专题 8：可能性（思维拓展）人教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 8：可能性 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：确定现象与随机事件 3 考点二：可能性大小判断 4 考点三：游戏规则公平性 5 考点四：数据推测与最不利原则 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：混淆事件分类 9 易错点 2：可能性绝对化 9 易错点 3：公平性判断错误 9 易错点 4：频率等同于概率 9 易错点 5：最不利情况找错 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版五年级上册第七单元《可能性》核心内容，以 “现象分类→大小判断→公平辨析→推理拓展” 为主线，系统覆盖确定现象与随机事件、可能性大小定量判断、游戏规则公平性、数据推测与最不利原则四大核心模块，渗透随机观念、数据分析、逻辑推理、决策判断等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从区分确定事件和不确定事件入手，能列举简单随机事件的所有可能结果；学会通过数量多少判断可能性的大小；理解游戏公平性的本质，能判断和设计公平的游戏规则；延伸数据推测、最不利原则、可能性最值等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“统计与概率” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，发展随机观念与数据分析意识，为后续概率学习奠定基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 确定现象与随机事件 必然事件、不可能事件、随机事件；列举所有可能结果 分类列举法、概念辨析法 混淆 “不可能” 与 “不确定”；列举结果重复遗漏 可能性大小判断 可能性与数量的关系；可能性大小比较 数量比较法、逆向推理法 认为可能性大就一定发生；数量与可能性对应关系搞反 游戏规则公平性 公平性的本质；判断与设计公平规则 公平判断法、规则设计法 认为有输赢就公平；设计规则双方可能性不对等 数据推测与拓展 试验频率推测数量；最不利原则；最值推理 数据推测法、最不利法 频率等同于概率；最不利情况找不全 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 分类列举法 列举可能结果 ①按标准分类；②有序枚举；③去重计数 按类分，有序列，不重复，不遗漏 数量比较法 判断可能性大小 ①数各类数量；②比较多少；③对应可能性 数量多，可能性大；数量少，可能性小 公平判断法 判断游戏公平性 ①算双方可能数；②比可能性大小；③判断公平 等可能，就公平；不等可能，不公平 数据推测法 试验推理题 ①看试验次数；②比出现频率；③推测数量 次数多，可能多；次数少，可能少 最不利法 保证类最值题 ①找最坏情况；②算最不利数量；③加 1 得结果 找最倒霉，再加一，能保证 三、数学思维提升 1. 随机思维 核心要点：认识随机现象的不确定性，理解可能性大小的含义，不绝对化判断事件结果，培养随机观念与辩证思考能力。 专题示例：知道红球多也不一定摸到红球，只是可能性更大，就是随机思维的体现。 2. 数据分析思维 核心要点：通过试验数据的频率分析，推测事件发生的可能性大小，推断整体的数量分布，培养数据分析与合情推理能力。 专题示例：根据多次摸球的次数，推测袋子里哪种球更多，就是数据分析思维的应用。 3. 逻辑推理思维 核心要点：根据可能性的规律，逆向推理数量要求，推导最不利情况下的最值，培养逻辑推理与极值思考能力。 专题示例：根据可能性大小的要求，反推需要添加的球的数量，就是逻辑推理思维的典型应用。 4. 决策思维 核心要点：结合可能性的大小，判断游戏规则的合理性，设计公平的规则，制定最优策略，培养决策意识与应用能力。 专题示例：设计公平的游戏规则，保证双方机会均等，就是决策思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：确定现象与随机事件 能力进阶（★★★★）—— 事件类型辨析 题目：下列事件中，哪些是确定事件？哪些是随机事件？说明理由。 ① 太阳从东方升起；② 抛一枚硬币，正面朝上；③ 从全是红球的盒子里摸出白球；④ 明天会下雨。 解题步骤： ① 明确分类标准：确定事件包含必然事件（一定发生）和不可能事件（一定不发生），结果是确定的；结果无法预先确定、可能发生也可能不发生的是随机事件。 ② 逐个判断：太阳从东方升起是必然发生的，全是红球不可能摸出白球，二者结果都确定，属于确定事件；抛硬币正面朝上、明天下雨，结果都不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件。 ③ 总结：必然事件和不可能事件统称为确定事件，不确定事件也叫随机事件。 【答案】①③是确定事件；②④是随机事件。理由：①必然发生，③不可能发生，结果都是确定的；②④结果无法提前确定，可能发生也可能不发生。 【知识点睛】本题考查确定事件与随机事件的分类，对应教材核心知识点。 核心概念：一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，二者都属于确定事件；可能发生也可能不发生的是随机事件（不确定事件）。 易错警示：把 “不确定” 当成 “不可能”，混淆事件分类。 思维拓展（★★★★★）—— 组合结果列举 题目：盒子里有 2 个完全相同的红球和 3 个完全相同的黄球，从中任意摸出 2 个球，一共有多少种不同的可能结果？分别是什么？ 解题步骤： ① 按颜色组合分类，不考虑球的个体差异和摸出顺序。 ② 有序列举所有组合：第一种是 2 个都是红球；第二种是 1 个红球、1 个黄球；第三种是 2 个都是黄球。 ③ 验证：所有颜色组合已全部列举，没有重复和遗漏，共 3 种可能结果。 【答案】一共有 3 种不同的可能结果，分别是 2 个红球、1 红 1 黄、2 个黄球。 【知识点睛】本题是随机事件结果列举的奥数题型，考查分类枚举的有序性与全面性。 解题方法：按颜色数量分类，有序列举所有组合，做到不重复、不遗漏。 易错警示：按球的个体数列举，认为有 5 种结果，忽略相同颜色的球无区别。 考点二：可能性大小判断 能力进阶（★★★★）—— 数量对应可能性大小 题目：袋子里有 5 个红球、3 个黄球、2 个白球，除颜色外完全相同。任意摸一个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？摸到哪种颜色的可能性最小？ 解题步骤： ① 明确规律：总数一定时，某种物体的数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，摸到的可能性越小。 ② 比较三种球的数量：，红球数量最多，白球数量最少。 ③ 对应可能性大小：摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。 【答案】摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。 【知识点睛】本题考查可能性大小与数量的关系，对应教材重难点。 核心规律：可能性的大小与数量有关，数量越多，发生的可能性越大。 易错警示：认为可能性大就一定会摸到，混淆 “可能性大” 与 “必然发生”。 思维拓展（★★★★★）—— 逆向推理数量 题目：袋子里有 4 个红球和 6 个黄球，要使摸到红球的可能性大于黄球，至少要再放入几个红球？ 解题步骤： ① 明确条件：摸到红球的可能性大于黄球，说明红球的数量必须多于黄球的数量。 ② 计算目标数量：黄球有 6 个，红球至少要有个，才能比黄球多。 ③ 计算需要添加的数量：个。 验证：放入 3 个红球后，红球共 7 个，，红球数量更多，可能性更大，符合要求。 【答案】至少要再放入 3 个红球。 【知识点睛】本题是可能性大小逆向推理的奥数题型，考查数量与可能性的反向对应关系。 解题关键：可能性大对应数量多，先算出满足条件的最少数量，再求需要增加的数量。 易错警示：认为数量相等时可能性就大，忽略 “大于” 的要求。 考点三：游戏规则公平性 能力进阶（★★★★）—— 公平性判断 题目：小明和小华玩转盘游戏，转盘平均分成 8 份，3 份红色、5 份蓝色。指针停在红色区域小明赢，停在蓝色区域小华赢。这个游戏公平吗？为什么？ 解题步骤： ① 明确公平标准：游戏公平的本质是双方获胜的可能性大小相等。 ② 分析可能性：转盘平均分成 8 份，红色占 3 份，蓝色占 5 份，，小华赢的可能性更大，双方获胜可能性不相等。 ③ 结论：这个游戏不公平。 【答案】不公平。因为蓝色区域份数更多，小华赢的可能性更大，双方获胜的可能性大小不相等。 【知识点睛】本题考查游戏公平性的判断，对应教材重难点。 核心标准：判断游戏是否公平，关键看双方获胜的可能性是否相等，不是看是否有输赢两种结果。 易错警示：认为游戏只有输赢两种结果就是公平的，忽略可能性大小的差异。 思维拓展（★★★★★）—— 公平规则设计 题目：有一个转盘平均分成 6 份，分别标有 1、2、3、4、5、6 六个数字。请设计一个公平的游戏规则，使小明和小刚玩游戏时双方公平。 解题步骤： ① 设计核心：让双方获胜的可能结果数量相等，可能性大小就相等，游戏就公平。 ② 方案设计：指针指向奇数时小明赢，指向偶数时小刚赢。 奇数有 1、3、5 共 3 个，偶数有 2、4、6 共 3 个，数量相等，双方获胜的可能性都是，大小相等。 ③ 验证：双方获胜的可能结果数量相同，可能性大小相等，游戏公平。（答案不唯一，合理即可） 【答案】规则：指针指向奇数小明赢，指向偶数小刚赢。（答案不唯一） 【知识点睛】本题是公平游戏设计的奥数题型，考查对公平性本质的深度理解。 设计原则：将所有可能结果平均分成两份，双方各占一半，保证可能性大小相等。 易错警示：设计的规则双方结果数量不对等，导致游戏不公平。 考点四：数据推测与最不利原则 能力进阶（★★★★）—— 试验数据推测 题目：小明在袋子里摸球，每次摸一个后放回摇匀，一共摸了 30 次，摸到红球 22 次，摸到黄球 8 次。袋子里哪种颜色的球可能更多？为什么？ 解题步骤： ① 明确原理：大量重复试验中，摸到的次数越多，说明这种球出现的可能性越大，对应的数量可能越多。 ② 分析数据：摸到红球 22 次，远多于黄球的 8 次，说明红球出现的可能性更大。 ③ 结论：袋子里红球可能更多。因为摸到红球的次数更多，对应红球数量多的可能性更大。 【答案】红球可能更多。因为摸了 30 次，摸到红球的次数更多，说明红球数量多的可能性更大。 【知识点睛】本题考查根据试验数据进行合理推测，对应教材拓展内容。 核心原理：试验次数足够多时，频率能反映可能性的大小，次数多对应可能性大，数量可能更多。 易错警示：认为摸到次数多就一定数量多，忽略随机性，只能推测 “可能”，不能确定。 思维拓展（★★★★★）—— 最不利原则 题目：袋子里有 5 个红球、4 个黄球、3 个白球，闭着眼睛摸球，至少摸出多少个球，才能保证一定有 2 个颜色相同的球？ 解题步骤： ① 应用最不利原则：先考虑最倒霉、最不符合要求的情况，每种颜色各摸出 1 个，此时再摸 1 个，无论是什么颜色，都一定有 2 个同色。 ② 计算最不利情况：3 种颜色，每种各摸 1 个，共摸出个球，此时没有 2 个同色。 ③ 再加 1 个球，必然出现 2 个同色，至少摸出个。 验证：摸 4 个球，最多 3 种不同颜色，必然至少有 2 个颜色相同，满足要求。 【答案】至少摸出 4 个球。 【知识点睛】本题是最不利原则的经典奥数题型，考查可能性的最值推理。 解题方法：先找出最不符合要求的极端情况（最不利情况），在此基础上加 1，就能保证满足条件。 技巧口诀：找最坏，再加一，定保证。 易错警示：直接认为摸 2 个就行，忽略可能摸出不同颜色的情况。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：混淆事件分类 错误示例：明天下雨是不可能事件。 正确分析：明天下雨可能发生也可能不发生，是随机事件，不是不可能事件。 修正方法：一定发生是必然，一定不发生是不可能，二者都是确定事件；结果不确定的是随机事件。 易错点 2：可能性绝对化 错误示例：红球数量多，摸一次一定摸到红球。 正确分析：红球多只是摸到的可能性大，也有可能摸到其他颜色，不是必然发生。 修正方法：可能性再大也是随机事件，不代表一定发生。 易错点 3：公平性判断错误 错误示例：游戏有赢有输，所以游戏是公平的。 正确分析：公平需要双方赢的可能性大小相等，不是有输赢就公平。 修正方法：判断公平看双方获胜的可能性是否相等，不看结果种类。 易错点 4：频率等同于概率 错误示例：摸 10 次摸到 7 次红球，红球就占总数的十分之七。 正确分析：试验频率不等于理论概率，只是接近，只能推测数量的可能性，不能确定准确比例。 修正方法：试验数据只能合理推测，不能下绝对结论。 易错点 5：最不利情况找错 错误示例：保证 2 个同色，最不利情况是摸 2 个不同色。 正确分析：最不利是把所有不同颜色各摸一个，3 种颜色就要摸 3 个，不是 2 个。 修正方法：有几种颜色，最不利就先摸几个不同色，再加 1。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 1. 抛一枚硬币，落下后正面朝上是（ ）事件，太阳从西边升起是（ ）事件。 2. 盒子里有 6 个蓝球、4 个绿球，任意摸一个，摸到（ ）球的可能性大。 3. 判断：游戏公平就是双方都有可能赢。（ ） 4. 从写有 1-5 的 5 张卡片中任意抽一张，有（ ）种可能结果。 5. 袋子里有 3 个红球、5 个白球，要使摸到两种球的可能性相等，需要再放入（ ）个红球。 6. 掷一个标准骰子，点数大于 3 的有（ ）种可能。 7. 大量重复摸球试验，摸到黑球的次数更多，说明袋子里黑球数量可能更（ ）。 8. 转盘平均分成 10 份，2 份红色、8 份白色，指针停在红色区域的可能性（ ）（填 “大” 或 “小”）。 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 9. 盒子里有 3 个红球、2 个黄球，任意摸出 2 个球，有多少种不同的可能结果？ 10. 袋子里有 7 个白球，要使摸到黑球的可能性大于白球，至少要放入多少个黑球？ 11. 用 1-8 八张扑克牌设计一个公平的游戏规则，使两人获胜可能性相等。 12. 袋子里有 4 个红球、3 个黄球、2 个蓝球，至少摸出多少个球，才能保证一定有一个红球？ 13. 掷两枚完全相同的硬币，落下后有多少种不同的结果？ 14. 小明摸球 40 次，摸到红球 28 次，摸到白球 12 次。袋子里最有可能是下面哪种情况？ A. 红球白球一样多 B. 红球多 C. 白球多 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】随机；不可能 解题步骤： ① 抛硬币正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件； ② 太阳从西边升起一定不会发生，是不可能事件。 【知识点睛】考查事件分类。核心：确定事件包含必然和不可能，不确定的是随机。易错警示：填成 “一定”。 2. 【答案】蓝 解题步骤： ① 数量越多可能性越大，，蓝球更多。 【知识点睛】考查可能性与数量的关系。核心：数量多可能性大。易错警示：填成绿。 3. 【答案】× 解题步骤： ① 公平需要双方赢的可能性大小相等，不是都有可能赢就公平。 【知识点睛】考查公平性的本质。核心：等可能性才公平。易错警示：认为正确。 4. 【答案】5 解题步骤： ① 5 张不同的卡片，每张都有可能被抽到，共 5 种可能。 【知识点睛】考查可能结果数量。核心：有几个不同个体就有几种可能。易错警示：填成 2 种。 5. 【答案】2 解题步骤： ① 可能性相等需要数量相等，白球 5 个，红球需要 5 个； ② 需再放入个。 【知识点睛】考查可能性相等的条件。核心：数量相等可能性相等。易错警示：填成 5 个。 6. 【答案】3 解题步骤： ① 点数大于 3 的有 4、5、6，共 3 种。 【知识点睛】考查可能性列举。核心：按条件筛选。易错警示：算成 4 种。 7. 【答案】多 解题步骤： ① 摸到次数多，对应数量可能更多。 【知识点睛】考查数据推测。核心：频率高对应可能数量多。易错警示：填成少。 8. 【答案】小 解题步骤： ① 红色只有 2 份，白色 8 份，红色份数少，可能性小。 【知识点睛】考查可能性大小判断。核心：份数少可能性小。易错警示：填成大。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】3 种 解题步骤： ① 按颜色组合列举：2 红、1 红 1 黄、2 黄，共 3 种。 【知识点睛】考查组合结果列举。核心：按颜色分类枚举。易错警示：算成 5 种。 10. 【答案】至少放入 8 个黑球。 解题步骤： ① 黑球可能性大于白球，黑球数量要多于 7 个； ② 最少需要个。 【知识点睛】考查逆向推理数量。核心：可能性大对应数量多。易错警示：填成 7 个。 11. 【答案】规则：抽到奇数甲赢，抽到偶数乙赢。（答案不唯一） 解题步骤： ① 1-8 中奇数 4 个、偶数 4 个，数量相等，可能性相等，游戏公平。 【知识点睛】考查公平规则设计。核心：双方数量相等。易错警示：设计成 3 和 5 个。 12. 【答案】至少摸出 6 个。 解题步骤： ① 最不利情况：先把黄球和蓝球都摸出来，共个，都不是红球； ② 再摸 1 个一定是红球，共个。 【知识点睛】考查最不利原则。核心：先摸完其他颜色，再加 1。易错警示：算成 3 个。 13. 【答案】3 种 解题步骤： ① 列举：正正、正反、反反，共 3 种不同结果。 【知识点睛】考查组合结果。核心：相同硬币不考虑顺序。易错警示：算成 4 种。 14. 【答案】B 解题步骤： ① 摸到红球次数更多，说明红球数量多的可能性更大。 【知识点睛】考查数据推测。核心：次数多对应可能数量多。易错警示：选 A。 1 学科网（北京）股份有限公司 $