26.1 二次函数的概念（课后能力提升）2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数概念，通过“概念理解-应用辨析-综合提升”三层设计，强化从定义到实际应用的知识巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解层|二次函数定义、表达式形式|以识别题直接考查定义要素，强化a≠0等核心条件| |应用辨析层|表达式选择、易混概念|结合实际情境列关系式，辨析与一元二次方程的区别| |综合提升层|参数取值、函数关系判断|通过多选项辨析融合易错点与跨知识点应用|

26.1 二次函数的概念 一、核心知识点 1.二次函数：一般地，形如 y = ax2 + bx + c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 2.二次函数三种表达式 ①.一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。适用已知任意三个点坐标求函数解析式。 ②.顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。顶点坐标：(h,k)；对称轴直线 x=h 适用：已知顶点、最值、对称轴条件。 ③.交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。x1、x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标，适用已知抛物线和x轴两个交点。 3.易混概念辨析 ①、二次函数和一元二次方程 二次函数：y=ax2+bx+c，有两个变量 x、y； 一元二次方程：ax2+bx+c=0，只有未知数x； ②、整式函数和分式/根式 二次函数必须是整式，分母含x、根号内含x都不属于二次函数。 4.概念类经典易错总结 ①.忽略 a≠0 这个核心条件； ②.化简多项式后再判断次数，不能直接看原式； ③.误以为二次函数必须同时存在二次项、一次项、常数项（b=0 或 c=0 依然是二次函数）； ④.顶点式中符号混淆：y=a(x-h)^2+k，对称轴是 x=h，不是 x=-h； ⑤.实际问题忘记自变量取值范围限制。 二、典型例题 列二次函数的关系式 例1．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 二次函数的识别 2．下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 根据二次函数的定义求参数 3．已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 三、课后训练 1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 3．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行（），一般地有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：）．下列说法正确的是（    ） A．是的一次函数 B．与是变量 C．的取值为全体实数 D．是自变量 4．已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 6．若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1 二次函数的概念 一、核心知识点 1.二次函数：一般地，形如 y = ax2 + bx + c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 2.二次函数三种表达式 ①.一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。适用已知任意三个点坐标求函数解析式。 ②.顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。顶点坐标：(h,k)；对称轴直线 x=h 适用：已知顶点、最值、对称轴条件。 ③.交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。x1、x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标，适用已知抛物线和x轴两个交点。 3.易混概念辨析 ①、二次函数和一元二次方程 二次函数：y=ax2+bx+c，有两个变量 x、y； 一元二次方程：ax2+bx+c=0，只有未知数x； ②、整式函数和分式/根式 二次函数必须是整式，分母含x、根号内含x都不属于二次函数。 4.概念类经典易错总结 ①.忽略 a≠0 这个核心条件； ②.化简多项式后再判断次数，不能直接看原式； ③.误以为二次函数必须同时存在二次项、一次项、常数项（b=0 或 c=0 依然是二次函数）； ④.顶点式中符号混淆：y=a(x-h)^2+k，对称轴是 x=h，不是 x=-h； ⑤.实际问题忘记自变量取值范围限制。 二、典型例题 列二次函数的关系式 例1．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 二次函数的识别 2．下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意． 故选C． 根据二次函数的定义求参数 3．已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 三、课后训练 1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 3．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行（），一般地有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：）．下列说法正确的是（    ） A．是的一次函数 B．与是变量 C．的取值为全体实数 D．是自变量 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念理解，熟悉掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念逐一判断即可． 【详解】A：一次函数的形式为，而属于二次函数，故A错误； B：变量是指可以取不同值的量，在公式中，的变化会导致变化，因此和均为变量，描述正确，故B正确； C：速度表示刹车前的实际速度，物理上不可能为负数，取值范围应为，而非全体实数，故C错误； D：自变量是主动变化的量，此处是自变量，是因变量，故D错误； 故选：B． 4．已知是的函数，下表是与的几组对应值： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 与的函数关系有以下3个描述：①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为是解题的关键．根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，不可能是一次函数关系，可能是二次函数关系，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为，故可能是反比例函数关系，故②正确； 故选：C． 5．若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 6．若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选B． 7．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $