22.2.2用角的关系判定两个三角形相似（课件）2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“两角分别相等判定三角形相似”核心知识点，通过复习定义法、平行线法等旧知，类比全等三角形判定方法引导猜想，构建从已知到未知的学习支架，帮助学生形成知识脉络。 其亮点在于以三大经典模型（公共角、对顶角、子母型）培养几何直观，通过严谨证明过程发展推理意识，结合标准答题模板与口诀强化数学语言表达。实例如子母型模型解析中考高频题，易错点总结助力学生规避错误，教师可借此提升教学效率，学生能深化相似判定应用能力。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章　相似形 22.2.2用角的关系判定两个三角形相似 2026年8月6日 22.2.2 用角的关系判定两个三角形相似 核心知识点总结 一、核心判定定理（AA 两角分别相等） 定理内容：如果两个三角形有两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似。 简称：两角相等 → 三角形相似（AA判定）。 原理推导：三角形内角和为180°，两组角对应相等，则第三组角必然相等，满足三角对应相等，即可判定三角形相似。 考试地位：初中相似三角形使用频率最高、最万能的判定方法，绝大多数几何相似题优先用AA证明。 二、重要推论（直角三角形专属） 推论：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 原因：两个直角三角形本身自带一组直角相等，只需再找一组锐角相等，即可满足AA判定条件，快速证相似。 三、三大经典必考模型（角相等证相似） 1. 公共角模型（最基础） 两个三角形共用一个顶角，再找一组对应角相等，直接AA证相似。 常见图形：嵌套三角形、大三角形内含小三角形。 2. 对顶角模型（8字型） 两三角形对顶相交，自带一组对顶角相等，再找一组内错角、同位角或已知等角，即可证相似。 3. 子母型模型（射影定理模型） 直角三角形斜边上作高，分割出两个小直角三角形，与原大三角形两两相似。 核心结论：一高出三相似，全部依靠AA判定，是中考高频压轴模型。 四、相似三角形通用性质（延续上节） 只要证出两三角形相似，性质直接套用： 1. 对应角相等，对应边成比例； 2. 对应高线、中线、角平分线、周长比 = 相似比； 3. 面积比 = 相似比的平方。 五、标准答题模板（考试直接默写） 证明： ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'（已知/平行性质/对顶角相等） ∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似） 六、找等角的五大常用途径 1. 平行线：同位角相等、内错角相等； 2. 相交线：对顶角相等； 3. 公共角：两三角形共有的角天然相等； 4. 直角：所有直角均相等； 5. 等角的余角、补角相等。 七、高频易错点（考试扣分重点） 1. 只找一组角相等就证相似，必须两组角才可判定； 2. 找错对应角、对应顶点，导致相似书写顺序错误； 3. 直角三角形相似遗漏直角条件，不会简化证明过程； 4. 混淆判定方法：AA不需要任何边的条件，只看角度； 5. 证出相似后，面积比忘记平方相似比。 八、本节总结口诀 两角相等证相似，AA判定最常用。 公共对顶直角优，找角轻松出结果。 子母模型三相似，线段比例直接求。 顶点对应要规范，性质套用不丢分。 复习回顾 目前为止，我们已经学习了哪些判定三角形相似的方法？ 定义法： 对应边成比例，且对应角相等的两个三角形是相似三角形． A B C A1 B1 C1 ∠A=∠A1， ∠B=∠B1，∠C=∠C1 △ABC∽△A1B1C1 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似． A B C D E 平行线法： A B C D E A D E B C 目前为止，我们已经学习了哪些判定三角形相似的方法？ DE∥BC △ADE∽△ABC 我们知道三角形全等是三角形相似的特例，能否类比全等三角形的判定方法，猜想出相似三角形的判定方法呢？   全等三角形 相似三角形 图形 判定方法 SSS（边边边） SAS（边角边） ASA（角边角）；AAS（角角边） HL（斜边直角边） 三边对应成比例的两个三角形相似. C A B A' B' C ' C A B A' B' C ' 两角分别相等的两个三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 一个直角三角形的直角边和斜边分别和另一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 猜想 我们一起来证明这些猜想！ 4 已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'， ∠B=∠B'， 求证：△ABC∽△A'B'C'. 猜想： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． A' B' C' A B C 猜想 5 已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'， ∠B=∠B'， 求证：△ABC∽△A'B'C'. 已知条件中，只含有角度的条件，结合已经学过的判定方法进行分析. (2)利用平行线法构造证明(添加辅助线) (1)利用定义法证明(条件不够) 分析 A B C A' B' C' 6 A B C A' B' C' 证明 ∴△ABC∽△A'B'C'． 又∵∠A=∠A'，AD=A'B'， ∴△ADE≌△A'B'C'(ASA). ∵∠ADE=∠B， ∠B=∠B'， 证明：在△ABC的边AB(或延长线)上，截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，则 △ADE∽△ABC. D E ∴∠ADE=∠B'. 已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'， ∠B=∠B'， 求证：△ABC∽△A'B'C'. 三角形相似的传递性 猜想成立 7 1.【知识初练】观察下图中的两组图形，相似的一组是________．(填序号) 1星题 基础练 ① 举一反三 2. 【新趋势·开放性问题】如图，AB与CD相交于点O，连接AC，BD，添加一个条件，使△ACO∽△BDO.你添加的条件是_______________________． ∠A＝∠B(答案不唯一) 举一反三 归纳 相似三角形的判定定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简记为：两角分别相等的两个三角形相似． 符号语言： 在△ABC和△A'B'C'中， ∵∠A=∠A'，∠B=∠B' ∴ △ABC∽△A'B'C'． 10 典型例题 在相似三角形中，一般来说，对顶角、公共角是隐藏的对应角. 　　 B D A C E F 解：∵∠B=∠C， ∠DFB=∠EFC， ∴△DFB∽△EFC. ∵∠B=∠C，∠A=∠A， ∴△ABE∽△ACD. 【例1】如图：∠C=∠B，请指出图中的相似三角形. 两角分别相等的两个三角形相似 11 典型例题 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∠2=∠3， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 【例2】如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O 当题目中仅已知角的关系时，一般用判定定理1证明相似. 12 核心必知 ________分别相等的两个三角形相似，即在△ABC和△A′B′C′中， ⇒△ABC∽△A′B′C′. 两角 ∠B′ 举一反三 3．[深圳模拟]如图，已知∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，则图中与△ADE相似(本身除外)的三角形共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 举一反三 4．如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，求证：△ADF∽△DEC. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠DCE＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC. ∵∠AFD＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＋∠B＝180°，∴∠AFD＝∠DCE，∴△ADF∽△DEC. 举一反三 5．[合肥月考]如图，已知∠1＝∠2＝∠3，求证： △ABC∽△ADE. 证明：∵∠1＝∠3， ∴∠1＋∠DAC＝∠3＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE. ∵∠2＝∠3，∠COD＝∠AOE， ∴易得∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE. 举一反三 6.【思维生长】 如图①，点D，C分别在AB，AE上，BC交DE于点F，∠B＝∠E，AB＝5，AE＝3，BC＝4， 则DE的长为________． 向“边的特殊化”生长：如图②，在△ABC中，AD是 中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　　) A．4 B．4 C．6 D．4 B 举一反三 向“角的特殊化”生长：如图③，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.若CD＝1，BD＝4，则AD＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．2 A 举一反三 7．如图，∠BAD＝∠C，DE∥AB，下列判断中错误的是(　　) A．△ABD∽△CBA B．△ADE∽△ACD C．△ABD∽△DAE D．△ABD∽△CDE C 2星题 中档练 举一反三 8.【跨学科·物理】如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y轴上的点C(0，2)反射后经过x轴上的点B，则点B的坐标为________． (6，0) 思路点睛：首先过点A作AD⊥y轴于点D，易证得△ACD∽△BCO，由点A(3，3)，C(0，2)可求得OC，AD，CD的长，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OB的长，即可得出点B的坐标． 举一反三 9．[天津河西区期中] 将两个全等的等腰直角三角形ABC和GAF按照如图所示的方式摆放，∠BAC＝∠AGF＝90°，AF，AG与边BC的交点分别为D，E.已知AB＝ ，BD＝2，则DE的长为________． 举一反三 相似三角形的判定定理1 相似三角形的判定定理1： 符号语言： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简记为：两角分别相等的两个三角形相似． 在△ABC和△A'B'C'中， ∵∠A=∠A'，∠B=∠B' ∴ △ABC∽△A'B'C'． 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 4 $