第30章 直线与圆的位置关系 单元检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦初中数学“直线与圆的位置关系”单元，通过选择、填空、解答题（23题，100分）系统考查圆与圆相切、切线性质、正多边形与圆等核心知识，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|圆与圆相切（1）、正多边形旋转对称（2）、直线与圆位置关系（3）|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|6/12|切线长定理（11）、圆与抛物线相切（12）、扇形面积（13）|知识迁移应用，渗透代数几何结合| |解答题|7/68|切线证明（20）、内切圆性质（22）、实际覆盖问题（23）|分层设计，综合推理与创新应用，如23题通过正方形摆放考查圆覆盖优化，体现应用意识|

第30章直线与圆的位置关系单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．如果外切的两圆和的半径分别为和，那么半径为，与和都相切的圆有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 4．如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 5．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 6．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 10．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共12分） 11．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 12．如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 13．如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 14．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 15．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若由点O和顶点连成的恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为______． 16．南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 三、解答题（共68分） 17．已知圆的直径为，根据下列圆心到直线l的距离，分别判断直线l与圆有几个公共点，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 18．（1）计算：． （2）如图，点O为正六边形的中心．若长为6，求正六边F的面积． 19．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    20．已知：如图，在中，，平分交于，为上一点，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，且分别交、于、． (1)求证：是的切线； (2)若，，图中阴影部分的面积为_____． 21．如图，已知的半径长为3，点A是上一定点，点P为上不同于点A的动点， (1)当时，求的长； (2)如果过点P、O，且点Q在直线上（如图2），设，，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)在（2）的条件下，当时（如图3），存在与相内切，同时与相外切，且，试求的半径． 22．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 23．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 参考答案 1．B 【详解】解：如图所示： 和和都外切的圆，可以画两个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和，都内切的圆可以画一个，共个． 2．B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 3．A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 4．B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 5．A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 6．D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 7．C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 8．D 【分析】连接，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， 点I为的内心， 是的平分线， ， 由平移得：， ， ， ， 同理可得， ， 即图中阴影部分的周长为6． 9．A 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 11．24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 12．或 【分析】根据圆与轴相切的性质可知圆心纵坐标的绝对值等于半径，结合抛物线解析式及取值范围求解即可． 【详解】解：∵的半径为3，且与轴相切 ∴圆心的纵坐标为3或 当时，代入得， 解得， 即， ∴点的坐标为或， 当时，代入得， 整理得， ∴此方程无实数解， 综上所述：点的坐标为或． 13．/ 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出相等的边和角的度数，利用勾股定理求出，假设与的半径分别为，根据等圆和相切的性质得出，最后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 假设与的半径分别为，且与外切，两圆为等圆， ∴，， ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和为． 14． 【分析】连接，根据内切圆的性质得到，，然后证明四边形为正方形，求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的长． 15．12 【分析】先求出的度数，即可得出的值． 【详解】解：如图，标注顶点，连接， ∴由正六边形与正方形的性质可得，， ∴， ∵恰好等于一个正n边形的一个外角， ∴． 16．/ 【分析】利用圆面积公式，根据已知半径求出圆的面积，把圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，通过正十二边形中心角求出为等边三角形，得到相关边长和高，求出单个等腰三角形面积，乘以12得到正十二边形面积，用圆的面积减去正十二边形的面积，得出面积差． 【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D， ∵圆的半径， ∴， ∵正十二边形的中心角为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴正十二边形的面积为12个这样的等腰三角形面积之和，即：， ∴． 17．(1)解：有2个公共点，理由如下， ∵圆的直径为， ∴圆的半径， ∵圆心到直线l的距离， ∴， ∴直线l与圆相交， ∴直线l与圆有2个公共点． (2)解：有1个公共点，理由如下， ∵圆心到直线l的距离， ∴， ∴直线l与圆相切， ∴直线l与圆有1个公共点． (3)解：没有公共点，理由如下， ∵圆心到直线l的距离， ∴， ∴直线l与圆相离， ∴直线l与圆没有公共点． 【分析】先根据已知直径求出圆的半径，再通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系，进而得到公共点个数． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． 18．（1）；（2） 【分析】（）把特殊角的三角函数值代入计算即可求解； （）利用正六边形的性质求出，再根据即可求解； 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，正多边形的面积，熟记特殊角的三角函数值及掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ； （）过点作于， ∵为正六边形，点为中心， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．，或. 【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标． 【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d， ，即点的纵坐标y为； 当时，即，解得：， 点的坐标为或； 当时，即，解得：， 点的坐标为； 综上，符合题意点的坐标为，或． 20．(1)证明：平分， ， 如图，连接，则， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义，等边对等角，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等以及切线的判定定理推导即可； （2）由（1）得，，利用两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余，直角三角形中所对的边是斜边的一半以及勾股定理推出、的长，再利用阴影部分面积为三角形的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 阴影部分的面积扇形的面积． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）作交的延长线于，连接，设，解直角三角形得出，从而可得，再由勾股定理计算即可得解； （2）连接、，则，，由等边对等角得出，证明，由相似三角形的性质求解即可； （3）作于，由可设，，由勾股定理求出，得到，，由垂径定理可得，设的半径为，则，由勾股定理计算得出，设的半径为，结合与相内切，同时与相外切，得出，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于，连接， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴； （2）解：如图，连接、， ， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵的半径长为3，点A是上一定点，点P为上不同于点A的动点， ∴， ∴； （3）解：如图，作于， ， ∵， ∴设，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， 由垂径定理可得：， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 设的半径为， ∵与相内切，同时与相外切， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， 即的半径为． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 22．(1)内 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内心、切线长定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据内心的定义，即可获得答案； （2）根据切线长定理可得，设，则有，进而可得，解得的值，然后计算的值； （3）连接，设半径为，证明四边形为正方形，易得，进而可得，，结合，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心． 故答案为：内； （2）解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∵，，，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：如下图，连接， ∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴，， 设半径为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理，解题的关键是理解三个正方形摆放． （1）（Ⅰ）连接正方形的对角线，利用勾股定理求出的长即可； （Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可； （Ⅲ）找出过三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可； （2）连接，延长交于点P，则，P为中点，设，则，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如下图，连接， ， （）， 图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为； （Ⅱ）如下图， 三个正方形的边长均为4， 三点在以O为圆心，以为半径的圆上， （）， 图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （Ⅲ）如下图所示， ， 是过三点的圆的直径， ， 为圆心， 的半径为， （）， 图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （2）如下图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接，延长交于点P，则，P为中点，       设，则， 则有：， 解得：， 则， 圆形硬纸板的直径是． 学科网（北京）股份有限公司 $