第29章《圆》单元自测卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 《圆》单元自测卷立足单元复习，以圆的性质、位置关系及实际应用为核心，通过基础辨析、情境问题与综合探究，全面考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配初中数学圆单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆的性质（如第1题圆周角计算）、命题判断（第3题）、位置关系（第6题）|结合生活情境（第2题排水管道），基础概念辨析与空间观念考查| |填空题|6/18|垂径定理（第11题）、弧长计算（第12题）、动态几何（第13题）|融入数学史（第15题刘徽割圆术），体现数学文化传承| |解答题|8/72|证明与计算（第17题）、实际应用（第20题尺规作图找圆心）、综合探究（第24题多问递进）|注重动手操作与逻辑推理，如第23题结合函数求最大面积，发展创新意识|

第29章《圆》单元自测卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.如图，△ABC中，AB=AC,以底边BC为直径的⊙O分别交AB,AC于点D,E,连接OD, OE,若∠A=50,则∠DOE的度数是(） D A.85° B.80° C.65° D.50° 2.某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点A、C、D在⊙O上，点B是CD的中点，且 AB经过圆心0：若AB=25cm'CD=30cm'则o0的半径是（） 地面 B 地下 A.18cm B.17cm C.16cm D.15cm 3.下列命题中，真命题有()个 ①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的孤；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，四边形ABCD内接于O0,连接BD,已知∠BAD<BCD,且BC=DC,则 ∠BDC的度数为() .0 A.25° B.30° C.50 D.60 5.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B,∠P=60°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为 () A A.110° B.120° C.125° D.130° 6.在平面直角坐标系xOy中，已知点M8,6,以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴 相离，那么r可以取的值是() A.6 B.7 C.8 D.10 7.如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在AC上.若∠CBO=n°，则∠ADC= A.90°+n°B.180°-n° C.195°-n°D.2n° 8.某工厂生产圆形零件，质检标准规定：将零件放入一个半径为R圆形模板中，若零件完全 在模板内且与模版至少有个接能点，则为合格品。现有半径为，的零件}R<rR 要保证 零件合格，那么这些圆形零件的圆心必须落在() A.半径为R-r的圆内 B.半径为R-r的圆上 C.半径为R-r的圆外且半径为R的圆内 D.半径为号R的圆外且半径为R的圆内 9.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转 90得到△BOD,则△AOC扫过的面积为() A.n+3 C.3π D. 10.某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆 的直径为32cm,母线长为30cm,则扇形纸片的圆心角为() A.86° B.144° C.150° D.192° 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD,连接AC,OD,若∠A=25°， 则∠D的度数是 12.如图，直线l1l2,直线m交l1、l2于点A、B,以A为圆心，AB长为半径画弧，圆弧交2于 点C,交l1于点D、E,若∠ABE=55°，AB=6,则CD的长为 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=2,D是AB上一点（点D与点A 不重合)·若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三 个顶点，则AD长的取值范围是 B 14.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A,B,C,与CD相交于点E,连结 AE若∠B=75,则∠DAE的度数为 A 15.求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元3世纪， 中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；17世纪，德国数学家开 普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形， 如图所示，将OO的面积转化为Rt△ODC的面积，其中S扇形AOB=S△OMw.在Rt△ODC中，CD 等于O0周长，OD等于⊙0半径，若CD=4m,M-号，则扇形A0B的图心角等于 度. MN C 16.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”如图是研究“割 圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，E为圆上一点且OE⊥CD 于点E,连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=8,则图中阴影部分的面积为 三、解答题（本题共8小题，共72分.） 17.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于 点D D B (1)求证：∠BAC=2∠ABD (2)若⊙O的半径为5，当∠ABD=30°时，求BC的长. 18.(8分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,已知AB=10,AE=8,点P为AB 上任意一点，（点P不与A、B重合），连接CP并延长与⊙O交于点Q,连接QD,PD,AD P E D B (1)求CD的长； (2)若点P在A,E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP=∠ADQ. 19.(8分)如图，A是⊙O上一点，BC是⊙O的直径，点D在⊙O上且平分半圆BC, CD=52· 0 B D (1)若AB=8,求AC的长； (2)求阴影部分的面积. 20.(8分)圆形纸板中画有圆内接矩形CDEF,沿线段AB(点A,点B在圆上)裁剪后，得 到如图所示的图形.某兴趣小组需要寻找圆心所在的位置.圆圆同学连接了线段CE,点点同 学说：“只要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”， B (1)你作的是哪条线段的垂直平分线（只需写一种）？ (2)请通过尺规作图，作出圆心O(保留作图痕迹)· (3)简要说明你所作的点O是圆心的依据. 21.(10分)如图，P为正比例函数y=号x图象上的一个动点，⊙P的半径是2.5，设点P的坐 标为x,y. K=2 (1)求⊙P与直线X=2相切时点P的坐标. (2)请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围. 22.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,以底边BC为直径作⊙O,连接OA,⊙O分别与 AB:AO相交于点D,E: D B (1)连接DE,直接写出∠AOB与∠BDE的度数； (2)若AD=BD=4,求DE的长. 23.(10分)如图，⊙0的半径为1，A,P,B,C是⊙0上的四个点，∠APC=∠CPB=60°. 0 B 备用图 (1)请判断△ABC的形状？说明理由； (2)当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积. 24.(10分)如图，等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,过点B作AC的垂线交AC于点E. 图1 图2 图3 (1)求证：∠A=2∠EBC; (2)如图2，当圆心O恰好落在BE上时，求∠A的度数； (3)如图3，延长BE交⊙O于点F,点H在线段AC上，CH=CF,若AB=10,SABCH=10,求线 段CE的长. 参考答案 一、选择题 1.B 解：△ABC中，AB=AC,∠A=50°， .∠ABC=∠ACB=180°-∠A=650, 又.OB=OD=OE=OC, .∴.∠ODB=∠OBD=65°，‘∠OCE=∠OEC=65o, ,∴.∠BOD=180°-∠OBD-∠ODB=50°，∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=50°， .∴.∠DOE=180°-∠BOD-∠COE=80· 故选：B. 2.B 解：由题意可得：AB⊥CD, ,AB经过圆心O, ∴.CB=BD=1CD=15cm, 如图，连接OC, 地面 B 地下 设OA=OC=rcm,则OB=AB-OA=25-rcm, 由勾股定理可得0C=OB+BC2, .r2=25-r2+152, 解得r=17, ∴.⊙O的半径是17cm. 3.A 解：①，不在同一直线上的三点才能确定一个圆，∴.“三点确定一个圆”是假命题. ②，等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定能重合，∴.“长 度相等的两条弧是等弧”是假命题 ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴.“相等的圆心角所对的弧相 等”是假命题. ④·平分弦（弦不是直径）的直径才垂直于弦且平分弦所对的弧，若弦为直径，两条直 径互相平分但不一定垂直，.该命题是假命题. ⑤，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等， 三角形外心到三个顶点距离相等，该命题是真命题. 综上，真命题只有1个. 故选：A. 4.B 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°， :∠BaD-号BD. .3∠BAD=180°， .∴.∠BAD=60°， .∴.∠BCD=120°， “Bc=DC ..BC=DC, ∴.∠DBC=∠BDC, △BCD是等腰三角形， .∠DBC=∠BDC=30°， 5.B 解：如图所示，连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD, :APBP是⊙O切线， .∴.∠OAP=∠OBP=90, .∴.∠A0B=360°-90°-90°-60°=120， :∠ADB=3∠AOB=60, 又，圆内接四边形的对角互补， ∴.∠ACB=180°-∠ADB=180°-60°=120°： 6.B 解：点M的坐标为(8,6)， .圆心M到x轴的距离d1=6,到y轴的距离d2=8, ,圆与x轴相交，与y轴相离， .r>d且r<d2,即6<r<8, 观察选项，只有7满足该范围，因此选B. 7.C 解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E,连接AE B E .OB=OC ∴.∠OCB=∠CBO=no .∠B0C=180°-∠B-∠OCB=180°-2n° ∴.∠A0C=∠AOB-∠B0C=150°-180°-2n°=2n°-30° .∠E=1∠A0C=n0-150 ∴.∠ADC=180°-∠E=180°-n°-15=195°-n°， 8.B 解：设模板圆心为O,零件圆心为O1,记d=OO1 :零件要完全在模板内，零件上离O最远的点到O的距离为d+「，所有点都不能超出模板 ∴.d+r≤R 又：合格要求零件与模板至少有一个接触点，即至少有一个点在模板边界上 ∴.d+r≥R ∴.d+r=R,整理得d=R-r 因此所有符合条件的零件圆心，到O的距离都等于R-”,即圆心落在半径为R-r的圆上. 9.B 解：将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD,则△AOC扫过的部分为：扇形AOB与 △OBD' 90π×3+1x3×1=9π+3 :△A0C扫过的面积为：360+2 421 10.D 解：，圆锥底面圆直径为32cm, :.圆锥底面圆周长C=π×32=32cm ,扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长30cm 设扇形圆心角为n”,根据扇形弧长公式=n迟，可得： 180 32m=nn×30 180 解得n=192, .扇形纸片的圆心角为192… 二、填空题 11.40° 解：连接OC,如图所示： E B .∠A=25, .∴.∠BOC=2∠A=2×25°=50， :AB是oO的直径，CD是弦，且AB LCD ∴.BC=BD? .∴.∠BOD=∠BOC=50°， 设AB与CD相交于点E, 在Rt△OED中，∠OED=90°，∠BOD=50°， .∠D=90°-50°=40° 12.3 7 解：连接AC,如图所示： D ∠ABE=55°，AE=AB, .∴.∠AEB=∠ABE=55° .DE为⊙A的直径， .∠DBE=90°， ∴.∠EDB=90°-∠AEB=35°， l112 ∴.∠DBC=∠EDB=35°， ∴.∠DAC=2∠DBC=70°， .∵AB=AC=AD=6, CD的长为70n×6_7n 1803 13.8<AD<4 3 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=2, ∴.AB=4, 设Rt△ABC的直角边上存在点E,使以点A,点D,点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以AD长为 直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； E 当以AD为直径的圆与BC相切时，如图所示， B D 设圆的半径为I,即AF=DF=EF=r, .EF⊥BC,∠B=30°， ∴.BF=2EF=2r, r+2r=4,解得r子： 8 ∴.AD=2r= 3 8<AD<4. 综上，AD的长的取值范围为： 故答案为：3 <AD<4. 14.30° 解：，四边形ABCE是圆内接四边形， .∠B+∠AEC=180°， .∠AED+∠AEC=180°， .∠B=∠AED=75°， ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠D=∠B=75°， ∴.∠DAE=180°-∠D-∠AED=30°. 15.20 解：设⊙O的半径为r,∠AOB=n°， CD等于⊙O周长，CD=4π， ∴.4π=2πr, r=2, ∴.OD=2, 由题意，OD⊥CD, 又S扇形AOB=S△OMN, 2-号2 360 ∴.n=20,即∠AOB=20°. 16.5-83 解：·点A、E、B均在圆上， .∴.OA=OE=OB 四边形ABCD为矩形，AB‖CD,OE⊥CD' .OE⊥AB' .AF=BF=号AB=4,∠AOE=∠BOE, .·∠AOE=2∠ABE=2×15°=30°， .∴.∠AOB=∠AOE+∠BOE=2∠AOE=60, ∴.△AOB为等边三角形， ∴.OA=AB=8,0F=0A2-AF2=82-42=V48=43' 5.0e×Ak×0F=x4×43=85, 扇形A0E的圆心角n=30,半径R=8? ·Sg形0e=nTR=30×nx8216 360360 3 , 5s=5se-56am=号1-893， 故谷第为：9-8视. 三、解答题 17.(1) 证明：连接OC,连接AO并延长交BC于点H, A .·AB=AC,OB=OC B AH是BC的垂直平分线， .∠BAC=2∠BAO: .OA=OB' .∠BAO=∠ABO, .∴.∠BAC=2∠ABD: (2)解：由(1)可知∠BAC=2∠ABD=60°， '.'AB=AC' △ABC是等边三角形， .∴.∠ABC=60°，AH⊥BC,BH=HC, ∴.∠DBC=30°， .∵OB=5, ∴.OH=2.5 m196, .BC=5V3. 18.(1)解：连接0C D ⊙ :AB是OO的直径，弦CD⊥AB ∴.CE=DE .AB=10’AE=8' ..OA=OC=-AB=5,OE=AE-OA=3, ∴.CE=V0c2-0E=V52-32=4 .∴.CD=2CE=8 (2) :AB是OO的直径，弦CD⊥AB ∴.CE=DE即AB是CD的垂直平分线 .∴.AC=AD,PC=PD .AP=AP ∴.△ACP≌△ADP|SSS ∴.∠ACP=∠ADP .∠ACQ=∠ADQ ∴.∠ADQ=∠ADP 19.(1)解：BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=∠BDC=90°， 点D在⊙O上且平分BC, ∴BD=DC, ..BD=CD=52, .BC=BD2+CD2=10, AB=8, ..AC=BC2-AB2=6: (2)解：如图，连接OD, B D 点D在⊙O上且平分BC, ∴.OD⊥BC, ∴.∠COD=90°， ∴.S阴影郁分=S扇形cOD-SACOD 90元×25-1×5×5 3602 =25m-25 42 20.(1)线段CD(或CE) (2)解：点O为所在圆的圆心 B 知 D (3) 解：四边形CDEF为圆的内接矩形， ∴.∠CDE=90°， ∴CE为圆的直径， FG为CD的垂直平分线， ,FG经过矩形CDEF的外接圆的圆心， ∴.FG与CE的交点O为矩形CDEF的外接圆的圆心. 21.(1)解：过P作直线x=2的垂线，垂足为A, PA =2 当点P在直线X=2右侧时， AP=X-2=2.5, 得x号 把x号代入直晚解析式yx, 可得，y孕 当点P在直线x=2左侧时， PA=2-x=2.5' 得 把x=-代入直线解析式y=: X, 可得y=-3 4 :当0p与直或=2湘切时，点p的是标刻2翠号引 (2)解：当-<x<号时，OP与直线x=2相交， 2 当x<)或x>时，⊙P与直线x=2相离. 22.(1)解：如图，连接CE, B ,BC为⊙O的直径， ∴.0B=0C, .AB=AC, .AO⊥BC, .∴.∠AOB=∠AOC=90°， OC=OE. ∠0CE=∠0EC=180°-∠A0C=45°， 2 由圆内接四边形的性质可得，∠BDE+∠OCE=180°， :.∠BDE=180°-∠OCE=135°； (2)解：如图，连接OD, B ○ .AD=BD=4. ∴.点D是Rt△OAB斜边AB的中点， ∴.AD=BD=OD=4, .OD=OB, ∴△OBD是等边三角形， ∴.∠D0B=60°， ∴.∠DOE=∠AOB-∠D0B=90°-60°=30°， DE的长为30π·0D-2n 180°3 23.(1) △ABC是等边三角形.理由如下： 在OO中，“∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角， .∴.∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC, 又.∠APC=∠CPB=60°， ∴.∠ABC=∠BAC=60°， .△ABC为等边三角形； (2)解：当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大.理由如下： AB 如图，过点P作PE⊥AB,垂足为E.过点C作CF⊥AB,垂足为F. SA APB AB-PE,SA ABC AB-CF. ABPE+CF, 当点P为AB的中点时，PE+CF=PC,PC为OO的直径， AB ∴.此时四边形APBC的面积最大. 又⊙0的半径为1， ∴.其内接正三角形的边长AB=3, 小S9达5Pc=2×2×V3=3. B 24.(1) 证明：，AB=AC, .∠ABC=∠ACB .∴.∠A=180°-2∠ACB .BE⊥AC, .∴.∠BEC=90, ∴.∠EBC=90°-∠ACB· 又.'∠A=180°-2∠ACB, .∴.∠A=2∠EBC· (2)∠A=60° (3)CE=2 (2)解：，BE过点O,且BE⊥AC,由垂径定理得AE=EC, 在△AEB和△CEB, AE=EC, ∠AEB=∠BEC, BE=BE, ∴.△AEB≌△CEBSAS ∴.∠ABE=∠CBE: 设∠A=x,由(1)知∠EBC=X° :∠ABE=90-X,∠EBC=X 2 90-X=登解得x=60,即∠A=60 (3)在BE上取一点G,使得CG=CF, .'CG=CF,∴.∠F=∠CGF .∠A=∠F,∠A=2∠EBC .∴∠GBC=∠GCB· ∴.BG=CG 如图，过点G作GI⊥BC于点I,HJ⊥BC于点J, E G .:∠JHC+∠ACB=90°，∠ACB+∠EBC=90, ∴.∠EBC=∠JHC .CF=CH' ∴.BG=CG=CH: 在△HCJ和△BGI中， ∠EBC=∠JHC, ∠BIG=∠HJC, BG=CH, .△HCJ≌△BGIAAS ∴.HJ=BI=IC SABCH=10 :2B:BL=10. 2 BI=V10:即BC=2V/10: 令CE=X,在Rt△ABE中，BE2=102-10-x2, 在Rt△BCE中，BE2=2/1o-x2, ∴.CE=2