第29章 圆 单元试卷 2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第二十九章“圆”培优测试卷，立足单元复习，通过基础概念辨析、几何推理与实际应用，全面考查圆的核心知识，适配九年级圆单元培优训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|弦与直径概念、点与圆位置关系、垂径定理|结合几何直观，辨析易混概念（如等弧与等长弧）| |填空题|6题/18分|扇形弧长、圆锥侧面积、直角三角形外接圆|融入空间观念，考查公式灵活应用（如弓形高分类讨论）| |解答题|6题/52分|垂径定理应用、扇形与圆锥关系、确定圆的条件|突出推理能力与应用意识，如探究四点共圆及四边形面积最值，衔接中考命题趋势|

第章 圆 培优测试卷 —学年人教版九年级数学上册 （范围：第二十九章 圆　　时长：分钟　　满分：分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列说法中，正确的是（　　） ．弦是直径　　．直径是圆中最长的弦　　．半圆不是弧　　．长度相等的两条弧是等弧 ． 的半径为 ，点 到圆心 的距离 ，则点 与 的位置关系是（　　） ．点 在 内　　．点 在 上　　．点 在 外　　．不能确定 ． 的半径为 的一条弦长为 ，则圆心 到这条弦的距离为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．下列说法中，正确的个数是（　　） 相等的圆心角所对的弧相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；平分弦的直径垂直于这条弦；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． ．　　　　．　　　　．　　　　． ．如图，，点 在 上（ 不在 的内部），则 的度数为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．某排水管的截面示意图如图所示，截面半径为 ，管内水面宽 于 ，则水的最大深度（水面到截面最低点的距离）为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．在 中，，则 的外接圆半径为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．如图， 是 的直径，点 都在 上，，则 的度数为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．如图，四边形 内接于 在 的延长线上，，则 的度数为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ． 的一条弦 把圆分成两条弧，若劣弧与优弧的度数比为 :，点 在 上（ 不与 重合），则 的度数为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． 或 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则它的弧长为． ．一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为． ．等腰直角三角形的直角边长为 ，则它的外接圆半径为． ．如图， 的半径为 ，弦 ，则弦 所对的弓形的高为． ． 内接于 ，则 的半径为． ．在平面直角坐标系中，点 ，则 外接圆的圆心坐标为． 三、解答题（本大题共小题，共分） ．（分）如图， 的半径为 是 的两条弦， 于 于 ． 求 和 的长； 比较 与 的大小，并结合本题说明：在同圆中，弦心距与弦长之间有怎样的关系？ ．（分）已知扇形的半径为 ，圆心角为 ． 求这个扇形的弧长； 求这个扇形的面积； 若把这个扇形围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径． ．（分）如图，在 中，点 是弧 的中点，连接 ． 求证： 平分 ； 求证：； 若 的半径为 ，求点 到弦 的距离． ．（分）探究“确定圆的条件”． 根据表中给出的条件，完成下表： 条件 能作圆的个数 圆心的位置特征 经过某一个已知点 无数个 除点 外的任意一点都可以作为圆心 经过某两个已知点 线段 的垂直平分线上 经过不共线的三个已知点 经过同一条直线上的三个已知点 结合说明：为什么经过不共线的三点 能作且只能作一个圆？ 用尺规作出 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法），并说明圆心的确定方法． ．（分）如图，在 中， 为 的中点，以 为圆心、 的长为半径作 ． 求证：点 都在 上，并求 的半径； 点 在 上（ 不与 重合），求 的度数； 点 在 上运动（ 不与 重合，且 与 在直径 的异侧），求四边形 面积的最大值． ．（分）如图， 的半径为 ，点 是 内一点，，过点 作 的弦． 过点 的所有弦中，最长的弦与最短的弦的长分别是多少？并说明理由； 若过点 的弦 的长为 ，求 的面积； 过点 作互相垂直的两条弦 分别为 的中点，探究四边形 的形状，并求四边形 面积的最大值． 第章 圆 培优测试卷 —学年人教版九年级数学上册（参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ．　【分析】依据弦、直径、弧、等弧的概念逐一判断． 【详解】．弦是连接圆上任意两点的线段，不一定是直径，错误；．直径过圆心，是圆中最长的弦，正确；．半圆是圆的一半，是弧，错误；．等弧是能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定能重合（如在两个半径不同的圆中），错误．故选 ． ．　【分析】比较点到圆心的距离 与半径 的大小： 在圆内， 在圆上， 在圆外． 【详解】 点 在 外．故选 ． ．　【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用垂径定理与勾股定理． 【详解】设这条弦为 ，过 作 于 ，则 ． 在 中，．故选 ． ．　【分析】依据弧、弦、圆心角的关系定理及圆的对称性逐一判断． 【详解】缺少“在同圆或等圆中”这一前提，错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，正确；平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，当被平分的弦是直径时不一定垂直，错误；圆是中心对称图形，对称中心是圆心，正确．共 个正确．故选 ． ．　【分析】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． 【详解】 与 同对弧 ．故选 ． ．　【分析】水面宽即弦长，半径、半弦、弦心距构成直角三角形；水的最大深度半径弦心距． 【详解】 ． 在 中，， 水的最大深度．故选 ． ．　【分析】直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆半径等于斜边的一半． 【详解】在 中，， 外接圆半径．故选 ． ．　【分析】 与 同对弧 ； 是直径，，用内角和求 ． 【详解】 与 同对弧 ． 是 的直径， ， ．故选 ． ．　【分析】圆内接四边形对角互补，外角 等于它的内对角 ；同弧的圆心角等于圆周角的 倍． 【详解】 四边形 内接于 ． 又 ，即 ． 与 同对弧 ．故选 ． ．　【分析】先由弧的度数比求圆心角，再分点 在优弧、劣弧上两种情况，用圆周角定理求值． 【详解】设劣弧的度数为 ，则优弧为 ，解得 ，即劣弧、优弧所对的圆心角分别为 ． 当点 在优弧上时， 对劣弧，； 当点 在劣弧上时， 对优弧，．故选 ． 二、填空题（每小题分，共分） ．　【分析】弧长公式 ． 【详解】． ．　【分析】先由勾股定理求母线长，再用侧面积公式 侧． 【详解】母线长 侧． ．　【分析】直角三角形的外接圆直径是斜边． 【详解】斜边 外接圆半径． ． 或 　【分析】半径、半弦、弦心距构成直角三角形；弦的位置有两种（劣弧一侧与优弧一侧），需分类讨论． 【详解】过 作 于 ，则 ， ． 当弓形的弧是劣弧时，弓形的高； 当弓形的弧是优弧时，弓形的高．故答案为 或 ． ．　【分析】圆心角等于同弧圆周角的 倍，得 ；连接 ，作 于 ，用垂径定理与含 角的直角三角形． 【详解】连接 ，过 作 于 ． ． 是等腰三角形，． 在 中， ． 在 中，由勾股定理：，解得 ． ．　【分析】外心是三边垂直平分线的交点； 在 轴上、 在 轴上，垂直平分线容易写出． 【详解】 的垂直平分线是直线 ； 的垂直平分线是直线 ． 两线交点即外心 ．（验证：, 到 的距离都等于 ．） 三、解答题（共分） ．；；在同圆中，弦心距越小，弦越长（弦离圆心越近，弦越长） 【分析】过圆心作弦的垂线，垂足为弦的中点，用垂径定理与勾股定理分别求弦心距． 【详解】 ． 在 中，． 同理，． ，而 ． 一般地，设 的半径为 ，弦长为 ，弦心距为 ，则 ． 在同圆中，弦心距 越小，半弦长 越大，弦越长；当弦过圆心（弦心距为 ）时，弦最长，为直径；当弦心距越接近半径时，弦越短． 【评分标准】每个弦心距求对得 分（垂径、勾股各体现 分，共 分）；比较大小得 分，说清关系得 分（共 分）． ．；； 【分析】直接套用弧长公式、扇形面积公式；圆锥侧面展开图是扇形，弧长等于底面圆的周长． 【详解】弧长 ． 扇形面积 ． （另法：．） 设圆锥底面圆的半径为 ．圆锥的侧面展开图是这个扇形， 扇形的弧长底面圆的周长，即 ，解得 ． 【评分标准】 分； 分；列出 得 分，求出 得 分（共 分）． ．证明见详解； 【分析】弧 弧 ，等弧所对的圆周角相等；等弧所对的圆心角相等，等腰三角形“三线合一”；垂径定理勾股定理． 【详解】 点 是弧 的中点， 弧 弧 ， （等弧所对的圆周角相等），即 平分 ． 设 与 相交于点 ． 弧 弧 （等弧所对的圆心角相等）． 是等腰三角形， 是顶角 的平分线， 由等腰三角形“三线合一”，，且 平分 （即 为 的中点）． 由，设 与 的交点为 ，则 ． 在 中，，即点 到弦 的距离为 ． 【评分标准】等弧得等圆周角得 分，结论 分；等弧得等圆心角得 分，三线合一收尾得 分；垂径得 分，勾股求出 得 分（共 分）． ．无数个； 个，两条垂直平分线的交点；不能作圆，不存在 【分析】圆心到圆上各点的距离都等于半径，故圆心须到每个已知点的距离相等，即圆心在各条线段的垂直平分线上． 【详解】表中依次填： 经过两个点 ：无数个，圆心在线段 的垂直平分线上； 经过不共线三点 ：能作且只能作 个圆，圆心是线段 的垂直平分线的交点； 经过同一直线上的三点：不能作出圆，圆心不存在． 圆心须到 三点距离相等． 到 距离相等的点都在线段 的垂直平分线 上；到 距离相等的点都在线段 的垂直平分线 上． 不共线， 与 不平行， 与 必相交，且交点唯一，设为 ． 则 ，以 为圆心、 为半径的圆经过 ； 又垂直平分线 上除交点外的点不能同时到三点等距， 经过不共线三点 能作且只能作一个圆． 分别作线段 的垂直平分线，两线交于点 ，以 为圆心、 为半径作圆，即为 的外接圆（圆心 是外心）． 【评分标准】每行 分，共 分；存在性与唯一性说明充分，共 分；作图正确（两条垂直平分线以交点为圆心作圆）得 分（共 分）． ．证明见详解，半径为 ；；最大值为 【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 经过圆心 ，是直径，直径所对的圆周角是直角；四边形 的面积 的大小取决于 到 的距离，该距离最大为半径． 【详解】在 中，， ． 为 的中点， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． ，即点 到点 的距离都等于 ， 点 都在以 为圆心、 为半径的 上， 的半径为 ． 过圆心 ，且 都在圆上， 是 的直径． 在 上， （直径所对的圆周角是直角）． 设 到 的距离为 ，则 ． 在 上， 是直径， 到直径 的距离 不超过半径 ，当 为不含 的半圆的中点（即 在过 且垂直于 的直线上）时，． 四边形 ， 当 为不含 的半圆的中点时取等号，故四边形 面积的最大值为 ． 【评分标准】求出 得 分，斜边中线性质得 得 分，结论与半径得 分；说明 是直径得 分，得 得 分；表示出 得 分，说明 及取等条件得 分，得出最大值 得 分（共 分）． ．最长弦 ，最短弦 ，理由见详解；；四边形 是矩形，面积最大值为 【分析】过圆心的弦（直径）最长；过 且垂直于 的弦最短，用垂径定理与勾股定理；弦长为 的弦恰为最短弦，弦心距；由垂径定理得 ，结合 可证 是矩形，再用 与配方求面积最大值． 【详解】过点 的最长弦：圆中最长的弦是直径， 过点 的最长弦就是过点 的直径，长为 ． 过点 的最短弦：设 为过点 的任意一条弦，过 作 于 （ 为垂足，也是弦的中点），则 （垂线段最短）． 由勾股定理，半弦长 越大弦越短； 当弦与 垂直时，垂足恰为点 ，此时 最大，弦最短， 最短弦长，即最短弦是与 垂直的弦，长为 ． 由，过点 的弦中最短的弦长为 ，而过点 的弦的长为 （ 为弦心距），弦长为 时 ， 弦心距恰好等于 ，即垂足就是点 ， ． 由垂径定理，． ；同理 ． 都在 上， ；同理 ； 又 ． 四边形 有三个角是直角， 四边形 是矩形． 四边形 ，且对角线 ，即 ． 设 （），则 ， ， 当 ，即 （两条弦与 都成 角）时， 取得最大值 ． 【评分标准】最长弦 及理由得 分，最短弦 及理由得 分；说明 得 分，面积 得 分；证明矩形得 分，得出 得 分，配方求最大值 得 分（共 分）． 学科网（北京）股份有限公司 $