第25章一元二次方程 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过“基础过关+提优过关”分层设计，以一元二次方程核心概念为起点，逐步过渡到综合应用与创新拓展，强化运算能力与模型意识，适配单元复习中差异化巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|一元二次方程定义、解法、根与系数关系、简单实际应用|单选题聚焦概念辨析（如方程定义判断），解答题强化规范运算（如配方法、公式法），体现抽象能力与运算能力| |提优过关|几何动态问题、新定义“立格方程”、复杂实际情境建模|结合矩形动点形成等腰三角形（几何直观），创设“偏向方程”“立格方程”新定义题型（推理能力），深化模型意识与创新思维|

（分层作业）第25章一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 3．若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（     ） A．1 B．8 C．9 D．10 4．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 5．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 7．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 8．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 10．若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 11．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 12．某长方形的长和宽分别等于关于的一元二次方程的两根，若该长方形的周长和面积的数值相等，则，的关系为______． 13．某科研小组在湿地生态研究中发现，某种珍稀候鸟的种群数量在繁殖期增长迅速．监测数据显示，该候鸟种群在繁殖期的4月份与6月份统计的个体数量分别约为100只和169只．假设该种群在此期间的增长符合“增长率恒定模型”（即月平均增长率相同），则该种群的月平均增长率是________． 14．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 三、解答题 15．解方程： (1)． (2)． 16．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 17．长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 提优过关 18．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 19．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，且两根，满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第25章一元二次方程-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C B A A A 1．A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程． 选项A：，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 选项B：含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项C：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项D：未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义． 综上，故选A． 2．B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 3．D 【详解】解：， ， ， ，即b的值为10． 4．C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式变形求解，最后结合判别式验证所得是否符合要求． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， 判别式， 对于任意实数，方程都有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得 , ， ， ， 整理得：， 解得：或， 的值为或1． 5．B 【分析】原规划个充电桩，根据题意得出个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，列出方程求解即可． 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵ 其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程：， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 6．A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 7．A 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 8．A 【分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 9． 【分析】根据根与系数的关系可直接求出两根之和 【详解】解：一元二次方程为， ，， 10． 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 11．/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 12． 且 【分析】设，是关于x的一元二次方程的两正实数根，利用根与系数的关系，可得出，,结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系． 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积的数值相等， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得，或，解得， ∵，即， ∴， ∴且． 13． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用中的增长率问题. 设出月平均增长率，根据增长两个月后的种群数量列方程，舍去不合题意的负根，即可求解． 【详解】解：设该种群的月平均增长率为， 根据题意列方程得： 两边同除以得： 直接开平方得： 增长率为正，因此取正根， 解得，不符合实际意义，舍去． 14． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 15．(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ，即， ． ，． （2）解：原方程可化为， ，，． 方程有两个不相等的实数根， ． ，． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 17．(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 18．(1)； (2)为或； (3)或或或． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分、、三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，设运动时间为． ，，，， 四边形的面积为， ， 解得：， 当为5时，四边形的面积为； （2）解：如图1，，，，为矩形的四个顶点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，， 当为或时，点和点的距离为； （3）解：当时，过作，如图2， 四边形是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过作于，如图3， 同理可证：四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或； 当时，如图4， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或或或时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确列出方程． 19．(1)是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； (2) (3)m的取值范围为或 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，，再根据“立格方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入整理可得，解得k的值，再根据“立格方程”的特点得出且，将k的值分别带入，得出符合要求的值． （3）解该一元二次方程，得出，，或，，再根据此方程为“立格方程”，得出两根均为负数，即，最后分类讨论求出m的取值范围即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， ， ， 即， 解得，， ∵方程是“立格方程”， ∴，即两根均为负数． ∴且． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， 此时方程为，解得，， 满足，且，符合“立格方程”的定义，因此符合要求． 综上所述，． （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 两根均为负数，即， 分类讨论：①当，时， ， ， ，即 ，满足； ②当，时， ， ， ， ，满足； 综上所述，m的取值范围为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $