5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按工程、比赛积分、销售盈亏三大模块分类训练，通过典例提炼“情境抽象-等量关系建立-方程求解”的系统性解题方法，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |工程问题|6题|总工作量设为1，利用“各阶段工作量之和=总工作量”列方程|从工作效率、时间关系抽象等量关系，体现数学思维的逻辑性| |比赛积分问题|6题|通过表格数据建立得分规则模型，用“答对得分-答错扣分=总得分”求解|以实际比赛情境为载体，培养数据意识与推理能力| |销售盈亏问题|6题|围绕成本、售价、折扣构建利润关系，运用“利润=售价-成本”列方程|结合经济生活场景，发展用数学语言表达现实问题的能力|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、工程问题 1．整理一批图书，由1人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 2．一项工程，甲队单独完成需要30天，乙队单独完成需要20天，现甲队单独做5天后两队合作． (1)求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费为1500元，乙队每天的施工费为2000元，求完成此项工程需付甲、乙两队共多少元？ 3．某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 4．随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 5．某工程甲单独完成要10天，乙单独完成要15天．现在两人合作完成整个工程后，厂家共付4500元，如果按完成工作量的多少分配，则甲、乙两人各分得多少元？ 6．一条地下管线由甲工程队单独需要铺设12天，由乙工程队单独铺设需要24天． (1)甲先做3天，甲乙再合作，还需要几天完成？ (2)若甲每天的费用是800元，乙每天的费用是600元，甲乙工程队先后铺设完地下管线正好用了18天，花费12000元，问甲需要干几天？ 二、比赛积分问题 7．某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 0 B 1 C 2 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题_________分，答错1道题得_________分； (2)参赛者D得分， 他答对了几道题？ (3)参赛者E说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 8．我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 9．某学校围棋社团组织成员进行比赛，规则如下：每两位选手都要进行比赛，决出胜负（没有平局），胜者得1分，负者得0分．在所有选手中，男选手有12人，女选手有9人．比赛结束后，经统计，女选手的总得分比男选手的总得分多70分． (1)共进行了多少场比赛？ (2)男选手的总得分是多少分？ (3)男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了多少分？ (4)小明提出：在这个围棋比赛中，得分最高的选手一定是女选手，为什么？ 10．社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投． (1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分； (2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数． 11．将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． (1)求小曹第一局的得分， (2)第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 12．某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜、平各几场？ (2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？ 三、销售盈亏问题 13．小张到新华书店帮同学们买书，售货员告诉他，如果花元钱办理“会员卡”，将享受八折优惠．请问： (1)在这次买书中，小张买标价为多少元的书时，办会员卡与不办会员卡花钱一样多？ (2)当小张买标价为元书时，怎么做合算？能省多少钱？ (3)当小张买标价为元书时，怎么做合算？能省多少钱？ 14．在某校组织的科技节活动中，需要制作一批科技小作品，准备购买A零件、B零件和C零件共500个（每种零件都要有），其中B零件的单价比A零件的单价贵0.6元，买4个A零件和2个B零件共需要6元． (1)A零件和B零件的单价分别是多少元？ (2)若要求购买C零件的数量是A零件的3倍，A零件和B零件的单价不变，其中C零件的单价为元，在总数量不变的前提之下，无论符合该条件的这三种零件的数量如何分配，总费用始终不变，求此时m的值和总费用． 15．有筐苹果，以每筐千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：千克）如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)与标准质量比较，筐苹果总计超过多少千克或不足多少千克？ (2)若苹果每千克售价元，苹果每千克进价为元，则出售这筐苹果可获得利润元，求的值． 16．甲商场以每个80元的价格购进了一批某品牌的足球． (1)请你帮商场计算一下，每个足球卖多少元时，正好达到利润率为40%的预期目标． (2)若甲、乙两个商场都有该品牌的足球，且定价均为120元，恰逢元旦促销，两商场有不同的促销方案．甲商场：买十送一．乙商场：全场九折．若学校买100个足球，请你计算一下去哪个商场购买更优惠？ 17．某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满4杯按折销售．小明第一次买了A，B饮料各1杯；第二次买了3杯A饮料和4杯B饮料，A饮料x元/杯，B饮料y元/杯． (1)填表： A饮料 B饮料 实际支付金额（元） 第一次 1 1 ______ 第二次 3 4 ______ (2)如果两次放在一起购买，小明能少支付3元，求B饮料原价是多少？ 18．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．应先安排2人进行整理 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，把总工作量设为1，则人均效率（一个人完成的工作量）为，人先整理完成的工作量为，增加2人后再整理完成的工作量为，这两个工作量之和应等于总工作量，据此列出方程求解． 【详解】解：设先安排人整理，总工作量设为1， 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程， 解方程，得． 答：应先安排2人进行整理． 2．(1)甲、乙两队合作10天才能完成该工程 (2)需付甲、乙两队共42500元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）由（1）知甲队一共做了15天，乙队一共做了10天，再结合题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作10天才能完成该工程， （2）解：由（1）知甲队一共做了15天，乙队一共做了10天， 所以， 即需付甲、乙两队共42500元． 3．(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【分析】（1）利用甲队天数是乙队的倍，直接列式计算甲单独完成工程的天数． （2）把总工程看作单位，求出甲乙工作效率，设后续合作天数为未知数，根据各阶段工作量之和等于总工作量列方程求解，再累加全部阶段得到总天数． （3）先算出甲、乙两队各自完成的工作量，按照工作量占比对总费用万元进行分配． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 4．0.9万件 【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件， 由题意可得：， 解得：， ∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件． 5．甲分得2700元，乙分得1800元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设两人合作天完成任务，则甲完成工程量的，乙完成工程量的，和为1，由此列方程求出x的值，即可求解． 【详解】解：设两人合作天完成任务， 由题意可得， 解得， 甲：（元）； 乙：（元）． 答：甲分得2700元，乙分得1800元． 6．(1)铺好这条管线还需要6天完成 (2)甲需要干6天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意设出未知数，列出方程是解题关键． （1）设铺好这条管线需要x天，根据“甲乙工程队工作量之和”列方程，解方程即可求解． （2）设甲需要干y天，则乙需要干天，根据花费12000元列方程解决即可． 【详解】（1）解：设铺好这条管线需要x天，列方程得： ， 解得 ， 答：铺好这条管线还需要6天完成． （2）解：设甲需要干y天，则乙需要干天， ， 解得：， 答：甲需要干6天． 7．(1)6，； (2)他答对了道题； (3) 解：不可能，理由如下： 不是整数 他不可能得分 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）根据参赛者A和B的得分情况即可求解； （2）设答对道题，列方程或即可求解； （3）解方程，即可判断； 【详解】（1）解：由参赛者A的得分情况可知：参赛者答对1道题得：（分）； 参赛者B的得分情况可知：参赛者答错1道题得：（分）； 故答案为：6，； （2）解：设答对道题，根据题意得： 或 答：他答对了道题 （3）略 8．(1)5， (2)参赛者答对13题 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，比赛积分(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）由参赛者A可求得答对一题得分，由参赛者B可求得答错一题得分； （2）设参赛者答对题，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由参赛者A可得，答对一题得分， 由参赛者B可得，答错一题得分， 故答案为：5，； （2）解：设参赛者答对题， 依题意得：． 解得：． 答：参赛者答对13题． 9．(1)共进行了210场比赛 (2)男选手共得了70分 (3)男选手共得了4分 (4) 解：由（3）可知，男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了4分，即男选手共赢女选手4场， 男选手的最高得分不超过分， 所有选手共得210分，男选手的总得分是70分， 女选手的总得分是140分， 假设每名女选手的得分都为15分， ， 一定有女选手的得分超过15分， 故得分最高的选手一定是女选手． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）由题意可知，共名选手，每两位选手都要进行比赛，据此即可得到答案； （2）由题意可知，所有选手共得210分，设男选手的总得分是分，列一元一次方程求解即可； （3）先求出在男选手之间的比赛中，男选手得分，再根据男选手总得分男选手之间的比赛得分男选手与女选手的比赛得分列式，即可得出答案； （4）结合（3）结果可知，男选手的最高得分不超过分，假设每名女选手的得分都为15分，根据可知，一定有女选手的得分超过15分，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，共名选手， ， 即共进行了210场比赛； （2）解：由（1）可知，共进行了210场比赛，即所有选手共得210分， 设男选手的总得分是分，则女选手的总得分是分， 由题意得：， 解得：， 答：男选手的总得分是70分； （3）解：男选手有12人， 男选手之间的比赛场数为， 即男选手之间的比赛中，男选手得分分， 由（2）可知，男选手的总得分是70分， （分）， 即男选手与女选手的所有比赛中，男选手共得了4分； （4）略 10．(1)第一局得分为6分 (2)第二局投中A区3次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意列式计算即可求解； （2）设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：分， 答：小星第一局的得分为6分； （2）解：设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意得： ， 解得：， 答：第二局投中A区3次． 11．(1)分 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出算式和方程是解题的关键． （1）先根据列出得分算式，然后再计算即可； （2）根据“小曹第二局得分比第一局得分提高了12分”列关于k的方程求解即可． 【详解】（1）解：小曹第一局的得分为（分）． 答：小曹第一局的得分14分． （2）解：由题意可得：，解得． 答：k的值为3． 12．(1)A队胜4场，平8场 (2)出场费加奖金一共17600元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜利场，列出方程求解是解题的关键． （1）设队胜利场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜利场， 一共打了12场， 平了场， ， 解得：； ， 队胜4场，平8场； （2）解：每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元， 赢了4场，奖金为元， 平了8场，奖金为元， 奖金加出场费一共17600元； 答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元． 13．(1)元； (2)办会员卡合算，能省元； (3)不办会员卡合算，能省元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设买标价为元的书，由题意得，然后解方程即可； （）先算出办会员卡需付(元)，不办会员卡需付元，然后比较大小即可； （）先算出办会员卡需付(元)，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设买标价为元的书， 由题意，得，解得， 答：小张买标价为元的书时，办会员卡与不办会员卡花钱一样多； （2）解：当买标价为元书时，若办会员卡需付(元)， 不办会员卡需付元，， (元)， 答：办会员卡合算，能省元； （3）解：当小张买标价为60元书时， 办会员卡需付(元)， 不办会员卡需付元，， (元)， 答：不办会员卡合算，能省元． 14．(1)A零件单价0.8元，B零件单价1.4元 (2)，总费用700元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，理解题意设未知数建立方程解答是解题的关键． （1）设A零件单价为x元，则B零件单价为元，根据“买4个A零件和2个B零件共需要6元”列出方程，即可解答； （2）设A零件数量为a个，则C零件数量为个，B零件数量为个，从而得到总费用的代数式，根据总费用始终不变，即a的系数为0，即可解答． 【详解】（1）解：设A零件单价为x元，则B零件单价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 答：A零件单价0.8元，B零件单价1.4元． （2）解：设A零件数量为a个，则C零件数量为个，B零件数量为个， 总费用为：， 由于总费用始终不变，即a的系数为0， ∴， 解得， 此时总费用始终为700元， 答：此时m的值为1.6，总费用为700． 15．(1) 不足千克 (2) 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用、一元一次方程的实际应用． (1)把筐苹果超过或不足的数加起来，就是筐苹果总计超过或不足的数量； (2)这筐苹果可获得利润元，可列方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：， 筐苹果总计不足千克； （2）解：由(1)可知筐苹果总计不足千克， 购进苹果千克， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值为． 16．(1)112元 (2)乙商场买更优惠 【分析】（1）设每一个足球卖元，根据“利润=成本×利润率”列出一元一次方程求解即可； （2）由甲、乙两商场的优惠方案，分别求出在甲、乙两商场购买所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每一个足球卖元，由题意得： ， 解得：， ∴每一个足球应该卖112元． （2）解：当购买100个足球时， ∵学校买100个足球，甲商场买十送一， ∴学校需要买91个球， 即甲商场的费用为（元）， ∵乙商场全场九折， ∴乙商场的费用为（元）， ， ∴在乙商场买更优惠． 17．(1)， (2)B饮料原价是12元/杯 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一起买的支付金额，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 第一次实际支付金额为元， 第二次实际支付金额为元； （2）解：如果一起买，两次共购买了4杯A饮料，5杯B饮料， ∴实际支付金额为， ∴， 解得． 答：B饮料原价是12元/杯． 18．(1)降价前每件衬衫的利润率为 (2)每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 【分析】（1）根据利润率公式列式计算即可； （2）设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据销售收入进货成本利润，建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 答：降价前每件衬衫的利润率为． （2）解：设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标， 由题意得：， 解得， 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $