专题 3：小数除法（思维拓展）人教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 3：小数除法 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：小数除法算理与计算 3 考点二：商的近似数与取值方法 4 考点三：循环小数与小数分类 5 考点四：小数除法实际应用 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：除数小数点移动，被除数不同步 9 易错点 2：商的小数点对错位 9 易错点 3：进一法、去尾法场景混淆 9 易错点 4：循环小数周期判断错误 9 易错点 5：求近似数除得位数不够 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版五年级上册第三单元《小数除法》核心内容，以 “算理转化→计算进阶→取值辨析→实践应用” 为主线，系统覆盖小数除法算理与计算、商的近似数与取值方法、循环小数与小数分类、实际问题与综合应用四大核心模块，渗透转化思想、估算思想、推理思想、建模思想等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从除数是整数的小数除法入手，延伸到除数是小数的除法，掌握商不变的转化算理；认识循环小数、有限小数与无限小数的分类；学会用四舍五入法、进一法、去尾法取商的近似数；延伸错中求解、周期问题、差倍推理等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，为后续小数四则混合运算、方程学习奠定运算基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 小数除法算理与计算 除数是整数、除数是小数的除法；商的小数点定位 商不变转化法、数位对齐法 被除数小数点移动不同步；商的小数点点错位 商的近似数与取值方法 四舍五入法求近似数；进一法、去尾法 四舍五入法、情境判断法 保留位数除得不够；进一去尾场景混淆 循环小数与小数分类 循环小数的意义；循环节；小数分类；大小比较 展开比较法、周期计算法 循环节判断错误；比较时只看前几位 实际问题与综合应用 归一归总问题；差倍问题；方案优化 归一法、差倍公式法 数量关系对应错误；单位不统一 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 商不变转化法 除数是小数的除法 ①除数小数点移成整数；②被除数同步移相同位数；③按整数除法算 除数变整数，被除跟着移，位数不够 0 补齐 四舍五入法 求商的近似数 ①除到比保留位多一位；②看下一位数字；③四舍五入 保留多除一位，满五进一不满舍 进一去尾法 实际取值问题 ①判断情境类型；②计算准确商；③进一或去尾 运货装瓶用进一，做衣买物用去尾 错中逆推法 除法错中求解 ①分析除数 / 被除数变化；②确定商的变化倍数；③逆推正确商 抓不变量，看变化，逆着推，得原数 周期计算法 循环小数数位问题 ①找循环节定周期；②位数除以周期看余数；③算数字和 先找周期，再算余数，余几是几 三、数学思维提升 1. 转化思维 核心要点：利用商不变的性质，把除数是小数的除法转化为除数是整数的除法，将新知转化为旧知解决，培养转化迁移能力。 专题示例：计算除数是小数的除法时，同步移动除数和被除数的小数点，就是转化思维的体现。 2. 估算思维 核心要点：结合实际情境对商的结果进行合理取值，判断结果的范围，选择合适的取值方法，培养估算意识与应用能力。 专题示例：运货物次数用进一法，做衣服数量用去尾法，就是估算思维的应用。 3. 推理思维 核心要点：根据商的变化规律推理正确的商，根据循环节推理指定数位的数字，根据小数点移动的差倍关系推理原数，培养逻辑推理能力。 专题示例：根据除数看错后的商差求正确的商，就是推理思维的典型应用。 4. 应用建模思维 核心要点：把归一、归总、差倍等实际问题转化为数学模型，用小数除法解决生活问题，培养建模能力与应用意识。 专题示例：工程归一问题、小数点移动差倍问题，就是建模思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：小数除法算理与计算 能力进阶（★★★）—— 商不变规律与算理对应 题目：已知，直接写出下面算式的商。 ① ② 解题步骤： ① 第①题：除数 0.13 变成 13，小数点右移 2 位，扩大 100 倍；被除数 27.3 同步扩大 100 倍变成 2730，原式转化为，商为 210。 ② 第②题：除数 1.3 变成 13，小数点右移 1 位，扩大 10 倍；被除数 0.273 同步扩大 10 倍变成 2.73，原式转化为，被除数缩小到原来的，商也缩小到原来的，得 0.21。 ③ 验证：根据商的变化规律，除数与被除数同时变化，商的变化为两者变化的叠加。 【答案】① 210；② 0.21 【知识点睛】本题考查小数除法的算理与商不变规律，对应教材核心知识点。 核心算理：除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补 0），然后按照除数是整数的除法计算。 规律总结：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。 易错警示：只移动除数的小数点，被除数不同步移动，导致商的大小变化。 思维拓展（★★★★）—— 除法错中求解 题目：小马虎计算一道小数除法时，把除数看成了，结果得到的商比正确的商小了。正确的商是多少？ 解题步骤： ① 分析变化：被除数不变，除数从 1.2 变成 12，扩大了 10 倍，商反而缩小到原来的，比正确的商少了。 ② 正确的商 = 相差的量 ÷ 相差的分率，即。 ③ 验证：正确商 15，被除数；错误的商，，符合题意。 【答案】正确的商是 15。 【知识点睛】本题是小数除法错中求解的奥数题型，考查商的变化规律的逆向应用。 解题核心：被除数不变时，除数扩大几倍，商就缩小到原来的几分之一；用商的差量除以倍数差，得到正确的商。 方法总结：错看除数，先算倍数差，差量除以倍数差，就是正确商。 易错警示：直接用 13.5 除以 10，忽略商比原来少了 9 倍不是 10 倍。 考点二：商的近似数与取值方法 能力进阶（★★★）—— 四舍五入求商的近似数 题目：计算，得数保留两位小数。 解题步骤： ① 先转化为除数是整数的除法：，计算到小数点后第三位。 ② 计算得：。 ③ 保留两位小数，看小数点后第三位，第三位是 3，不满 5 舍去，结果为 27.33。 【答案】27.33 【知识点睛】本题考查用四舍五入法求商的近似数，对应教材重难点。 解题要点：求商的近似数时，要除到比需要保留的小数位数多一位，再根据下一位上的数四舍五入。 注意事项：近似数末尾的 0 不能去掉，它代表精确度。 易错警示：只除到两位小数就直接保留，不看下一位判断四舍五入。 思维拓展（★★★★）—— 进一法与去尾法辨析 题目：根据实际情况选择合适的方法取近似数。 ① 粮店要把 20 千克食用油分装到油壶里，每个油壶最多装 4.5 千克，至少需要准备多少个油壶？ ② 做一个布艺玩偶需要 0.32 米布料，10 米布料最多可以做多少个这样的玩偶？ 解题步骤： ① 第①题：剩下的油也需要一个油壶装，用进一法。 ，个。 ② 第②题：剩下的布料不够做一个完整玩偶，用去尾法。 ，直接舍去小数部分，得 31 个。 ③ 对比总结：装东西、运货物等有剩余必须带走的场景用进一法；做物品、买东西等有剩余不够一份的场景用去尾法。 【答案】① 至少需要 5 个油壶；② 最多可以做 31 个。 【知识点睛】本题是商的近似数的实际应用奥数题型，考查根据情境选择合适的取值方法。 解题核心：进一法：不管小数部分是多少，都向整数部分进 1；去尾法：不管小数部分是多少，都直接舍去，只保留整数部分。 规律总结：求 “至少、最少” 常用进一法；求 “最多、至多” 常用去尾法。 易错警示：统一用四舍五入法，忽略实际情境的要求。 考点三：循环小数与小数分类 能力进阶（★★★）—— 循环小数大小比较 题目：把下面的小数按从小到大的顺序排列。 、、、 解题步骤： ① 把循环小数展开相同位数，方便比较： ，。 ② 从高位到低位依次比较：整数部分都是 3，十分位都是 2，百分位都是 4，千分位分别是 1、4、2、1。 千分位排序：，其中两个千分位是 1 的，继续比万分位：3.241 的万分位是 0，3.24141 的万分位是 4，所以。 ③ 最终排序：。 【答案】 【知识点睛】本题考查循环小数的认识与大小比较，对应教材拓展知识点。 解题方法：比较循环小数的大小，先把循环小数展开到相同的位数，再按照普通小数比较大小的方法，从高位到低位依次比较。 易错警示：只看前三位就比较，忽略循环节后面的数字，导致大小判断错误。 思维拓展（★★★★）—— 循环小数周期问题 题目：循环小数，它的小数部分第 100 位上的数字是多少？小数部分前 100 位数字的和是多少？ 解题步骤： ① 确定循环节与周期：循环节是 275，共 3 个数字，周期为 3。 ② 计算第 100 位数字：（组）……（个），余数是 1，对应循环节的第 1 个数字，即 2。 ③ 计算前 100 位数字和： 每组数字和：； 33 组的数字和：； 加上余下的 1 个数字 2，总和：。 【答案】第 100 位上的数字是 2；前 100 位数字的和是 464。 【知识点睛】本题是循环小数周期的经典奥数题型，考查周期问题的解题方法。 解题方法：先找循环节确定周期长度，用总位数除以周期，余数是几就是循环节的第几个数字；没有余数就是循环节的最后一个数字。 求和公式：总和 = 每组数字和 × 完整组数 + 余下数字和。 易错警示：周期数算错，或者余数对应数字时从 0 开始数。 考点四：小数除法实际应用 能力进阶（★★★）—— 双归一问题 题目：3 台抽水机 4 小时可以浇地 10.2 公顷。照这样计算，1 台抽水机 1 小时可以浇地多少公顷？ 解题步骤： ① 先求 1 台抽水机 4 小时浇地的面积：公顷。 ② 再求 1 台抽水机 1 小时浇地的面积：公顷。 ③ 验证：公顷，与题意一致。 【答案】1 台抽水机 1 小时可以浇地 0.85 公顷。 【知识点睛】本题考查小数除法的归一问题，对应教材解决问题重难点。 解题方法：双归一问题，连续用两次除法，先归总数量到单一量，再归总时间到单位时间。 易错警示：只除以一个条件，直接用 10.2÷3，忽略时间的归一。 思维拓展（★★★★）—— 小数点移动差倍问题 题目：甲数的小数点向右移动一位，就和乙数相等。已知乙数比甲数大 12.6，甲、乙两数分别是多少？ 解题步骤： ① 分析倍数关系：小数点向右移动一位，甲数扩大 10 倍等于乙数，说明乙数是甲数的 10 倍，乙数比甲数多倍。 ② 求甲数（较小数）：差 ÷（倍数 - 1），即。 ③ 求乙数：。 验证：，符合题意。 【答案】甲数是 1.4，乙数是 14。 【知识点睛】本题是小数点移动与差倍问题结合的奥数题型，考查小数除法与差倍模型的综合应用。 解题核心：小数点向右移动 n 位，原数扩大 10ⁿ倍；差倍公式：小数 = 差 ÷(倍数 - 1)，大数 = 小数 × 倍数。 易错警示：认为乙数比甲数大 10 倍，直接用 12.6÷10，忽略差是 9 倍。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：除数小数点移动，被除数不同步 错误示例：计算，除数变成 5，被除数还是 1.25。 正确分析：除数小数点右移几位，被除数也要右移相同位数，商才不变。 修正方法：除数变整数，被除跟着移，位数不够 0 补齐。 易错点 2：商的小数点对错位 错误示例：除数是整数的除法，商的小数点和被除数的末尾对齐。 正确分析：商的小数点要和被除数的小数点对齐。 修正方法：除到哪一位，商就写在哪一位上面，小数点对齐被除数的小数点。 易错点 3：进一法、去尾法场景混淆 错误示例：做衣服用布料，剩下的不够做一件，用进一法。 正确分析：做物品剩下的不够一份，用去尾法；装东西剩下的也要装，用进一法。 修正方法：求至少用进一，求最多用去尾。 易错点 4：循环小数周期判断错误 错误示例：循环小数，周期是 2。 正确分析：重复出现的一组数字是循环节，123 三个数字重复，周期是 3。 修正方法：找到依次不断重复出现的数字，个数就是周期。 易错点 5：求近似数除得位数不够 错误示例：保留两位小数，只除到两位小数。 正确分析：要除到比保留位数多一位，才能判断四舍还是五入。 修正方法：保留 n 位小数，除到第 n+1 位。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 已知，直接写出（ ）。 2. 计算：（ ）。 3. 的商保留一位小数约是（ ）。 4. 把、、3.233 按从小到大排列，排在中间的是（ ）。 5. 2 台磨面机 3 小时磨面粉 4.8 吨，1 台磨面机 1 小时磨面粉（ ）吨。 6. 在○里填 “＞”“＜” 或 “＝”：○。 7. 每个油桶最多装 4.5 千克油，10 千克油至少需要（ ）个油桶。 8. 一个数的小数点向左移动一位后，比原数小 7.2，原数是（ ）。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小马虎计算除法时，把被除数 2.1 看成了 21，结果商比正确的大了 18。正确的商是多少？ 10. 做一套儿童服装用布 1.4 米，20 米布最多可以做多少套这样的服装？ 11. 循环小数，小数部分第 50 位数字是多少？前 50 位数字和是多少？ 12. 学校买了 7 个足球花了 241.5 元，照这样计算，买 12 个足球需要多少元？ 13. 甲数的小数点向右移动两位就等于乙数，甲、乙两数的和是 30.3，甲数是多少？ 14. 一根木料锯成 3 段需要 7.2 分钟，照这样计算，锯成 6 段需要多少分钟？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】34 解题步骤： ① 除数和被除数的小数点同时右移两位，商不变，还是 34。 【知识点睛】考查商不变规律。核心：同时同方向移动相同位数，商不变。易错警示：算成 0.34。 2. 【答案】2.5 解题步骤： ① 转化为，计算得 2.5。 【知识点睛】考查除数是小数的除法计算。核心：先转化再计算。易错警示：小数点移动不同步。 3. 【答案】3.9 解题步骤： ① ，保留一位小数看第二位，6 进 1，得 3.9。 【知识点睛】考查商的近似数。核心：多除一位再四舍五入。易错警示：写成 3.8。 4. 【答案】3.233 解题步骤： ① 展开：，； ② 排序：，中间是 3.233。 【知识点睛】考查循环小数比较大小。核心：展开后比较。易错警示：只看前三位。 5. 【答案】0.8 解题步骤： ① 吨。 【知识点睛】考查双归一问题。核心：连续两次除法。易错警示：只除以 2。 6. 【答案】＞ 解题步骤： ① 一个数除以小于 1 的数，商大于原数； ② 。 【知识点睛】考查商与被除数的关系。核心：除数小于 1，商大于被除数。易错警示：填小于。 7. 【答案】3 解题步骤： ① ，剩下的也要 1 个桶，进一得 3 个。 【知识点睛】考查进一法应用。核心：装东西用进一。易错警示：填 2。 8. 【答案】8 解题步骤： ① 小数点左移一位，缩小 10 倍，差 9 倍； ② 原数：。 【知识点睛】考查小数点移动差倍问题。核心：差 ÷(倍数 - 1)= 小数。易错警示：直接 7.2+1。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】正确的商是 2。 解题步骤： ① 被除数扩大 10 倍，商扩大 10 倍，多了 9 倍； ② 正确商：。 【知识点睛】考查除法错中求解。核心：被除数变，商同方向变。易错警示：除以 10。 10. 【答案】最多可以做 14 套。 解题步骤： ① ，剩下的不够做一套，去尾得 14 套。 【知识点睛】考查去尾法应用。核心：做物品用去尾。易错警示：进一成 15 套。 11. 【答案】第 50 位数字是 1；前 50 位数字和是 132。 解题步骤： ① 循环节 314，周期 3；组……2 个，第 50 位是 1； ② 每组和，总和：，16 组共 128，加上余下的数字 3 和 1，总和是 132。 【知识点睛】考查循环小数周期问题。核心：先算周期再算余数。易错警示：余数对应错误。 12. 【答案】需要 414 元。 解题步骤： ① 单价：元； ② 12 个总价：元。 【知识点睛】考查归一归总问题。核心：先求单价再求总价。易错警示：计算错误。 13. 【答案】甲数是 0.3。 解题步骤： ① 右移两位，乙数是甲数的 100 倍，和是 101 倍； ② 甲数：。 【知识点睛】考查小数点移动和倍问题。核心：和 ÷(倍数 + 1)= 小数。易错警示：除以 100。 14. 【答案】需要 18 分钟。 解题步骤： ① 锯 3 段锯 2 次，每次时间：分钟； ② 锯 6 段锯 5 次，总时间：分钟。 【知识点睛】考查间隔问题与小数除法。核心：次数 = 段数 - 1。易错警示：直接用段数算。 1 学科网（北京）股份有限公司 $