第十八章 分式 单元小测 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

**基本信息** 本单元卷含知识点系统梳理、分层测试及详解，全面覆盖分式概念、性质、运算、整数指数幂及分式方程应用，适配八年级上册单元复习，强化抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|分式概念、有意义条件、最简分式等|基础辨识，突出易错点（如分式值为0需分母不为0）| |填空题|6题18分|约分、负指数幂、分式方程解等|强化性质应用，如科学记数法表示0.000032| |解答题|5题52分|混合运算、化简求值、行程/工程应用题|分层设计，含运算（如分式乘除）、实际应用（高铁与汽车速度比较），培养模型意识|

八年级数学（上）· 第十八章 分式 · 单元小测 第十八章 分式 单元小测 八年级（上册）· 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案详解 测试范围 分式（分式的概念与性质、分式的运算、整数指数幂、分式方程及其应用） 考试时间 90 分钟 试卷满分 100 分（选择题 30 分 ＋ 填空题 18 分 ＋ 解答题 52 分） 难度分布 基础题约 65%，中档题约 25%，能力题约 10% 班级：______________ 姓名：______________ 学号：__________ 得分：__________ 学法提示：分式是本册最容易“会而不对”的一章。请牢记两条铁律——一是分母永远不能为零，二是解分式方程必须检验。这两条几乎覆盖了本章一半以上的失分点。 第一部分 知识点全面梳理 本章的知识脉络如下图所示：从概念出发，先建立分式的基本性质（约分、通分），再展开四则运算，最后落到分式方程及其实际应用。 图 1 第十八章知识结构图 一、分式的概念 1．定义 一般地，用 A、B 表示两个整式， 可以表示成 的形式。如果 B 中含有字母，那么 叫做分式，A 叫做分子，B 叫做分母。 判断的唯一标准：分母中是否含有字母。 2．整式与分式的辨别 式子 类别 理由 整式（单项式） 分母是数字 2，不含字母 分式 分母含字母 x 整式（多项式） 分母是数字 3 整式 只是系数 整式 π 是常数，不是字母 3．分式有意义、无意义、值为零的条件 要求 条件 举例： 分式有意义 分母 ，即 分式无意义 分母 ，即 分式的值为 0 分子 且分母 且 ，即 特别强调：求“值为零”时，两个条件缺一不可。先由分子等于零求出候选值，再逐一检验分母是否为零，把使分母为零的值舍去。 4．用数轴直观表示取值范围 例如分式 有意义，需要 且 ，在数轴上就是把 0 和 3 这两个点“挖去”（用空心圈表示）。 图 2 $x≠0$ 且 $x≠3$ 的数轴表示 二、分式的基本性质 1．基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变。 ， （C≠0） 2．约分与最简分式 把分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。约分的关键是先把分子、分母分解因式，再约去公因式。 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分的结果必须是最简分式或整式。 例：； 　　。 约分只能约“因式”，不能约“项”。 中的 x 不能约掉，因为它们是加法中的项而不是乘法中的因式。 3．通分与最简公分母 把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做通分。 最简公分母的取法：各分母系数的最小公倍数，与所有出现过的因式的最高次幂的积。 例： 与 的最简公分母是 。 例： 与 ，先分解分母为 与 ，最简公分母是 。 4．分式的符号法则 分子、分母、分式本身各有一个符号，任意改变其中两个，分式的值不变。 ， 常用变形：，这是异分母加减时“统一分母”的关键一步。 三、分式的运算 1．乘法与除法 法则：分式乘分式，分子相乘作分子，分母相乘作分母；分式除以分式，把除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘。 操作要点：先把各分子、分母分解因式，再约分，最后相乘，切忌先乘开再约分。 2．乘方 （n 为正整数） 例：； 。 3．加法与减法 同分母：分母不变，分子相加减。 异分母：先通分，化为同分母，再按同分母法则计算。 高频错误： 计算时忘记给整个分子 加括号，写成 。正确写法是 。 4．混合运算的顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；能约分的先约分，能整体处理的先整体处理。 例：。 四、整数指数幂与科学记数法 1．零指数幂与负整数指数幂 （a≠0） （a≠0，n 为正整数） 例：； ； ； 。 推广结论：，即负指数把分子分母“倒过来”。 2．整数指数幂的运算性质（正整数指数幂的性质全部适用） 性质名称 公式 同底数幂相乘 同底数幂相除 幂的乘方 积的乘方 分式的乘方 这里的 m、n 可以是任意整数（包括零和负整数）。 3．用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 形式为 ，其中 ，n 是原数中第一个非零数字前面所有零的个数（含小数点前的那个 0）。 例：； ； 。 五、分式方程 1．定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。判断标准同样只看分母中是否含未知数。 2．解分式方程的一般步骤 第一步：把各分母分解因式，确定最简公分母； 第二步：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程（去分母）； 第三步：解这个整式方程； 第四步：检验——把求得的根代入最简公分母，若结果不为 0，则是原方程的根；若为 0，则是增根，应舍去； 第五步：写出结论。 3．增根 增根是在去分母时产生的：方程两边同乘的最简公分母可能等于 0，从而扩大了未知数的取值范围。 所以解分式方程必须检验，这是解法本身的一部分，不是“可做可不做”的步骤。 求参数的常见题型：若分式方程有增根，则先由最简公分母为 0 求出增根的值，再把它代入去分母后的整式方程，解出参数。 4．一个完整的示范 解方程：。 分解分母：，最简公分母为 。 两边同乘 ，得 。 去括号：，整理得 ，解得 。 检验：当 时，，所以 是原方程的根。 六、分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答。其中“验”要检验两次——一验是否为增根，二验是否符合实际意义。 问题类型 基本关系式 常见等量关系 行程问题 路程 ＝ 速度 × 时间 时间差、路程相等、速度倍数关系 工程问题 工作量 ＝ 工作效率 × 时间 工作总量常设为 1 或具体数值 销售问题 总价 ＝ 单价 × 数量 单价差、数量差 七、易错点警示（考前必看） 序号 常见错误 正确做法 错在哪里 1 约去 x 不能约分，它已是最简分式 约分只能约公因式，不能约项 2 分子是多项式时未加括号 3 负指数表示倒数，不表示负数 4 底数为负、指数为偶，结果为正 5 解分式方程后不检验 必须代入最简公分母检验 可能把增根当作方程的根 6 去分母时漏乘不含分母的项 每一项都要乘最简公分母 如常数项 1 也要乘 7 分式值为 0 只令分子为 0 还需保证分母不为 0 漏掉限制条件 第二部分 单元小测（满分 100 分，时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把它的代号填在题后的括号内。 1．下列各式中，属于分式的是（ ） A． B． C． D． 2．要使分式 有意义，x 应满足（ ） A． B． C． D． 3．若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ） A．±1 B．1 C．－1 D．0 4．下列分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 5．计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 6．计算 的结果是（ ） A． B． C．0 D． 7．用科学记数法表示 0.000 032，正确的是（ ） A． B． C． D． 8．计算 的结果是（ ） A． B．1 C． D． 9．分式方程 的解是（ ） A． B． C． D．无解 10．若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．－3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．当 x ____________ 时，分式 有意义． 12．约分： ____________________． 13．计算： ____________________． 14．计算： ____________________． 15．分式方程 的解是 ____________________． 16．若关于 x 的分式方程 无解，则 ____________________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分） 17．（12 分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（8 分）先化简，再求值： ，其中 ． 19．（10 分）解下列分式方程： （1）； （2）． 20．（10 分）如图，A、B 两地相距 240 千米。某日小明从 A 地去 B 地，可以选择乘高铁，也可以选择乘汽车。已知高铁的平均速度是汽车平均速度的 3 倍，乘高铁比乘汽车少用 2 小时。 第 20 题图 （1）求汽车的平均速度与高铁的平均速度； （2）若小明当天 9 时从 A 地出发乘高铁，问他几时到达 B 地？ 21．（12 分） （1）（8 分）某小区计划绿化一块面积为 1200 平方米的空地，现由甲、乙两个工程队施工。已知乙队每天绿化的面积比甲队每天绿化的面积多 20 平方米，甲队绿化 600 平方米与乙队绿化 900 平方米所用的天数相同。求甲、乙两队每天各绿化多少平方米？ 第 21 题图 （2）（4 分）计算：． 第三部分 参考答案与详细解析 一、选择题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C A B B B C 二、填空题参考答案 题号 答案 11 12 13 1 14 15 16 2 三、选择题详细解析 第 1 题　答案：B 判断是不是分式，只看分母中有没有字母。 A 项分母是 2，C 项分母是 3，D 项 只是系数，三者分母都不含字母，都是整式； B 项 的分母是 x，含有字母，是分式。故选 B。 提醒： 也是整式，因为 π 是一个确定的常数，不是字母。 第 2 题　答案：B 分式有意义的条件是分母不等于 0，即 ，解得 。 注意分子 是否为 0 与分式“有没有意义”无关。 第 3 题　答案：B 分式的值为 0 需要同时满足两个条件： ① 分子为 0：，解得 或 ； ② 分母不为 0：，即 。 把 舍去，所以 。 本题是全章最典型的陷阱题。只答 ±1 的同学正是漏掉了第二个条件。 第 4 题　答案：C 最简分式要求分子与分母没有公因式。 A 项：，可以约分； B 项：，有公因式 2； C 项： 与 没有公因式，是最简分式； D 项：，可以约分。故选 C。 第 5 题　答案：C 分式的乘方，分子分母分别乘方： 易错：只把字母乘方而忘记系数也要乘方（A 项），或把 算成 9（B 项）。 第 6 题　答案：A 分别计算两项：（非零数的零次幂为 1），。 第 7 题　答案：B 把 0.000 032 写成 的形式，其中 ，所以 。 从小数点起数到第一个非零数字 3 之前共有 5 个零（含小数点前的 0），所以 。 C 项虽然数值相等，但 不满足 ，不符合科学记数法的规范。 第 8 题　答案：B 同分母分式相减，分母不变，分子相减： A 项没有约分，不是最简结果。 第 9 题　答案：B 两边同乘最简公分母 ，得 。 去括号得 ，解得 。 检验：当 时，，所以 是原方程的解。 第 10 题　答案：C 最简公分母是 ，若方程有增根，则增根一定使 ，即增根为 。 两边同乘 去分母，得 整理得 ，即 。 把增根 代入，得 ，解得 。 求增根类问题的通法：先由最简公分母为 0 求出增根，再把增根代入去分母后的整式方程求参数。切记增根是整式方程的根，而不是原分式方程的根。 四、填空题详细解析 第 11 题　答案： 分式有意义要求分母不为 0，即 ，解得 。 第 12 题　答案： 分子与分母的公因式是 ，约去它： 第 13 题　答案：1 两个分母 与 互为相反数，先统一符号： 于是原式化为同分母相减： 第 14 题　答案： 按负整数指数幂的定义： 底数是 ，指数 2 是偶数，所以结果为正。 第 15 题　答案： 两边同乘最简公分母 ，得 。 去括号得 ，移项得 ，解得 。 检验：当 时，，所以 是原方程的解。 第 16 题　答案：2 最简公分母为 ，两边同乘 得 ，即 。 这个整式方程一定有解，所以原分式方程“无解”只能是因为求得的根恰好是增根，即 。 令 ，解得 。 五、解答题详细解析 第 17 题　（12 分，每小题 3 分） （1）先把除法化为乘法，同时把分母分解因式，再约分： （2）先分解因式再约分，注意不要急着展开： （3）先把第二个分母分解因式，确定最简公分母为 ： （4）先算括号内的加法，再把除法化为乘法： 第 18 题　（8 分）　答案：化简结果为 ，值为 2 第一步，先算括号内的减法（把 1 看作 ）： 第二步，把除法化为乘法，并把 分解因式： 第三步，约分： 第四步，把 代入化简后的结果： 本题为什么取 ？因为原式要有意义，必须满足 、、。做“先化简再求值”的题目时，若题目让你“自选一个数代入”，一定要避开这些使分母为零的值。 第 19 题　（10 分，每小题 5 分） （1）最简公分母为 ，两边同乘 ： 去括号：，移项：，即 ，解得 。 检验：当 时，，所以 是原方程的解。 （2）先把分母分解因式：，最简公分母为 。 两边同乘 （注意左边的 1 也要乘）： 去括号：，即 。 整理得 ，解得 。 检验：当 时，，所以 是原方程的解。 第（2）小题有两个高频失分点：一是去分母时漏乘常数项 ；二是得到 后误以为“0 不能作解”而答“无解”。事实上只要 不使分母为零，它就是合法的解。 第 20 题　（10 分）　答案：（1）汽车 80 千米/时，高铁 240 千米/时；（2）10 时到达 （1）（7 分）设汽车的平均速度为 x 千米/时，则高铁的平均速度为 千米/时。 乘汽车所用时间为 小时，乘高铁所用时间为 小时。 由“乘高铁比乘汽车少用 2 小时”，得方程 两边同乘最简公分母 ： 即 ，解得 。 检验：当 时，，所以 是原方程的解，且符合实际意义。 所以汽车的平均速度为 80 千米/时，高铁的平均速度为 千米/时。 （2）（3 分）乘高铁所用时间为 （小时）。 9 时出发，经过 1 小时，即 10 时到达 B 地。 第 21 题　（12 分） （1）（8 分）设甲队每天绿化 x 平方米，则乙队每天绿化 平方米。 甲队绿化 600 平方米用 天，乙队绿化 900 平方米用 天。 由“所用天数相同”，得方程 两边同乘最简公分母 ： 去括号：，移项得 ，解得 。 检验：当 时，，且 符合实际意义。 所以甲队每天绿化 40 平方米，乙队每天绿化 平方米。 （2）（4 分）逐项计算： ， ， 所以 提醒：（π＝3.141 592 65…），所以 成立。若底数为 0，零次幂无意义。 六、评分参考 题型 题号 分值 评分说明 选择题 1 ～ 10 每题 3 分 选对得 3 分，不选、多选、错选均不得分 填空题 11 ～ 16 每题 3 分 结果不是最简分式不得分 解答题 17 12 分 每小题 3 分，约分不彻底扣 1 分 解答题 18 8 分 化简正确得 6 分，代入求值正确得 2 分 解答题 19 10 分 每小题 5 分，其中检验步骤各占 1 分（缺检验扣分） 解答题 20 10 分 （1）设未知数 1 分、列式 3 分、求解 2 分、检验作答 1 分；（2）3 分 解答题 21 12 分 （1）8 分（列式 4 分、求解 2 分、检验作答 2 分）；（2）4 分 —— 本章测试到此结束，记住：分母不为零，解完要检验！ —— 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $