第25章 第3课时 实际问题与一元二次方程（课后能力提升）2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过典型例题-课后单选-解答题三级分层，构建从基础模型到综合情境的知识巩固路径，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典型例题|传播/增长率/图形等6类核心应用模型|基础模型示例，如传播问题两轮传染计算，培养抽象能力| |课后单选|单一问题辨析|概念辨析题，如增长率方程列法，强化推理意识| |课后解答|综合情境应用|多问递进设计，如营销问题盈利计算与判断，提升应用意识|

25.3 实际问题与一元二次方程 一、典型例题 传播问题（一元二次方程应用） 例1．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 增长率问题（一元二次方程应用） 例2．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 与图形有关的问题（一元二次方程应用） 例3．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 【答案】D 【分析】将图形补全为大矩形，根据题意得到，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 营销问题问题（一元二次方程应用） 例4．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 工程问题（一元二次方程应用） 例5．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 行程问题（一元二次方程应用） 例6．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 2、 课后训练 一、单选题 1．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 2．杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件表示出2026年的增长率，再依次推导各年研发经费，最终根据2026年研发经费列出方程． 【详解】解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元， ∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元， ∴列方程得． 3．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 4．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 二、解答题 5．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 6．松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 7．如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 8．某商店销售一种商品，每件进价40元．当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件．设售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)若日利润为1800元，求售价x的值． 【答案】(1)（，且x为整数） (2) 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件，售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答； （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，通过解一元二次方程即可作答． 【详解】（1）解：， ∵日销量不能为负数，即， ∴， ∴y与x的函数关系式为（，且x为整数）． （2）解：∵单件利润为元，销售量为件， ∴ 整理得：， ， 解得， ∵， ∴． 9．某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数的关系．销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 日销售量y/个 500 490 480 470 460 450 (1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为，的取值范围是 (2)当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出y与x的函数关系式，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 由题意可得， 解得， 综上所述，y与x的函数关系式为，的取值范围是； （2）解：由题意可得， 解得，， ∵， ∴， ∴当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 10．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 11．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 12．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 13．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 【答案】(1) (2)该车刹车后秒内向前滑行了米 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：依题意，， ，， 则 依题意，， 即 解得：或（舍去） 答：该车刹车后秒内向前滑行了米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 实际问题与一元二次方程 一、典型例题 传播问题（一元二次方程应用） 例1．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 增长率问题（一元二次方程应用） 例2．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 与图形有关的问题（一元二次方程应用） 例3．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 营销问题问题（一元二次方程应用） 例4．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 工程问题（一元二次方程应用） 例5．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 行程问题（一元二次方程应用） 例6．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？． 2、 课后训练 一、单选题 1．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 2．杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 3．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、解答题 5．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 6．松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 7．如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 8．某商店销售一种商品，每件进价40元．当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件．设售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)若日利润为1800元，求售价x的值． 9．某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数的关系．销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 日销售量y/个 500 490 480 470 460 450 (1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 10．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 11．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 12．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 13．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示； (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $