某人做了200J的功，设他所用的力为F（N），物体在力的方向上移动的距离为s（m），则F与s之间的函数图象大致是（　　） A．直线 B．双曲线（第一象限） C．抛物线 D．双曲线（第一、三象限） 【答案】B 【分析】由W=Fs得F=，s>0，F>0，所以图象是第一象限的双曲线。 【详解】解：由功的公式 W = Fs，得 Fs = 200， ∴ F = 。 ∵ 距离 s > 0，力 F > 0， ∴ 函数图象是第一象限内的双曲线的一支。 故选：B。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）已知某物体在力F的作用下沿力的方向移动了s米，所做的功为120J。若F = 40N，则s = __3____m。 【答案】3 【分析】由W=Fs得s===3。 【详解】解：由功的公式 W = Fs，得 s = 。 ∵ W = 120J，F = 40N， ∴ s = = 3（m）。 故答案为：3。 9．（2024秋·河南郑州·月考）某起重机做的功W为定值3000J。 （1）写出拉力F（N）与物体上升高度h（m）之间的函数关系式； （2）若拉力为500N，物体上升多高？ 【答案】（1）F = （h > 0）；（2）物体上升6m 【分析】（1）由W=Fh得Fh=3000；（2）将F=500代入求h。 【详解】解：（1）由功的公式 W = Fh，得 Fh = 3000， ∴ F = （h > 0）。 （2）当 F = 500 时，500 = ，解得 h = 6（m）。 答：（1）F = （h > 0）；（2）物体上升6m。 题型04 行程问题中的反比例函数 10．（2024秋·河北石家庄·期中）甲、乙两地相距300km，一辆汽车从甲地开往乙地，设行驶速度为v（km/h），行驶时间为t（h），则v与t之间的函数关系式为__v = （t > 0）____，若汽车速度为60km/h，则到达乙地需要___5___h。 【答案】v = （t > 0）；5 【分析】路程=速度×时间，即vt=300，所以v=300/t。将v=60代入得t=5。 【详解】解：由路程 = 速度 × 时间，得 vt = 300， ∴ v = （t > 0）。 当 v = 60 时，60 = ，解得 t = 5（h）。 故答案为：v = （t > 0）；5。 11．（2024秋·陕西西安·月考）小明从家到学校的路程为定值。若他骑自行车的速度为15km/h，需要20分钟到达。若他想15分钟到达，速度应为（　　） A．18km/h B．20km/h C．22km/h D．25km/h 【答案】B 【分析】先求路程s=15×(20/60)=5km，再求15分钟（即0.25h）到达的速度v==20(km/h)。 【详解】解：20分钟 = = h， 路程 s = 15 × = 5（km）。 15分钟 = = h， 速度 v = = = 20（km/h）。 故选：B。 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）一艘轮船从A港出发到B港，航程为120海里。 （1）写出轮船速度v（海里/时）与航行时间t（时）之间的函数关系式； （2）若要求轮船在5小时内到达B港，速度至少为多少？ （3）若轮船速度不超过30海里/时，最早几小时能到达？ 【答案】（1）v = （t > 0）；（2）速度至少为24海里/时；（3）最早4小时能到达 【分析】（1）由s=vt得vt=120；（2）将t=5代入求v，利用增减性；（3）将v=30代入求t，利用增减性。 【详解】解：（1）由路程 = 速度 × 时间，得 vt = 120， ∴ v = （t > 0）。 （2）当 t = 5 时，v = = 24（海里/时）。 ∵ k = 120 > 0，∴ 当 t > 0 时，v 随 t 的增大而减小。 ∴ 要在5小时内到达（即 t ≤ 5），速度至少为24海里/时。 （3）当 v = 30 时，30 = ，解得 t = 4（h）。 ∵ v 随 t 的增大而减小， ∴ 速度不超过30海里/时（即 v ≤ 30）时，t ≥ 4， 即最早4小时能到达。 答：（1）v = （t > 0）；（2）速度至少为24海里/时；（3）最早4小时能到达。 题型05 物理中的反比例函数（电学、光学、气体） 13．（2024秋·重庆沙坪坝·月考）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的关系为y = 100/x。若小明的近视眼镜镜片焦距为0.25米，则他的眼镜度数为（　　） A．250度 B．400度 C．500度 D．1000度 【答案】B 【分析】将x=0.25代入y=，得y==400度。 【详解】解：将 x = 0.25 代入 y = ，得 y = = 400（度）。 故选：B。 14．（2024秋·天津南开·期中）在电压U为220V的电路中，电功率P（W）与电阻R（Ω）之间的关系为P = U²/R。当电阻R = 48.4Ω时，电功率P = ___1000___W。 【答案】1000 【分析】将U=220，R=48.4代入P=，得P== =1000W。 【详解】解：将 U = 220V，R = 48.4Ω 代入 P = ，得 P = = =1000（W）。 故答案为：1000。 15．（2024秋·四川成都·月考）在一个密闭容器中装有一定质量的气体，当温度不变时，气体的压强p（kPa）与体积V（m³）成反比例。已知当V = 2m³时，p = 50kPa。 （1）求p与V之间的函数关系式； （2）当体积V = 5m³时，气体的压强是多少？ （3）若要求气体压强不超过20kPa，体积至少为多少？ 【答案】（1）p = （V > 0）；（2）压强为20kPa；（3）体积至少为5m³ 【分析】（1）设p=，代入V=2，p=50求k；（2）将V=5代入求p；（3）将p=20代入求V，利用增减性。 【详解】解：（1）设 p = （k ≠ 0，V > 0）。 将 V = 2，p = 50 代入，得 50 = ，解得 k = 100。 ∴ p = （V > 0）。 （2）当 V = 5 时，p = 100/5 = 20（kPa）。 （3）当 p = 20 时，20 = ，解得 V = 5（m³）。 ∵ k = 100 > 0，∴ 当 V > 0 时，p 随 V 的增大而减小。 ∴ 要使压强不超过20kPa（即 p ≤ 20），V ≥ 5， 即体积至少为5m³。 答：（1）p = （V > 0）；（2）气体压强为20kPa；（3）体积至少为5m³。 题型06 几何图形中的反比例函数（面积一定） 16．（2024秋·安徽合肥·期中）一个矩形的面积为24cm²，设它的长为x（cm），宽为y（cm），则y与x之间的函数关系式为__y = ____，自变量x的取值范围是__x > 0____。 【答案】y = ；x > 0 【分析】矩形面积=长×宽，即xy=24，所以y=。长x必须为正数。 【详解】解：由矩形面积 = 长 × 宽，得 xy = 24， ∴ y = 。 ∵ 长 x 必须为正数，∴ x > 0。 故答案为：y = ；x > 0。 17．（2024秋·福建福州·月考）一个三角形的面积为定值，设它的底边长为x，高为y，则y与x之间的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【答案】B 【分析】三角形面积=½×底×高，即xy=S（定值），所以xy=2S，y=，是反比例函数。 【详解】解：设三角形面积为S（定值），由三角形面积公式得 S = xy，即 xy = 2S， ∴ y = （x > 0）。 ∵ 2S 为定值且不为0，∴ y 是 x 的反比例函数。 故选：B。 18．（2024秋·江西南昌·期中）某矩形的面积为36cm²。 （1）写出矩形的长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系式； （2）若矩形的宽不超过4cm，长至少为多少？ （3）画出这个函数的图象（只画第一象限部分）。 【答案】（1）y = （x > 0）；（2）长至少为9cm；（3）图象见详解 【分析】（1）由面积公式xy=36；（2）将x=4代入求y，利用增减性；（3）描点法画第一象限双曲线。 【详解】解：（1）由矩形面积 = 长 × 宽，得 xy = 36， ∴ y = （x > 0）。 （2）当 x = 4 时，y = = 9（cm）。 ∵ k = 36 > 0，∴ 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小。 ∴ 宽不超过4cm（即 x ≤ 4）时，y ≥ 9， 即长至少为9cm。 （3）列表： x 2 3 4 6 9 12 18 y 18 12 9 6 4 3 2 在第一象限内描点并用平滑曲线连接，得到反比例函数y=（x>0）的图象。 答：（1）y = （x > 0）；（2）长至少为9cm；（3）图象为第一象限内的双曲线。 题型07 建立函数模型解决实际问题 19．（2024秋·云南昆明·期中） 某蓄水池的排水管每小时排水8m³，6小时可将满池水全部排空。 （1）求蓄水池的容积； （2）设每小时排水量为Q（m³），排空时间为t（h），写出Q与t之间的函数关系式； （3）如果要在4小时内排空，每小时排水量至少为多少？ 【答案】（1）蓄水池容积为48m³；（2）Q = （t > 0）；（3）每小时排水量至少为12m³ 【分析】（1）容积=排水量×时间=8×6=48；（2）由Qt=48得Q=；（3）将t=4代入求Q。 【详解】解：（1）蓄水池容积 = 每小时排水量 × 时间 = 8 × 6 = 48（m³）。 （2）由 Qt = 48，得 Q = （t > 0）。 （3）当 t = 4 时，Q = = 12（m³/h）。 ∵ k = 48 > 0，∴ 当 t > 0 时，Q 随 t 的增大而减小。 ∴ 要在4小时内排空（即 t ≤ 4），每小时排水量至少为12m³。 答：（1）蓄水池容积为48m³；（2）Q = （t > 0）；（3）每小时排水量至少为12m³。 20．（2024秋·贵州贵阳·月考）某商场出售一批商品，根据市场调查，当售价为每件x元时，每天可卖出y件，且y与x成反比例。已知当售价为50元时，每天可卖出40件。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若要求每天卖出不少于20件，售价最多为多少元？ 【答案】（1）y = （x > 0）；（2）售价最多为100元 【分析】（1）设y=，代入x=50，y=40求k；（2）将y=20代入求x，利用增减性。 【详解】解：（1）设 y =（k ≠ 0，x > 0）。 将 x = 50，y = 40 代入，得 40 = k/50，解得 k = 2000。 ∴ y = （x > 0）。 （2）当 y = 20 时，20 = ，解得 x = 100（元）。 ∵ k = 2000 > 0，∴ 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小。 ∴ 要使每天卖出不少于20件（即 y ≥ 20），x ≤ 100， 即售价最多为100元。 答：（1）y = （x > 0）；（2）售价最多为100元。 21．（2024秋·广西南宁·期中）某印刷厂印刷一批书籍，已知印刷成本y（元）与印刷数量x（册）之间的关系满足反比例函数模型。当印刷1000册时，每册成本为20元。 （1）求每册成本y（元）与印刷数量x（册）之间的函数关系式； （2）若印刷数量增加到2000册，每册成本为多少元？ （3）若要求每册成本不超过10元，至少要印刷多少册？ 【答案】（1）y = （x > 0）；（2）每册成本为10元；（3）至少要印刷2000册 【分析】（1）设y=，代入x=1000，y=20求k；（2）将x=2000代入求y；（3）将y=10代入求x。 【详解】解：（1）设 y = （k ≠ 0，x > 0）。 将 x = 1000，y = 20 代入，得 20 = /，解得 k = 20000。 ∴ y = （x > 0）。 （2）当 x = 2000 时，y = 20000/2000 = 10（元）。 （3）当 y = 10 时，10 = ，解得 x = 2000（册）。 ∵ k = 20000 > 0，∴ 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小。 ∴ 要使每册成本不超过10元（即 y ≤ 10），x ≥ 2000， 即至少要印刷2000册。 答：（1）y = （x > 0）；（2）每册成本为10元；（3）至少要印刷2000册。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期中）某物体从A地到B地的路程为s（定值），则行驶速度v与时间t的函数图象是（　　） A．第一象限的双曲线 B．第一、三象限的双曲线 C．第一象限的射线 D．第一象限的抛物线 【答案】A 【分析】由s=vt得v=，t>0，v>0，所以图象是第一象限的双曲线。 【详解】解：由路程 = 速度 × 时间，得 vt = s（s为定值）， ∴ v = 。 ∵ 时间 t > 0，速度 v > 0， ∴ 函数图象是第一象限内的双曲线的一支。 故选：A。 2．（2024秋·上海闵行·月考）用撬棍撬动重物，阻力和阻力臂不变。若动力臂增大到原来的3倍，则动力变为原来的（　　） A．3倍 B． C．9倍 D． 【答案】B 【分析】由杠杆原理F₁l₁=F₂l₂，阻力和阻力臂不变时，动力与动力臂成反比。动力臂变为3倍，动力变为原来的⅓。 【详解】解：设阻力为F₂，阻力臂为l₂（均不变），动力为F₁，动力臂为l₁。 由杠杆原理：F₁l₁ = F₂l₂（定值）。 动力臂增大到原来的3倍，即新动力臂为3l₁，设新动力为F₁'，则 F₁' × 3l₁ = F₂l₂ = F₁l₁， 解得 F₁' =。 即动力变为原来的。 故选：B。 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·单元测）在电压不变的电路中，电功率P与电阻R成反比。若电阻增大到原来的2倍，则电功率变为原来的（　　） A．2倍 B． C．4倍 D． 【答案】B 【分析】由P=，U不变时P与R成反比。R变为2倍，P变为原来的½。 【详解】解：由 P = U²/R，当电压U不变时，P与R成反比。 设原电阻为R，原功率为P，则 P = U²/R。 电阻增大到原来的2倍，即新电阻为2R，设新功率为P'，则 P' = = × = 。 即电功率变为原来的。 故选：B。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）某矩形的面积为24，长为x，宽为y。若长增加2，宽减少1，面积不变，则x的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由xy=24，(x+2)(y-1)=24，联立得2y-x=2，y=(x+2)/2，代入xy=24解得x=6，y=4。 【详解】解：由题意得 xy = 24，(x+2)(y-1) = 24。 展开第二个方程：xy - x + 2y - 2 = 24。 将 xy = 24 代入：24 - x + 2y - 2 = 24， 整理得 2y - x = 2，即 y = 。 代入 xy = 24，∴x = 24， 整理得 x² + 2x - 48 = 0， 因式分解：(x+8)(x-6) = 0， 解得 x = 6 或 x = -8（舍去）。 ∴ x = 6，此时 y = = 4。 故选：C。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）某工厂生产的产品，每件成本y（元）与生产数量x（件）成反比例。当生产100件时，每件成本为50元。若每件成本要求不超过25元，则至少要生产（　　） A．150件 B．200件 C．250件 D．300件 【答案】B 【分析】设y=，代入x=100，y=50得k=5000，所以y=。将y=25代入得x=200。 【详解】解：设 y =（k ≠ 0，x > 0）。 将 x = 100，y = 50 代入，得 50 = ，解得 k = 5000。 ∴ y = 。 当 y = 25 时，25 = ，解得 x = 200（件）。 ∵ k = 5000 > 0，∴ 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小。 ∴ 要使每件成本不超过25元（即 y ≤ 25），x ≥ 200， 即至少要生产200件。 故选：B。 6．（2024秋·山东青岛·期中）下列实际问题中，两个变量之间不是反比例函数关系的是（　　） A．路程一定时，速度与时间 B．矩形面积一定时，长与宽 C．工作总量一定时，工作效率与工作时间 D．正方形的周长与边长 【答案】D 【分析】正方形周长C=4a，是正比例函数，不是反比例函数。 【详解】解：A选项，路程s一定时，s=vt，v=s/t，是反比例函数； B选项，矩形面积S一定时，S=xy，y=，是反比例函数； C选项，工作总量W一定时，W=vt，v=，是反比例函数； D选项，正方形周长C=4a，是正比例函数，不是反比例函数。 故选：D。 （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）某杠杆的阻力为600N，阻力臂为0.5m，动力臂为1.5m，则动力为__200____N。 【答案】200 【分析】由杠杆原理F₁l₁=F₂l₂，F₁×1.5=600×0.5=300，解得F₁=200N。 【详解】解：根据杠杆原理：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂， 设动力为F，则 F × 1.5 = 600 × 0.5 = 300， 解得 F = = 200（N）。 故答案为：200。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）在一个密闭容器中，温度不变时，气体压强p与体积V成反比例。当V=3m³时，p=40kPa，则当V=6m³时，p=___20___kPa。 【答案】20 【分析】设p=k/V，代入V=3，p=40得k=120，所以p=120/V。将V=6代入得p=20kPa。 【详解】解：设 p = （k ≠ 0，V > 0）。 将 V = 3，p = 40 代入，得 40 = ，解得 k = 120。 ∴ p = 。 当 V = 6 时，p = = 20（kPa）。 故答案为：20。 9．（2024秋·河南郑州·月考）近视眼镜的度数y（度）与焦距x（米）的关系为y=100/x。若某人的眼镜度数为500度，则镜片焦距为__0.5____米。 【答案】0.2 【分析】将y=500代入y=，得500=，解得x=0.2米。 【详解】解：将 y = 500 代入 y = 100/x，得 500 = ，解得 x = = 0.2（米）。 故答案为：0.2。 10．（2024秋·河北石家庄·期中）某三角形的面积为12cm²，设底边长为x（cm），高为y（cm），则y与x的函数关系式为__y = （x > 0）____，当x=6cm时，y=___4___cm。 【答案】y = （x > 0）；4 【分析】由三角形面积公式xy=12得xy=24，y=。将x=6代入得y=4。 【详解】解：由三角形面积公式 S = ½xy，得 ½xy = 12，即 xy = 24， ∴ y = （x > 0）。 当 x = 6 时，y = = 4（cm）。 故答案为：y = （x > 0）；4。 11．（2024秋·陕西西安·月考）某汽车行驶的路程为定值，若速度提高20%，则时间缩短___16.7%___（填百分数）。 【答案】16.7% 【分析】设原速度为v，原时间为t，路程s=vt。速度提高20%后为1.2v，新时间t'===，缩短了t-=，即≈16.7%。 【详解】解：设原速度为v，原时间为t，则路程 s = vt。 速度提高20%后，新速度为 1.2v， 新时间 t'===，。 时间缩短了 t-=， 缩短的百分数为 × 100% = × 100% ≈ 16.7%。 故答案为：16.7% 。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）某仓库要搬运一批货物，货物总量为600吨。 （1）写出每天搬运量y（吨）与所需天数x（天）之间的函数关系式； （2）若要求不超过10天搬完，每天至少要搬运多少吨？ （3）若每天最多能搬运80吨，最少需要多少天才能搬完？ 【答案】（1）y = （x > 0）；（2）每天至少要搬运60吨；（3）最少需要7.5天 【分析】（1）由总量=每天搬运量×天数得xy=600；（2）将x=10代入求y；（3）将y=80代入求x。 【详解】解：（1）由货物总量 = 每天搬运量 × 天数，得 xy = 600， ∴ y =（x > 0）。 （2）当 x = 10 时，y = = 60（吨）。 ∵ k = 600 > 0，∴ 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小。 ∴ 要在10天内搬完（即 x ≤ 10），每天至少要搬运60吨。 （3）当 y = 80 时，80 = 600/x，解得 x = 600/80 = 7.5（天）。 ∵ y 随 x 的增大而减小， ∴ 每天最多搬运80吨（即 y ≤ 80）时，x ≥ 7.5， 即最少需要7.5天才能搬完。 答：（1）y = （x > 0）；（2）每天至少要搬运60吨；（3）最少需要7.5天。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）用撬棍撬动一块石头，已知阻力为1800N，阻力臂为0.3m。 （1）求动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式； （2）若动力臂为1.2m，撬动石头需要多大的力？ （3）若动力最大只能用450N，动力臂至少要多长？ 【答案】（1）F = （l > 0）；（2）需要450N；（3）动力臂至少要1.2m 【分析】（1）由杠杆原理F·l=1800×0.3=540；（2）将l=1.2代入求F；（3）将F=450代入求l。 【详解】解：（1）根据杠杆原理：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂， 即 F·l = 1800 × 0.3 = 540， ∴ F = （l > 0）。 （2）当 l = 1.2 时，F = 540/1.2 = 450（N）。 （3）当 F = 450 时，450 = ，解得 l = = 1.2（m）。 ∵ k = 540 > 0，∴ 当 l > 0 时，F 随 l 的增大而减小。 ∴ 要使动力不超过450N（即 F ≤ 450），l ≥ 1.2， 即动力臂至少要1.2m。 答：（1）F = （l > 0）；（2）需要450N；（3）动力臂至少要1.2m。 14．（2024秋·天津和平·期中）在某电路中，电源电压为定值。当电阻R=10Ω时，电流I=2A。 （1）求电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系式； （2）当电阻R=20Ω时，电流为多少？ （3）若要求电流不超过1A，电阻至少为多少？ 【答案】（1）I = （R > 0）；（2）电流为1A；（3）电阻至少为20Ω 【分析】（1）由欧姆定律U=IR，先求U=2×10=20V，所以I=20/R；（2）将R=20代入求I；（3）将I=1代入求R。 【详解】解：（1）由欧姆定律 U = IR，得 U = 2 × 10 = 20（V）。 ∴ IR = 20，即 I = （R > 0）。 （2）当 R = 20 时，I = = 1（A）。 （3）当 I = 1 时，1 = ，解得 R = 20（Ω）。 ∵ k = 20 > 0，∴ 当 R > 0 时，I 随 R 的增大而减小。 ∴ 要使电流不超过1A（即 I ≤ 1），R ≥ 20， 即电阻至少为20Ω。 答：（1）I = （R > 0）；（2）电流为1A；（3）电阻至少为20Ω。 15．（2024秋·四川成都·期中）某商场销售一种商品，经市场调查发现：当售价为每件x元时，每天的销售量y（件）与x成反比例。当售价为60元时，每天可销售30件。 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该商品的进价为每件30元，当售价为45元时，每天的利润是多少？ （3）若要求每天的利润不低于900元，售价应不低于多少元？ （注：利润 = （售价 - 进价）× 销售量） 【答案】（1）y = （x > 0）；（2）每天的利润为600元；（3）售价应不低于60元 【分析】（1）设y=，代入x=60，y=30得k=1800；（2）先求x=45时的销售量y=40，利润=(45-30)×40=600；（3）利润W=(x-30)×=1800-，令W≥900解得x≥60。 【详解】解：（1）设 y = （k ≠ 0，x > 0）。 将 x = 60，y = 30 代入，得 30 = ，解得 k = 1800。 ∴ y = （x > 0）。 （2）当 x = 45 时，y = = 40（件）。 每天的利润 = (售价 - 进价) × 销售量 = (45 - 30) × 40 = 15 × 40 = 600（元）。 （3）设每天的利润为W元，则 W = (x - 30)y = (x - 30) × 1800/x = 1800 - 54000/x。 令 W ≥ 900，即 1800 - ≥ 900， 移项得 900 ≥ ， ∵ x > 0，两边乘x得 900x ≥ 54000， 解得 x ≥ 60。 答：（1）y = （x > 0）；（2）每天的利润为600元；（3）售价应不低于60元。 三、中考链接题 1.（25·河南中考）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合h的范围逐项判断即可． 【解答】 解：由题意得 与h的函数关系式为 此函数是一个以h为自变量的反比例函数， 边上的高为h， 故选：B. 2.（26·广东中考）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【解答】 解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， 关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ， 在第一象限内，随着的增大而减小， ， 的值可以为， 故选：． 3.（25·广东中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【解答】 解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， 在第一象限随的增大而减小； 当时，， 电流可以为， 故选：． 4.（26·四川中考）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式. 【解答】 解：根据表格数据计算得：，，，， 压力一定时，压强p与受力面积S成反比例关系，可设， ， . 故选：C. 5.（24·新疆中考）若矩形的面积是，相邻两边的长分别为、，则与的函数表达式为  ． 【答案】 【解析】 根据长方形的面积公式：面积长宽，即可求解． 【解答】 解：根据长方形的面积公式：面积长宽，可得， 即， 故答案为：． 6.（25·黑龙江中考）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率____20____． 【答案】 20 【解析】 本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式即可． 【解答】 解：设功率为P，由题可知 ，即 , 将 ， 代入解得 , 故答案为：20. 7.（25·江苏中考）如图，一块砖的，，三个面的面积比是．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_____________________． 【答案】 【解析】 本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系． 根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可． 【解答】 解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为， 则（定值）， 即与成反比例关系， ， ， 面向下放在地上，地面所受压强为， 面向下放在地上时，地面所受压强为， 故答案为：． 8.（25·宁夏中考）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取）； （2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 【答案】 气球的半径至少为时，气球不会爆炸； 由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【解析】 （1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【解答】 （1）设函数关系式为，根据图象可得：， ， 当时，， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 要使气球不会爆炸，，此时， 气球的半径至少为时，气球不会爆炸； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 9.（25·山东中考）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在天内（含天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前天的变化规律，第天时硫化物的浓度降为．从第天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系： 时间（天） …… 硫化物的浓度 …… （1）在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式； （2）在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在天以内不超过最高允许的？为什么？ 【答案】 ； ； 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在天以内不超过最高允许的． 【解析】 （1）设的函数关系式为：，将和代入，从而求得，，进而求得的结果； （2）可推出为定值，所以当时，是的反比例函数，进而求得结果； （3）将代入反比例函数关系式，从而求得的值，进而根据反比例函数图象性质，从而得出结论． 【解答】 （1）解：设线段的函数表达式为：， ， ， 线段的函数表达式为：； （2）， 是的反比例函数， ； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在天以内不超过最高允许的，理由如下： 当时，， ， 随的增大而减小， 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在天以内不超过最高允许的． 10.（2026·河南中考）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． （1）求关于的函数表达式． （2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ （3）学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是__②③___． 【答案】 学生步行的平均速度至少为3.2km/h ②③ 【解析】 （1）由题意知，是的反比例函数，设，代入(4,2)，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解. 【解答】 （1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， （2）把代入，得 学生步行的平均速度至少为3.2km/h （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确. 学科网（北京）股份有限公司 $