22.2.3 比例线段（第3课时 平行线分线段成比例）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦平行线分线段成比例定理及其推论，通过梯子情境导入，从AB=BC时DE=EF的生活常识出发，逐步探究直线被平行线截得线段的数量关系，构建从特殊到一般的学习支架，衔接相似形前期知识。 其亮点在于以观察猜想验证的探究过程培养推理能力，通过面积法推导定理发展几何直观，结合典例与分层练习（如菱形内接三角形问题）强化应用。教师可借助清晰推导与实例提升教学效率，学生能在过程中发展逻辑思维与数学应用意识。

【新教材】沪科版·九年级上册 第22章 相似形 22.2.3 比例线段 第3课时 平行线分线段成比例 学 习 目 标 1 2 3 理解平行线分线段成比例定理及其推论，能准确表述定理内容。 能灵活运用定理及推论，进行比例式的建立、线段长度的计算和简单推理。 经历观察、猜想、验证的探究过程，体会从特殊到一般的数学思想，发展逻辑推理和几何直观能力。 情景导入 下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道:AD，BE，CF 互相平行，且若 AB = BC，你能猜想出什么结果呢？ b c a DE = EF 活动一：平行线分线段成比例 【合作探究】 提分笔记 如图，已知直线 a∥b∥c，直线 l1，l2 被直线 a，b，c 截得的线段分别为 AB，BC 和A1B1，B1C1，若 AB = BC，则 A1B1 = B1C1 吗？ b c A1 C1 B1 A C B A1B1 = B1C1 如何证明呢？ 【推理证明】 提分笔记 过点 B 作直线 l3∥l2，分别与直线 a，c 相交于点A2，C2. 由于 a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知， b c A1 C1 B1 A C B A2 C2 A2B = A1B1 ， BC2 = B1C1. 在△BAA2 和△BCC2 中， ∠ABA2 =∠CBC2，BA = BC，∠BAA2 =∠BCC2， 因此 △BAA2≌△BCC2， 从而 A2B = BC2， 所以 A1B1= B1C1. 活动一：平行线分线段成比例 【归纳小结】 提分笔记 活动一：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【思考交流】 提分笔记 活动一：平行线分线段成比例 在前面“思考”栏目中，若AB≠BC，如图所示， 则 与 相等吗？ b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 任意平移直线 c， 与 还会相等吗？ 如图，连接 AB1，B1C，BA1，BC1. b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 由于△ABB1 底边 AB 上的高、△BCB1 底边 BC 上的高、△ACB1 底边 AC 上的高是同一条高线，因而由三角形的面积计算公式可得，它们的面积比等于底边长之比，即 又由于△A1B1B 底边 A1B1 上的高，△B1C1B 底边 B1C1 上的高、△A1C1B 底边A1C1 上的高也相同，则它们的面积比也等于底边长之比，即 活动一：平行线分线段成比例 b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 由于△ABB1，△A1B1B 是平行线a，b 之间同底等高的两个三角形，因此 由于△BCB1，△B1C1B 是平行线 b，c 之间同底等高的两个三角形，因此 ① + ② 得， 即 活动一：平行线分线段成比例 于是 同理可得： 活动一：平行线分线段成比例 【归纳总结】 提分笔记 由此得到以下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 以上基本事实简称为平行线分线段成比例. 符号语言： 若 a∥b∥ c ，则 ， ， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c 活动一：平行线分线段成比例 【典例讲解】 提分笔记 例题1：如图，已知 AA1∥BB1∥CC1，AB = 2，BC = 3，A1B1 = 1.5，求 B1C1 的长. A1 C1 B1 A C B 解 由平行线分线段成比例可知， ，即 ， 因此， 活动一：平行线分线段成比例 提分笔记 【练一练】 1.如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( ) A. B. C. D. A C E B D F l2 l1 l3 D 活动一：平行线分线段成比例 【合作探究】 活动二：平行线分线段成比例定理的推论 如图，直线 a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中哪些对应成比例的线段？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？ A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) 活动二：平行线分线段成比例定理的推论 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) 活动二：平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. A1(B1) A2 A3 B2 B3 A2(B2) A1 A3 B1 B3 归纳： 活动二：平行线分线段成比例定理的推论 例题2：如图，在△ABC 中，已知 DE∥BC， 求证： 证明 如图，过点 A 作直线 MN，使 MN∥DE. ∵DE∥BC，所以 MN ∥DE∥BC. ∴AB，AC 被一组平行线 MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知， B C A M N D E 活动二：平行线分线段成比例定理的推论 【练一练】 活动二：平行线分线段成比例定理的推论 如图：在 △ABC 中，点 D、E、F 分别在边AB、AC、BC 上，且 DE//BC、EF//AB.若 AD = 2BD. (1)求证： (2)求 的值. 解：∵DE//BC，EF//AB 又 AD = 2BD A B C D E F 随堂练习 1.如图，在△ABC 中， EF∥BC. (1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE = 7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ A B C E F 解：∵ ∴ 解得 AF = 4. (2) 如果AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？ 解：∵ ∴ 解得 AC = . ∴ FC = AC－AF = . 随堂练习 2. 如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则 AC = ；FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = . A B C E D F G 7.5 6 3. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE = 2 cm，BE = 6 cm，BC = 4 cm，EF 长 ( ) A. 1 cm B. cm C. 3 cm D. 2 cm A B C E F A 21 随堂练习 4. 如图，已知菱形 ABCD 内接于 △AEF，AE = 5 cm，AF = 4 cm，求菱形的边长. B C A D E F 解：∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴ CD∥AB， ∴ 设菱形的边长为 x cm， 则 CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm， ∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm. 22 5.如图，AB = AC，AD⊥BC 于点 D，M 是AD 的中点，CM 交 AB 于点 P，DN∥CP. （1）若 AB = 6 cm，求 AP 的长； （2）若 PM = 1 cm，求 PC 的长. A C D B M N P 解：(1)∵AB = AC，AD⊥BC 于点 D，M 是 AD 的中点，∴DB = DC，AM = MD. ∵DN ∥CP， 又∵AB = 6 cm， ∴ AP = 2 cm. 随堂练习 （2）若 PM = 1 cm，求 PC 的长. ∵ DN∥CP， 又∵ PM = 1 cm， ∴ PC = 2ND = 4PM = 4 cm. 解：由（1）知 AP = PN =NB， A C D B M N P 随堂练习 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ②推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例 ①基本事实 平行线分线段成比例 课堂总结 25 25 【新教材】北师大版·九年级上册 感谢聆听! l1 l2 A B C $