第十七章 因式分解 单元复习学案 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

该初中数学单元学案以“因式分解”为核心，围绕提公因式法、公式法等方法及应用构建学习目标。通过“概念-方法-步骤-应用”的递进式知识点梳理，从基础定义到拓展分组分解，形成连贯的知识建构路径。 亮点在于“几何直观与应用实践”的设计，如用拼图理解因式分解几何意义，通过简便计算、面积问题等典型应用任务，培养学生运算能力与应用意识。配备易错点警示和自查方法，为学生提供深度学习支持，同时通过难度分层测试与详解，为教师单元复习教学提供系统指导。

八年级数学（上）· 第十七章 因式分解 · 单元小测 第十七章 因式分解 单元小测 八年级（上册）· 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案详解 测试范围 因式分解（提公因式法、公式法、分组分解法及其应用） 考试时间 90 分钟 试卷满分 100 分（选择题 30 分 ＋ 填空题 18 分 ＋ 解答题 52 分） 难度分布 基础题约 70%，中档题约 20%，能力题约 10% 班级：______________ 姓名：______________ 学号：__________ 得分：__________ 学法提示：因式分解与整式乘法是一对互逆变形。做完每一道分解题后，务必把结果乘开与原式核对——这是本章最有效的自查方法，也是考场上唯一可靠的“验算”手段。 第一部分 知识点全面梳理 一、因式分解的概念 1．定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2．因式分解与整式乘法的关系 二者是方向相反的两种变形：整式乘法是把“积”化为“和”，因式分解是把“和”化为“积”，它们互为逆过程。 图 1 因式分解与整式乘法互为逆变形 3．判断一个变形是不是因式分解的三个要点 （1）左边必须是一个多项式； （2）右边必须是几个整式相乘的形式（整式之间只有乘号，不能出现加号、减号连接的“最外层”结构）； （3）变形前后必须恒等（结果乘开能还原成原式）。 式子 是否为因式分解 理由 不是 这是整式乘法，方向相反 不是 右边最外层是减法，不是积 是 左边是多项式，右边是两个整式的积 不是 不是整式 不是 这是单项式乘多项式 4．因式分解的几何意义 用若干块面积为 、、 的小卡片拼成一个大长方形，长方形的长与宽就是这个多项式的两个因式。 图 2 用拼图理解 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 二、提公因式法 1．公因式的确定（三看） 一看系数：取各项系数的最大公约数； 二看字母：取各项都含有的相同字母； 三看指数：相同字母取次数最低的那一个。 例： 与 的公因式是 （系数取 3，字母 a 取 ，字母 b 取 ）。 2．基本形式 例：。 3．两种常见变式 （1）首项为负时，通常先提出负号，使括号内首项为正： （2）公因式可以是一个多项式（整体思想）： 注意互为相反数的因式可以转化：，。 易错提醒：当某一项恰好就是公因式时，提出后括号内要留下 1，绝不能留空。如 ，不能写成 。 三、公式法 1．平方差公式 适用特征：① 只有两项；② 两项符号相反（一正一负）；③ 两项都能写成某个式子的平方。 例：； 　　。 多项式 能否用平方差公式 原因 不能 两项同号，不是“差” 不能 提负号后为 ，仍是平方和 能 即 不能 第二项不是平方，应用提公因式法 2．完全平方公式 适用特征：① 恰有三项；② 有两项能写成平方且同号（通常为正）；③ 第三项是这两个数乘积的 2 倍（符号决定用和还是差）。 例：； ； 　　。 判别口诀：首尾平方要同号，中间两倍看符号；符号为正用“和”方，符号为负用“差”方。 四、因式分解的一般步骤与方法体系 图 3 因式分解的方法体系 第一步：有公因式的，先提公因式（包括先提负号）； 第二步：剩下的因式若是两项，考虑平方差公式；若是三项，考虑完全平方公式； 第三步：项数较多（如四项）时，考虑分组分解； 第四步：检查每一个因式是否还能继续分解，直到不能分解为止。 口诀：一提、二套、三分组、四检查。 “分解到底”是本章最大的失分点。例如 若只分解到 就停手，会被扣分，正确结果是 。 五、分组分解法（拓展提高） 当多项式有四项或更多项、且没有公因式时，可以适当分组，使分组后各组能提公因式或能用公式。 （1）二二分组（提公因式型）： （2）三一分组（配完全平方型）： 六、十字相乘法（拓展了解） 分解 ：因为 ，，所以原式 。 分解 ：因为 ，，所以原式 。 范围说明：本章所有分解都在有理数范围内进行，即分解后各因式的系数仍是有理数。到九年级学习二次根式后，才可以在实数范围内进一步分解，例如 ，。本章不作这样的要求。 七、因式分解的四类典型应用 1．简便计算 2．整体代入求值 ，已知 与 即可求值 3．判断整除性 例： 能被 6 整除，因为 。 4．几何图形中的面积计算 把面积表达式分解成积的形式，往往能大大简化数值计算。 八、易错点警示（考前必看） 序号 常见错误写法 正确结果 错在哪里 1 没有化成积的形式 2 ，不是 3 右边最外层是加法，不是积 4 没有分解到底 5 提负号后括号内符号未全改 6 在有理数范围内不能分解 平方和不能用平方差公式 7 提出公因式后漏写 1 第二部分 单元小测（满分 100 分，时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把它的代号填在题后的括号内。 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．多项式 各项的公因式是（ ） A． B． C． D． 3．把 分解因式，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，是完全平方式的是（ ） A． B． C． D． 6．若 是一个完全平方式，则 m 的值为（ ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 7．把 分解因式，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 8．计算 的值为（ ） A．2 B．4050 C．8100 D．8200 9．已知 ，，则 的值为（ ） A．4 B．8 C．12 D．36 10．多项式 与 的公因式是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．分解因式： ____________________． 12．分解因式： ____________________． 13．分解因式： ____________________． 14．已知 ，，则 ____________________． 15．用简便方法计算： ____________________． 16．若 能用完全平方公式分解因式，则 ____________________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分） 17．（18 分）把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 18．（8 分）已知 ，，求 的值． 19．（8 分）用简便方法计算： （1）； （2）． 20．（8 分）利用因式分解解决下列面积问题： （1）如图 1，在一个边长为 a 的正方形纸板的四个角上，各剪去一个边长为 b 的小正方形。用含 a、b 的式子表示剩余部分的面积（结果分解成积的形式），并求当 ， 时剩余部分的面积； 第 20 题图 1 （2）如图 2，大圆半径为 R，小圆半径为 r，求圆环（阴影部分）的面积（结果分解成积的形式），并求当 ， 时圆环的面积（结果保留 π）． 第 20 题图 2 21．（10 分）阅读下面的材料，并解答问题． 对于四项及以上的多项式，如果没有公因式，可以先适当分组，使分组后各组能提公因式或能用公式，这种方法叫做分组分解法．例如： （1）仿照上面的方法，把 分解因式； （2）已知 △ABC 的三边长分别为 a、b、c，且满足 ，试判断 △ABC 的形状，并说明理由． 第三部分 参考答案与详细解析 一、选择题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C B D B C C B 二、填空题参考答案 题号 答案 11 12 13 14 30 15 314 16 ±6 三、选择题详细解析 第 1 题　答案：C 因式分解要求“左边是多项式、右边是几个整式的积”。 A 项从左到右是把积化成了和，是整式乘法，方向正好相反； B 项右边最外层是 与 3 相减，不是积的形式； C 项左边是多项式，右边是两个整式相乘，且乘开后确实等于左边，是因式分解； D 项中 含有分式，不是整式。故选 C。 第 2 题　答案：B 按“三看”确定公因式：系数 6 与 9 的最大公约数是 3；字母 a 的最低次数是 2，取 ；字母 b 的最低次数是 2，取 。 所以公因式是 ，即 。 C 项错在系数取了 6（6 不是 9 的约数），D 项错在字母取了最高次数。 第 3 题　答案：A 首项系数为负，先提出负号，公因式为 ： 验算：，与原式相同。 D 项虽然乘开也等于原式，但括号内 还有公因式 2，没有分解到底，不符合要求。 第 4 题　答案：C 平方差公式要求“两项、异号、都是平方”。 A 项 是平方和，在有理数范围内不能分解； B 项 ，括号内仍是平方和； C 项 ，可以分解； D 项 ，应该用提公因式法。故选 C。 第 5 题　答案：B 完全平方式的特征是“三项、首尾是平方且同号、中间项是首尾两数积的 2 倍”。 B 项： 中，首项为 ，末项为 ，中间项 ，符合，； A、D 两项末项为 ，不是平方；C 项中间项 ，都不符合。 第 6 题　答案：D 由 可知， 若为完全平方式，则中间项为 。 所以 或 ，即 。 易错：只写 8 而漏掉 。因为 与 展开后常数项都是 16，两种情况都要考虑。 第 7 题　答案：B 先提公因式 x，再对括号内用平方差公式： A 项只提了公因式， 还能继续分解，没有分解到底；C 项右边第一个因式 仍有公因式；D 项乘开得 ，与原式不等。 第 8 题　答案：C 直接平方运算很繁琐，用平方差公式可以口算： 第 9 题　答案：C 把 分解成两个已知式子的积： 本题不必解出 a、b 的具体值，体现了“整体代入”的思想。 第 10 题　答案：B 先把两个多项式分别分解： ， 两者共有的因式是 ，所以公因式是 。 四、填空题详细解析 第 11 题　答案： 系数 3 与 6 的最大公约数为 3，字母 x 是两项都含有的且最低次为一次，故公因式为 ： 第 12 题　答案： 先提公因式 a，再用平方差公式： 只写到 属于没有分解到底，不能得分。 第 13 题　答案： 先提公因式 2，括号内是完全平方式： 第 14 题　答案：30 提取公因式 ，把所求式化为已知条件的组合： 第 15 题　答案：314 把 3.14 看作公因式提取出来： 第 16 题　答案：±6 ，若 是完全平方式，则一次项应为 。 即 或 ，所以 或 ，即 。 五、解答题详细解析 第 17 题　（18 分，每小题 3 分） （1）先提公因式 4，再用平方差公式： （2）首项为负，先提出 ，括号内是完全平方式： （3）把 看成一个整体，设 ，则原式为 ，还原得： （4）连续两次使用平方差公式： 注意 在有理数范围内不能再分解。 （5）把 看作整体，先用平方差公式，再分别用完全平方公式： （6）先利用 统一因式，再提公因式，最后用平方差公式： 本题六个小题层层递进，涵盖了“提公因式 → 套公式 → 整体思想 → 分解到底”的完整链条。做完后逐题乘开验算，是最好的自查方式。 第 18 题　（8 分）　答案：48 先观察所求式子的结构：三项都含有公因式 。 括号内正好是完全平方式： 把 ， 整体代入： 思路小结：求值题若直接解出 x、y 往往很麻烦（甚至无法用八年级知识解出），正确做法是先把所求式子因式分解，凑出已知的 与 ，再整体代入。 第 19 题　（8 分，每小题 4 分） （1）把 2025 看作公因式提取出来： （2）把 看作中间项，凑完全平方公式： 第 20 题　（8 分，每小题 4 分） （1）剩余部分的面积 ＝ 大正方形面积 － 四个小正方形面积： 当 ， 时，，代入分解后的结果： 即剩余部分的面积为 30（平方单位）。 （2）圆环面积 ＝ 大圆面积 － 小圆面积： 当 ， 时： 即圆环的面积为 70π（平方单位）。 对比体会：若直接算 或 ，计算量大且容易出错；先分解因式再代入，可以口算完成。这正是因式分解在计算中的价值。 第 21 题　（10 分） （1）（5 分）观察到 、、 三项恰好能组成完全平方式，故采用“三一分组”： （2）（5 分）先对已知等式的左边分组分解： 由已知得 。 因为 a、b、c 是三角形的三条边长，都是正数，所以 。 于是只能有 ，即 。 所以 △ABC 是等腰三角形（以 a、b 为腰）。 本题是“因式分解 ＋ 几何判断”的经典综合题。关键有两步：一是把等式左边分解成积的形式，二是利用“三角形三边为正数”排除 的情况。第二步的说理不能省略，否则要扣分。 六、评分参考 题型 题号 分值 评分说明 选择题 1 ～ 10 每题 3 分 选对得 3 分，不选、多选、错选均不得分 填空题 11 ～ 16 每题 3 分 未分解到底或结果不是积的形式均不得分 解答题 17 18 分 每小题 3 分；分解不彻底每处扣 1 分 解答题 18 8 分 分解因式 5 分，整体代入求值 3 分 解答题 19 8 分 每小题 4 分；直接硬算得出正确结果酌情给 2 分 解答题 20 8 分 每小题列式 2 分、求值 2 分；缺“积的形式”扣 1 分 解答题 21 10 分 （1）5 分；（2）分解 3 分，说理 2 分 —— 本章测试到此结束，愿你把每一个多项式都拆解得干净利落！ —— 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $