第29章 圆-（分层作业）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册圆的知识，采用分层设计（基础过关+提优过关），融入赵州桥、防雨斗笠等文化与生活情境，考查点与圆位置关系、垂径定理等核心知识点，适配新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|点与圆位置关系（1题）、垂径定理（7题）|结合必然事件（2题）考查概念辨析| |填空题|6|圆锥侧面积（4题）、圆内接四边形（10题）|装饰盘距离计算（11题）体现几何直观| |解答题|3|圆周角定理（15题）、菱形判定（15题）|直角三角形与圆综合（15题）考查推理能力| |提优题|3|切线性质（18题）、弓形面积（18题）|无刻度直尺作图（17题）培养创新意识|

（分层作业）第29章圆-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．已知的直径为10，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 2．下列说法正确的是（   ） A．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．位似图形不一定是相似图形 3．如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（   ） A．9 B． C．12 D． 4．将某工厂出售的网红款户外防雨斗笠抽象为几何图形，得到一个圆锥形几何体，测得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 5．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，则的长是（　　） A． B． C． D． 6．如图，点都在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 8．圆锥的侧面展开图是半径为12，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为___________． 9．如图，是上的点，若，则的度数是_______度． 10．如图，四边形是的内接四边形，若，，则______． 11．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 12．在矩形 中，E，F，D是 上的三点， 且 ，若点H在 的中点，点P在以点H为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最小值是______． 13．如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题 14．如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 15．如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 16．如图，四边形内接于，为的直径，平分，． (1)求直径的长； (2)求图中阴影部分的面积． 提优过关 17．在单元格中，点A、B、C、O为格点，请仅用无刻度的直尺完成作图． (1)在图1中，作一条弦，使得； (2)在图2中，作的角平分线． 18．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若为的切线． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求弓形的面积． 19．利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； (2)如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第29章圆-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A D C A D B 1．C 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的直径为10， ∴的半径为5， ∵点到圆心的距离为6，且， ∴点P在外． 故选：C 2．A 【分析】根据必然事件定义，垂径定理推论，相似三角形判定定理，位似与相似的关系，逐一判断各选项正误即可得出结论． 【详解】解：A、∵所有平行四边形都是中心对称图形，该事件一定会发生，∴这是必然事件，A正确． B、若被平分的弦是直径，平分弦的直径不一定垂直于弦，推论缺少“弦不是直径”的条件，B错误． C、两条边对应成比例且相等的角必须是两边的夹角，才能判定三角形相似，条件描述不严谨，C错误． D、位似图形是特殊的相似图形，位似图形一定是相似图形，D错误． 3．D 【分析】连接，作于E，于F，利用，证明，证明，得出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】连接，作于E，于F， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 4．C 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，代入侧面的面积公式计算． 【详解】解：由题意可知：圆锥形几何体的母线长为，底面圆的半径为， ∴圆锥侧面积为． 5．A 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式．利用弧长公式求解． 【详解】解：的长， 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理列方程求解半径是解题的关键． 先根据垂径定理求出，再结合拱高用勾股定理列出关于半径的方程，最后解方程即可得到圆的半径． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故选：B． 8．3 【分析】本题考查了根据圆锥的侧面展开图求圆锥的底面半径． 圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，即，进而计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为，则底面周长为， 所以， 解得． 故答案为：3． 9． 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可. 【详解】解:在优弧上任意找一点，连接． ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 10．/18度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再在中，根据三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】如详解图：连结、，过点作于、交于、交于，由已知条件可得四边形是矩形，再根据垂径定理求出的值，进而求得的值，最后求得的值，就是圆盘离桌面最近的距离． 【详解】 解：连结、，过点作于、交于、交于， 、 ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ． 12．2 【分析】根据直角三角形斜边中线定理得 ，要m最小只需 最小，点 既在以为圆心、 为直径的圆上，又在 上， 到 距离为，求得 最小值为 ，故最小值为． 【详解】解： ，取 的中点为点D， ∴当 取得最小值时， 的长度取得最小值， 四边形 为矩形，，点 是 的中点， 圆心 到直线 的距离为 又∵由题意可知，点P在以H为圆心、半径长为1的 上， 线段 ，其中 为定值；当H、P、D三点共线，且时， 长度最小，此时取得最小值。 ∴过点H作AB的垂线，交 于点P，交于点D，此时最短，最短． 此时， ， ． 13． 【分析】根据折叠的性质和圆的半径相等，可得到，是等边三角形，由此可得圆心角的度数为，利用直角三角形所对的边等于斜边的一半和勾股定理可解得，，用扇形面积减去四边形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 14．(1) 如图，即为所作； (2) 如图，点即为这个圆的圆心． 【分析】（1）分别取格点，，，使，顺次连接即可； （2）取弦，分别作它们的垂直平分线，交于点，则点为这个圆的圆心． 【详解】（1）略 （2）略 15．(1) ，点是的中点，， ， 四边形是圆内接四边形， ，， ， ． (2) ，，是等边三角形， ， ，， 为等边三角形， ，， ， , ， 是等边三角形， , ， 四边形是菱形． 【分析】（1）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再利用圆内接四边形的性质，最后用等腰三角形的判定即可得到结论； （2）先利用等边三角形的判定，再利用菱形的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 16．(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等角对等边，扇形面积公式． （1）由是直径得，结合平分得，由圆周角定理得，判定为等腰直角三角形，用长求； （2）连接，可知，根据圆周角定理求出，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 17．(1) 如图所示，． (2) 如图所示，为的角平分线． 【分析】（1）连接，分别延长交于点N、M，连接，即可解答； （2）连接正方形的对角线，延长交于点P，连接，即可解答． 【详解】（1）解：理由如下：连接，分别延长交于点N，M，连接，如图 ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：理由如下：连接正方形的对角线，延长交于点P，连接，如图 ∵四边形是正方形， ∴， ∵圆心O在上， ∴， ∴， ∴为的角平分线． 18．(1) 证明：如图1，连接． 是的直径， ， ， ， ． ， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) (3)弓形BD的面积 【分析】（1）连接，利用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质及直径所对的圆周角是直角即可得到，据此即可证明； （2）设交于点H，由，得到，根据垂径定理，设，则．利用勾股定理求出，从而利用勾股定理求得的长； （3）先证明为等边三角形，得到，过点O作于点G，，利用勾股定理求出，利用弓形的面积为计即可算． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，设交于点H． ， ， ，． ， ． 设，则． ，， ， ， 解得， ， ， ． （3）解：∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 过点O作于点G，如图3， 则， ∴． ∴弓形的面积为 ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角的有关性质，垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识，灵活运用勾股定理建立方程是解题的关键． 19．(1) 证明：连接，，如图① ∵，， ∴． (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由角度关系可得出，利用勾股定理可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，过点作于点，如图②， 由（1）可知， ∵， ∴． ∵，， ∴， 则， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $