专题01 圆中常见的辅助线作法（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以5类圆中辅助线作法为核心，通过题型化分类提炼解题策略，构建“条件-辅助线-图形-定理”的完整逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |见弦作垂线|1典例+7变式|作垂线造Rt△或连圆心与弦中点得垂直平分|基于垂径定理，实现弦长与半径的转化| |见弦连半径|1典例+5变式|连半径构造等腰三角形，转化圆心角与圆周角|结合等腰三角形性质与圆的性质，推导边角关系| |见直径连圆周角|1典例+6变式|连直径端点得直角，构造Rt△或补直径证垂直|运用直径所对圆周角为90°，建立直角模型| |连半径证垂直|1典例+6变式|连公共点与圆心，证半径与直线垂直|依据切线判定定理，完成切线证明| |作垂直证相等|1典例+6变式|过圆心作直线垂线，证距离等于半径|通过圆心到直线距离与半径关系，判定切线|

专题01 圆中常见的辅助线作法 （题型突破·举一反三） 题型01 见弦作垂线 题型02 见弦连半径 题型03 见直径连圆周角 题型04 连半径，证垂直 题型05 作垂直，证相等 ▌题型01 见弦作垂线 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 【典例1】（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       【变式1】（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 【变式2】（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 【答案】 【分析】利用切线垂直半径、正方形性质证矩形得，垂径定理求，勾股定理列方程求半径． 【详解】解：设与相切于点，连接并延长交于点，连接． 与相切于点， ． 四边形是正方形， ，，， ，四边形为矩形， ， ， 为的中点， ． 设的半径为，则，， ． 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， 的半径为2.5． 【变式3】（2026·山东东营·模拟预测）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行吕剧演出，该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是12米．从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是6米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳________名观众同时观看演出．（取3，取） 【答案】248 【分析】过点O作于点C，则，根据直角三角形的边长关系求出的角度，阴影面积即为，即可求出容纳观众的数量． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， 根据题意得：米，米， ∴米， ∴，米， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为平方米， ∴最多可容纳名观众同时观看演出． 【变式4】（2026·山东烟台·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______（结果用表示）． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据切线的性质得出，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出，即可得，则有是等边三角形，然后求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵边与相切于点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式5】（2026·甘肃平凉·二模）2026年3月3日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象．如图1，月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为2，A是弦的中点，B是半圆A上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接、、，由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】解：连接、、， 是圆心，是弦的中点， ， 是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 是弦的中点，， ，， ． 【变式6】（25-26九年级下·江苏南京·期中）半径为的 经过四边形 的顶点， ．若C为外一点， ，，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，连接，得出垂直平分，，在中，，求得，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵ ， ∴垂直平分 ∴，则， ∴ 在中， ∴ 解得： ∵是外一点，且在内部， ∴， ∴ 【变式7】（2026·河南郑州·一模）如图，平面直角坐标系中，某圆弧经过点，，，点在轴正半轴上，若直线与该圆弧相切，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】由A、B、C三点坐标可先确定出圆弧所在圆的圆心F的坐标，设，则可表示出、和的长，由勾股定理可得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为F， 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心，设， 由题意可知，，， ∵与圆相切， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ▌题型02 见弦连半径 1）已知弦相关条件，优先连接弦两端点与圆心，构造等腰三角形，利用半径相等得到等角； 2）结合圆周角定理、圆心角定理，实现圆心角与圆周角互相转化； 3）弦、圆心角、弧、圆周角四类条件互相推导，常用 “等弧对等弦、等弦对等圆心角” 进行等量代换； 4）可搭配见弦作垂线模型，结合等腰三角形三线合一，同时使用勾股定理计算线段长度。 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 【变式1】（2026·安徽合肥·一模）如图，内接于，，若，，则的半径是______． 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，连接，，由垂径定理可得的长，，结合已知可得，从而可得的长，在中，由勾股定理可得的长，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，连接，， ，， ， ， ， ， 在中，， 设的半径为，则， ， 在中，， ， 解得， 即的半径为． 【变式2】（2026·山东枣庄·一模）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是________ 【答案】 【分析】延长交于点，连接，，，，根据垂径定理推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用直角三角形的性质求出和的长，即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接，，，，如图， ∵，为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 故在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【变式3】（25-26九年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，在中，，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，垂直平分线的性质，弦、弧的关系，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，作交于点，交于点，由垂径定理得到是线段的垂直平分线，由弦、弧的关系等量代换，结合三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点，交于点， ∴，且， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为：． 【变式4】（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，为的直径，弦，垂足为．，，，则（1）半径______；（2）弦的长度为______． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接、，交于G，利用垂径定理得到，设的半径为r，则，，根据勾股定理得到，解得；再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出，从而得到的长． 【详解】解：如图：连接、，交于G， ∵， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴，解得：； ∵， ，， 在中，，① 在中，，② 解由①②组成的方程组得到， ． 故答案为：5，． 【变式5】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ，是的直径， ，， 为的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：8． ▌题型03 见直径连圆周角 1）题中有直径时，连接直径端点与圆上一点，构造圆周角，直接得到直角，形成Rt△； 2）题中有直角，且直角顶点在圆上，可反向补直径，利用直径所对圆周角为90°导角、证垂直。 【典例3】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式1】（2026·河南驻马店·三模）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______ 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为2， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴． 【变式2】（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 【变式3】（2026·河南洛阳·三模）如图，在正方形的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面上的弦为，而他从点E处作的垂线交圆弧门于点G，．由此算得圆弧门的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接，由题意易得是的直径，，然后可得，进而根据割补法及扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴圆弧门的面积为． 【变式4】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，，由圆周角定理得，求出，再由题意得出，从而可得，求出，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，． 为直径， ， ． D是的中点， ， ， ． ， ， ， 的长为． 【变式5】（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图，等腰的顶点A，C在上，，，BC与交于点D，连接，，并延长交于点E，连接，若E为的中点，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，根据直径所对的圆周角是直角求出的度数，进而求出的度数，再根据弧、弦的关系得出，根据等弧对等弦的性质求解 【详解】解：连接，如图 ，， ， 点在上， ， 是的直径， ， ， 为的中点， ∴， ， ． 【变式6】（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，过点作直线（为任意实数）的垂线，垂足为点，则线段长度的最小值是________． 【答案】/ 【分析】容易判断直线过定点，结合可得点在以为直径的圆上．以为直径作圆，连接、，由中点公式可得，由勾股定理可得，，则，由可得的最小值为． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，且点不在轴上， 如图，以为直径作圆，连接、， ∵，， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，，， ∴， ∵， ∴当点在的延长线上时，取得最小值． ▌题型04 连半径，证垂直 已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【典例4】（2026·广东清远·三模）如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 则， ，， 又， ，则为等边三角形， ，又， ， ， ， ， ，则，即， 又是半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）先证为等边三角形，进而得到即可证明； （2）分别求出、扇形的面积，再由求解． 【详解】（1）略 （2）解：的半径为2，，， ，， ， ， ． 【变式1】（2026·湖南永州·模拟预测）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 【变式2】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，是外接圆，为的直径，延长至点D，连接，过点B作，交于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的直径， ∴，即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，由是的直径得到，根据得到，结合，得出，因此可推出，即可得证结论； （2）由得到，，因此，从而在中，，根据勾股定理求出，得到的长，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴半径为． 【变式4】（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 【变式5】（2026·广东东莞·三模）如图，在中， ，点E在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接 ，则 ， ， ， ， ， ． 是 的半径， 是 的切线； (2)1 【分析】（）连接 ，可得，得到 ，即得，即可求证； （2）连接，设 的半径为，则，在 中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后由等边三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：连接， 设 的半径为，则， ∵， ∴， 在 中，， ， 解得， ， ， 由（1）知，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴． 【变式6】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，为直径，为的弦，的角平分线与相交于点，过点作． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求与的距离． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵的角平分线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，根据得到，进而证得结论； （2）设，则，分别在直角三角形、直角三角形中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，设交于点E， ∵圆的直径， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， 即与的距离是． ▌题型05 作垂直，证相等 当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 【典例5】（2026·江西抚州·模拟预测）如图，在中，，⊙O交的中点C，为延长线上一点，而且，过点作． (1)求证：是的切线， (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)解：连接，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）过圆心作的垂线，通过证明得出，由到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）设，根据可得，再结合，最后由列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）设， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，解得：． 答：⊙O的半径为． 【变式1】（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，，，点E为边上一点，过点E作交的角平分线于点P．以点P为圆心，长为半径画圆． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：过点P作交于点F， ∵平分，， ∴ ∵为的半径 ∴为的半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）过点P作交于点F，由角平分线的性质得，结合为的半径可证结论成立； （2）连接，利用勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【变式2】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点， ， ， 平分交于点，， ， 点在上， 又， 与相切； (2) 【分析】（1）过点作于点，首先根据角平分线的性质证明，继而根据切线的判定定理证明与相切． （2）通过证明，得到，根据勾股定理得到，继而得到，在中根据勾股定理解得． 【详解】（1）略； （2）解：，， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 圆的半径为， ， ， ， 在中，，即，解得：， 圆的半径． 【变式3】（2026·湖北恩施·二模）如图，在中，，是的角平分线．以O为圆心，为半径作． (1)求证：是的切线． (2)已知交于点E，延长交于点 D．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于F，由题意可知，再根据角平分线的性质可得，即可得证； （2）先根据平行线的性质和角的等量代换求得，再根据三线合一求得，再由角平分线的性质和角度计算可得，进而根据解直角三角形可得的长，即可求得的长． 【详解】（1）证明：过点O作于F， ∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， ∴在中，，即， ∴， ∴． 【变式4】（2026·广东深圳·三模）如图，四边形是菱形，为对角线，为线段上一点且，以为圆心，为半径作． (1)证明：与相切； (2)连接交于点，求出的长． 【答案】(1)证明：过点O作于点H． 根据题意得：． 在中，， ∴， 即圆心O到的距离等于的半径， 故与相切． (2) 【分析】（1）过点O作于点H．可得．由正弦定义求得，所以，由是的半径，即得与相切． （2）以点A为原点，所在直线为x轴，过点A垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点D作于点G，则．由正弦定义求出，由勾股定理求出，得．求出直线的方的解析式．直线的解析式，联立解析式求出，即得． 【详解】（1）略 （2）解：以点A为原点，所在直线为x轴，过点A垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点D作于点G，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立解析式得， 解得， ∴， ∴． 【变式5】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图1，是等腰三角形，是底边中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接，的半径为，，求的值． 【答案】(1)证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ，， ，为的中点， ，， ， ， 在和中， ∵，，， ， ， 为的半径， 也为的半径， 又 ， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，过点作于点．利用等腰三角形底角相等，结合和，证明，从而，即与相切． （2）连接，过点作于点．在中由勾股定理求，再利用、求、，最终在中求． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作于点， 与相切于点， ，， ，为中点， ， 的半径为， ， 在中，由勾股定理得：， ∴，， 在中，，， ， 在中，． 【变式6】（2026·广西钦州·三模）如图，，，与交于点，以为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：过点O作，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为半径， 又∵， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）过O点作，垂足为点E，证明，推出，即可证明； （2）设的半径为r，则，，由得，用勾股定理解求出r，再用勾股定理解即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：在中，由勾股定理得，，， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得， 即， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆中常见的辅助线作法 （题型突破·举一反三） 题型01 见弦作垂线 题型02 见弦连半径 题型03 见直径连圆周角 题型04 连半径，证垂直 题型05 作垂直，证相等 ▌题型01 见弦作垂线 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 【典例1】（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【变式1】（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【变式2】（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 【变式3】（2026·山东东营·模拟预测）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行吕剧演出，该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是12米．从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是6米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳________名观众同时观看演出．（取3，取） 【变式4】（2026·山东烟台·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______（结果用表示）． 【变式5】（2026·甘肃平凉·二模）2026年3月3日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象．如图1，月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为2，A是弦的中点，B是半圆A上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【变式6】（25-26九年级下·江苏南京·期中）半径为的 经过四边形 的顶点， ．若C为外一点， ，，则的取值范围为_______． 【变式7】（2026·河南郑州·一模）如图，平面直角坐标系中，某圆弧经过点，，，点在轴正半轴上，若直线与该圆弧相切，则点的坐标为__________． ▌题型02 见弦连半径 1）已知弦相关条件，优先连接弦两端点与圆心，构造等腰三角形，利用半径相等得到等角； 2）结合圆周角定理、圆心角定理，实现圆心角与圆周角互相转化； 3）弦、圆心角、弧、圆周角四类条件互相推导，常用 “等弧对等弦、等弦对等圆心角” 进行等量代换； 4）可搭配见弦作垂线模型，结合等腰三角形三线合一，同时使用勾股定理计算线段长度。 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【变式1】（2026·安徽合肥·一模）如图，内接于，，若，，则的半径是______． 【变式2】（2026·山东枣庄·一模）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是________ 【变式3】（25-26九年级上·安徽黄山·阶段检测）如图，在中，，则___________．（填“”“”或“”） 【变式4】（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，为的直径，弦，垂足为．，，，则（1）半径______；（2）弦的长度为______． 【变式5】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为________． ▌题型03 见直径连圆周角 1）题中有直径时，连接直径端点与圆上一点，构造圆周角，直接得到直角，形成Rt△； 2）题中有直角，且直角顶点在圆上，可反向补直径，利用直径所对圆周角为90°导角、证垂直。 【典例3】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【变式1】（2026·河南驻马店·三模）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______ 【变式2】（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【变式3】（2026·河南洛阳·三模）如图，在正方形的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面上的弦为，而他从点E处作的垂线交圆弧门于点G，．由此算得圆弧门的面积为________．（结果保留） 【变式4】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为___________． 【变式5】（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图，等腰的顶点A，C在上，，，BC与交于点D，连接，，并延长交于点E，连接，若E为的中点，则的度数为______． 【变式6】（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，过点作直线（为任意实数）的垂线，垂足为点，则线段长度的最小值是________． ▌题型04 连半径，证垂直 已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【典例4】（2026·广东清远·三模）如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·湖南永州·模拟预测）如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【变式2】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，是外接圆，为的直径，延长至点D，连接，过点B作，交于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径． 【变式4】（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【变式5】（2026·广东东莞·三模）如图，在中， ，点E在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的长． 【变式6】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，为直径，为的弦，的角平分线与相交于点，过点作． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求与的距离． ▌题型05 作垂直，证相等 当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 【典例5】（2026·江西抚州·模拟预测）如图，在中，，⊙O交的中点C，为延长线上一点，而且，过点作． (1)求证：是的切线， (2)若，，求⊙O的半径． 【变式1】（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，，，点E为边上一点，过点E作交的角平分线于点P．以点P为圆心，长为半径画圆． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【变式2】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【变式3】（2026·湖北恩施·二模）如图，在中，，是的角平分线．以O为圆心，为半径作． (1)求证：是的切线． (2)已知交于点E，延长交于点 D．若，，求的长． 【变式4】（2026·广东深圳·三模）如图，四边形是菱形，为对角线，为线段上一点且，以为圆心，为半径作． (1)证明：与相切； (2)连接交于点，求出的长． 【变式5】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图1，是等腰三角形，是底边中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接，的半径为，，求的值． 【变式6】（2026·广西钦州·三模）如图，，，与交于点，以为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知，，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 典例精析 【典例1】 【答案】(3,2) 举一反三 【变式1】 【答案】10 【变式2】 【答案】2.5 【变式3】( 【答案】248 【变式4】 300-753-50m 【答案】 【变式5】 【答案】 【变式6】( AC 【答案】 >V2+√2 【变式7】 【答案】(4,0) 典例精析 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01圆中常见的辅助线作法 (题型突破·举一反三) 题型01见弦作垂线 题型02见弦连半径 1/11 可学科网 【典例2】 【12s3对 5 举一反三 【变式1】 3 【答案】4 【变式2】 【答案】6 【变式3】 【答案】< 【变式4】 48 【答案】 5 5 【变式5】 【答案】8 典例精析 【典例3】 【答案】30°/30度 举一反三 【变式1】 【答案】(5， 【变式2】 【答案】24 【变式3】 【案1受+1 【变式4】 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03见直径连圆周鱼 2/11 函学科网 【答案】3 【变式5】 【答案】20° 【变式6】 【答案】5-V2/-√2+√5 典例精析 【典例4】 【答案】(1)证明：连接OC, B 则OA=OC, ∴.∠A=∠OCA=30°，∠B0C 又OB=0C, ∠0BC=∠0CB=180°-60° .BC=OB,又PB=OB, .PB=BC, ∴∠P=∠BCP :∠OBC=∠P+∠BCP=60° ∴∠P=∠BCP=30° ∴.∠P+∠BOC=30°+60°=90° 又OC是半径， .PC是OO的切线： 26- 举一反三 www.zxxk.com 题型04连半径 ∠A+∠0CA=60°， 60°，则△OBC为等边三角形， 则∠OCP=90°，即OC⊥PC 3/11 让教与学更高效 证垂直 可学科网 【变式1】 【答案】(1)证明：如图，连接OE, AE=DE, .∠ABE=∠CBE, ..OE=OB .∠OBE=∠OEB, .∠OEB=∠FBE, BF∥OE, :EF⊥BC, ∠BFE=90°， .∠BFE=∠OEG=90°， OE⊥GE, .GF是⊙O的切线 (2)3 【变式2】 【答案】(1)4W2: (2)证明：连接OE, B ,点G在EF的垂直平分线上， www.zxxk.com 让教与学更高效 4/11 可学科网 ..GE=GF, .∠GEF=∠GFE, :∠GFE=∠AFH, ∴.∠GEF=∠AFH, :CD⊥AB, .∠AHF=90°. ∴.∠A+∠AFH=90°， .OA=OE. .∠A=∠OEA, ∴.∠OEA+∠GEF=90°， .∠OEG=90°， .OE⊥EG. :OE是⊙0半径， .EG是⊙O的切线。 【变式3】 【答案】(1)证明：连接OC, B :AB是OO的直径， ∴.∠ACB=90°，即∠AC0+∠OCB=90° ..OA=OC. ∴.∠A=∠ACO」 ,∠BCD=∠A, .∠BCD=∠ACO .∠BCD+∠OCB=∠ACB+∠OCB=90° .OC⊥CD ,OC为⊙0的半径， .CD是⊙O的切线； www.zxxk.com 让教与学更高效 即∠OCD=90°， 5/11 可学科网 (2)2√2 【变式4】 【答案】证明：连接OC :∠AOB=100°，∠0AB=40° ∴.∠OBA=180°-∠AOB-∠OAB=40° ∴.∠OAB=∠OBA ∴.OA=OB AC=BC ∴.OC⊥AB :点C在⊙0上， ∴.OC为半径， ,直线AB是OO的切线. 【变式5】 【答案】(1)证明：连接OD,则OD=OC B D BD=BC :AODB≌AOCB(SSS)」 :.∠ODB=∠OCB=90°， ∴.OD⊥AB OD是⊙0的半径， .AB是⊙O的切线： www.zxxk.com 让教与学更高效 OB=OB 6/11 学科网 www.zxxk.com (2)1 【变式6】 【答案】(1)证明：连接OD,如图， :∠BAC的角平分线与⊙O相交于点D, .∠BAD=∠CAD, .'BD=CD, .OD⊥BC, ..I BC ..ILOD. ,OD为圆的半径， .l是⊙0的切线： B 25 213 题型05作垂直 典例精析 【典例5】 【答案】(1)解：连接AC,过点O作OH⊥DE, :DE⊥AB, OH∥AB .∠EOH=∠ABC 7/11 让教与学更高效 证相莲 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AO=AB,OC=BC, AC⊥OB,即∠AC0=0°，∠AOC=∠ABC, .∠EOH=∠AOC. 又：∠EH0=∠ACO=90°，OE=OA, ∴△EHHO≌aACO(AAS. ..OH =OC, .DE是⊙O的切线. 24 举一反 【变式1】 【答案】(1)证明：过点P作PF⊥AB交AB于点F, :AD平分∠BAC,PE⊥AC, ∴.PF=PE :PE为⊙P的半径 PF为⊙P的半径， :AB与OP相切； 夕 F D 2)PE=5 6 【变式2】 【答案】(1)证明：如图，过点O作OE1AB于点E, B D E 】 .∠ACB=90° 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OC⊥AC, :AO平分∠BAC交BC于点O,OE⊥AB, :.OE=OC, ·点E在⊙0上， 又OE⊥AB, AB与⊙O相切： (2)R=3 【变式3】 【答案】 (1)证明：过点O作OF⊥AB于F, B D :∠ACB=90°， ∴OC⊥AC, 又：OA是∠CAB的角平分线， ..OF =OC, AB是⊙0的切线： (2)AB=45 【变式4】 【答案】(1)证明：过点O作OH⊥AD于点H. D H r 0 B 根据题意得：0A=AB-0B=15-20_25 33· 9/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△AOH中，sin∠BAD=OH-4 OA 5 :0H=04×12×4-20=0B 5353 即圆心O到AD的距离等于O0的半径， 故⊙0与AD相切. 30w5 (2 【变式5】 【答案】(1)证明：连接OD,过点O作OE⊥AC于点E, D 与 相切于点， B .⊙OAB D OD⊥AB,∠ODB=90°， AB=AC,O为BC的中点， .∠B=∠C,OB=OC, OE⊥AC, ∠OEC=90°， 在RtABOD和Rt△COE中， :∠ODB=OEC=90°，∠B=∠C,OB=OC, .△BOD≌aCOE(AAS) . OE =OD OD为⊙0的半径， OE也为⊙0的半径， 又OE⊥AC, :.AC是⊙O的切线. 2)an∠BCD=V2 4 【变式6】 10/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)证明：过点O作OE⊥AC,垂足为点E, E .∠OEC=∠OEA=90°， :∠B=90°， ∠B=∠0EC=90°， ∠B=∠OEC 在 和 中， ∠1=∠2， △BOC△EOC 0C=0C ·△BOC≌aEOC(AAS), ∴OB=OE, ,OB为半径， OE为半径， 又，OE⊥AC, AC是⊙O的切线； (2)0C=3v5 11/11