新定义数列拔高专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以40题分四组递进设计，聚焦新定义数列从概念理解到综合探究的完整逻辑链，强化抽象、推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |第一组|10题/常和、对称数列等|直接按定义操作|从基础定义切入，理解新数列本质属性| |第二组|10题/差等比、混合递推数列等|求通项与求和|通过递推关系转化，掌握计算方法| |第三组|10题/凸数列、连续和好数等|性质证明与综合|深化逻辑推理，探究数列性质| |第四组|10题/差分算子、循环移位数列等|证明、构造与探究|综合应用知识，培养创新意识与探究能力|

新定义数列专项训练(40题)·参考答案与解析 每题给出答案与完整解析（含证明过程）。题号与题目卷一一对应。 第一组参考答案与解析（第1一10题） 1.（常和数列) 答案：(1)a2=4,a3=1,Q4=4,前6项为1,4,1,4,1,4：(2)最小正周期为2： (3)a2026=4,S2026=5065。 解析： (1)由an+an+1=5及a1=1依次得：a2=4,a3=1,a4=4,故前6项为 1,4,1,4,1,4。 (2)由an+1=5-a,得an+2=5-an+1=5-(5-an=a,故{an}以2为周期：又 Q1≠a2,所以最小正周期为2。 (3)2026=2×1013为偶数，故a2026=a2=4。每两项为一组，和为1+4=5，因此 S2026=1013×5=5065。 2.（常积数列) 答案： (1)02=3,a,=2,a4-3,(2)最小正周期为2；(3)Ps=60 解析： (1)正项数列中由0,01=6得01= a2。由a1=2得a2=3,进而a,=2,04=3。 (2)an+2= 6=6。=a,故以2为周期：a0,最小正周期为2。 an-16/a (3)相邻两项的乘积恒为6.2026=2×1013，故 P2026=a1aa3a4…a20sa2os=601B. 3.（对称数列) 答案：(1)a=1,a6=5,a,=2,S,=16:(2)见解析。 解析： (1)N=7时对称条件为a;=a8-i,故a7=a1=2,a6=a2=5,a=a3=1。 S,=2a1+a2+a3+a4=22+5+1+0=16 (2)N=2m时a;=a2m+1-i。把全数列和按对称位置配对： 2m m Sm->a=>(d.+oom-1-->2a-2Sm i=1 i=1 i=1 政85 4.（回环差分数列) 答案：(1)a3=2,04=-1,Q5=-3,06=-2；(3)a206=-1,S2026=5。 解析： (1)由递推式依次计算： Q3=a2-a1=2,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-2. (2)继续算：a7=a6-a5=1=a1,ag=a,-a6=3=a2。递推式只依赖前两项，故此后 各项重复出现，即{a}以6为周期。前6项为1,3,2，-1，-3，-2，恰含两个 a1,a2的回环，且a7=a1,ag=a2,周期为6。 (3)2026=6×337+4,故a2026=a4=-1。 一个周期内1+3+2+-1+-3+-2=0，故 S2026=337×0+a1+a2+a3+a4=1+3+2-1=5. 5.(二阶等差数列) 答案：(1)是，二阶公差为2；(2)an=n2-n,ao=90。 解析： (1)b=a*1-a=n+12-n=2n+1,{bn}是公差为2的等差数列，故{a}是二 阶等差数列，二阶公差为2。 (2)由a1=0,a2=2,a3=6得b=2,b=4,即{bn}是首项2、公差2的等差数 列，b=2n。于是 an=a1+b1+b2+…+bn-1=0+21+2+…+n-1=nn-1=n2-n. 故a10=102-10=90 6.（斐波那契型数列) 答案：（1)1,2,3,5,8,13；(3)a2026是奇数。 解析： (1)依次计算得a3=2,a4=3,a5=5,a=8,a7=13,ag=21。 (2)奇偶性只由前两项决定：奇+奇=偶，偶+奇=奇，奇+偶=奇。初 始为（奇，奇），故第三项为偶，第四项=奇+偶=奇，第五项=偶+奇= 奇，又回到（奇，奇）。于是奇偶性按”奇、奇、偶”循环，周期为3。 (3)2026=3×675+1,即2026=1(m0d3),故a2026与a1同奇偶，为奇数。 7.（等差中项数列) 答案： (2)a,=3n-1,S,=3m+n 2。 解析： (1)由2an=an-1+an+1移项得an+1-an=an-an-1(n≥2)，即相邻两项之差恒 定，故{an}是等差数列，公差d=a,-a1。 (2)d=5-2=3,故an=2+3n-1=3n-1, 3 na1+an_n2+3n-1-3n2+n S,= 2 2 3 8.（隔项常和数列) 答案：(1)Q3=3,a4=2,a5=1,a6=2,周期为4；(2)a2026=2,S2026=4051。 解析： （1)由an+2=4-an得a3=4-a1=3,a4=4-a2=2,Q5=4-a3=1,a6=4-a4=2, 数列为1,2,3,2,1,2，，且a+4=4-an+2=4-4-a,=am,故以4为周期。 (2)2026=4×506+2,故a2026=a2=2。一个周期内1+2+3+2=8，所以 S2026=506×8+a1+a2=4048+3=4051. 9.(幂的余数数列) 答案：(1)a1=2,a2=4,a3=1,a4=2,a=4,最小正周期为3：(2)a2026=2, S2026=4727。 解析： (1)2÷7余2,2÷7余4,23÷7余1,2÷7余2,2÷7余4。因为 23=1(mod7),所以2+3=8·2”=2(mod7),故an+3=a,最小正周期为3。 (2)2026=3×675+1,故a2026=a1=2。一个周期的和为2+4+1=7，因此 S2026=675×7+a1=4725+2=4727. 10.(配对数列) 答案：(1)a5=4,a6=5,a7=6,a8=7;(3)C=20,S10=100。 解析： (1)2m=8时配对为a,ag,a2,a,a3,a6,a4,a,各组和为C=9。由a1=2得 a8=9-2=7;由a2=3得a,=9-3=6;由a3=4得a。=9-4=5;由a4=5得 a5=9-5=4。即a=4,a6=5,a7=6,ag=7。 (2)把和按对称位置配对： Sn=∑a+am1-=mC. i=1 (3)m=5时共10项。等差数列a1=1,公差2，故a10=1+9×2=19。配对和 C=a1+a10=1+19=20。此时S10=5C=100(检验：等差数列前10项和 101+19=100,一致)。 2 第二组参考答案与解析（第11一20题) 11.(变和数列) 答案：(1)02=1，a3=3,a4=3,a5=5(奇数项为1,3,5，，偶数项为1,3,3，…均为 n,n为奇数 奇数数列1,3,5，交错)；通项a,n”1,n为偶数：(3)5m=2m, S2m+1=2m+2m+1。 解析： (1)由an+1=2n-an:a2=1,a3=3,a4=3,a5=5。 (2)a+2=2n+1-a+1=2n+2-(2n-a=a,+2,即隔项差为2。奇数项子列 {a2k-}:a1=1,隔项加2，故a2k-1=2k-1:偶数项子列{a2k}:a=1,故 a2k=1+2k-1=2k-1。 an= n,n=2k-1, n-1,n=2k. (3)n=2m时，奇数项前m个为1,3，…，2m-1,和为m2;偶数项前m个为 1,3,,2m-1,和也为m2。故S2m=2m2。 n=2m+1时，S2m+1=S2m+a2m+1=2m2+2m+1=2m2+2m+1。 12.(积幂数列) 2n-1 n为奇数， 答案： (2)an 2n*1 n为偶数； (3)S20=22-17。 解析： (1)a1a2=23→a2=8；a2a3=2→a3=4;a3a4=2→a4=32;a4a5=2→a,=16。观 察：奇数项1,4,16，…，偶数项8,32,128，…各为等比数列。 22n*2-1_22n+3 (2)an+2 an+1 22n-1/dn =4a,即隔项成公比为4的等比数列。 奇数项a2-1=a14-1=22k-2=2”-1；偶数项a2k=024-1=822k-2=22k+1=21。 (3)S20=a1+a3+…+a1g+a2+a4+…+a20。 方数现14+兮2：解数项日1兴2 33。 502-1+2-821+8-9-920-1-=312”-1=3-2°-3 3 3 3 检验：S2=a1+a2=9,而3·22-3=9√ 13.（差等比数列) 答案：(2)an=3·2-1-1;(3)Sn=32”-1-n,{an}单调递增。 解析： (1)a2-a1=3→a2=5；a3-a2=6→a3=11:a4-a3=12→a4=23。 (2)累加：n≥2时 n-1 n-1 a=a1+∑a1-a=2+∑32*-1=2+32-1-1=32-1-1. k=1 k=1 n=1时32°-1=2，也成立，故a=32”-1-1。 6 (3)S,=∑32*-1-1=32-1-n。 k an+1-a,=3·2”-1>0,故{an}单调递增。 14.(调和数列) 1 答案： 的公差为2,00，片(2)0,2 1 1 (1)a (3)见解析。 解析： 1日l哈5 故 的公差d5号-2.于是日37，即 2 -1 3,a47。 (2) =1+n-12=2n-1,故a,2n-i 1 0 (3)由 1+1=21 an 为等差数列，a,十a=20即 1=11+1 dn 2 an-1 an+1 15.(反商递推数列) 答案： （0o,-44-方；2)，32：（3)见解析， 解析： 1a374 a一取倒数： (2)对a1F1+3a 1=1+3a=1+3. an+1 anan > 1 是首项1、公若3的等若数列，子1+3n-1=3a-之，即0,3-之 1 故 an 11 -3 （3)a1a,3m+13n-23n+13n-2<0,故{a,}单调递减。由 0及m≥2时3n-2>3得0，分 an=3n-2 16.(折半均值数列) 答案：(1)aa,子a,日猜测极限为系(2)首项层，公比分： e引1 解析： a=2-"2-a1234- 2 。 数值逐渐接近 2 三2+b,则 (2)设b,=an-5。若am= 6.-ta-2_2_bn- 232 要验证6}为等比，用归纳：b=号6-写，若6，=b,则 b=br-i+b-22 2 ba-2tba h=-1-bn-2=-bn-U 2 4 故{b,}是以号为首项、-号为公比的等比数列。 ,版号引引- 号导- 8 17.(压缩递推数列) 答案： (1)a,=3≈1.73，a,=2+3≈1.93，a4≈1.98，递增趋近2：(3)1ima,=2 nco 。 解析： (2)用数学归纳法。a1=1,满足1≤a1<2。设1≤an<2,则an+1=an+2满足 an+1≥3>1，且an+1<2+2=2。故对-切n,1≤an<2。 (3)考察an+1-an=an+2-a。函数gx=x+2-x在[1,2)上满足 g'x=1 -2x+2 1 1<0,故9单调递减，而g2=0,所以当1≤x<2时 gx>0,即an+1>a,{an}单调递增。 由单调有界定理，{a,}收敛。设ima,=L,对a1=a,+2两边取极限得2=L+2 ,解得L=2或L=-1;由an≥1知L≥1，故L=2。 18.(个位数字数列) 答案：(1)1,4,9,6,5,6,9,4,1,0,1,4，最小正周期为10；(2)a2026=6;(3) S2026=9121。 解析： (1)n2的个位数字依次为1,4,9,6,5,6,9,4,1,0，然后重复。因为 n+102=n2+20n+100,个位数字与n2相同，故周期为10：且前10项中没有更 短周期（第1,2，…，5项与第6，…，10项不全同)，最小正周期为10。 (2)2026=10×202+6,故a2026=a6=6。 (3)一个周期内1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45，故 S2026=202×45+1+4+9+6+5+6=9090+31=9121. 9 19.(奇偶双轨数列) 答案：(2)S2m=3m;(3)a2026=4050,S2026=3078507。 解析： (1)前8项为1,2,3,6,5,10,7,14。通项： an= n,n=2k-1(奇数项a2k-1=2k-1=n), 2n-2,n=2k(偶数项a2k=4k-2=2n-2). （2)奇数项前m项和=m1+m仍山2=m,偶数项前m项和 2 =m-2+m-1.4=2m2。故S2-3m. 2 3 2026=2×1013, a2026=a2×1013=4×1013-2=4050: S2026=S2×1013=3×10132=3078507。 20.（混合递推数列) 答案： (10g=5,a=19,0=65;（3)0,=3-2,S,-3)-3-2+2. 2 解析： (1)a2=21+3=5,a3=25+9=19,a4=219+27=65。猜测an=3”-2”(3-2=1 ,9-4=5,27-8=19,81-16=65)。 2)设6号 递推式两边同除以3+1： 于是611号私，-1，即么，1号足以6，-1日1-号为首项、号为公比的 等比数列。 3b,1=-引，放b1层a-1-号-3- o 5-23-233122-133-2+2. k=1 2-12 第三组参考答案与解析（第21一30题） 21.(连续和好数) 答案：(1)6=1+2+3、15=4+5+6=7+8是好数，8不是好数：(4)1~30中 好数共有25个。 解析： (1)6=1+2+3,15=7+8,故6,15是好数。8不是2的幂以外的结构，需用 (2)(3)的结论判断：8=2是2的幂，不是好数。（直接检验也容易： 8=1+2+5、1+2+3+4=10>8,连续和只能是a+a+1或更长；a+a+1=8无整 数解，1+2+3+4已超8。) (2)k个连续整数a,a+1,,a+k-1的和 n=ka+klk-1]_kl2a+k-1 2 若k为奇数，则n含有奇因子k>1,故n不是2的幂；若k为偶数，设 k=2t,则 n=t2a+2t-1, 其中2a+2t-1是大于1的奇数(a≥1，t≥1)，故n仍含有奇因子。总之n不 是2的幂。这就证明了必要性。 (3)设n=2q,其中s≥0，q>1为奇数。 情形一：q≤21-1。取项数k=q,则中间因子 2a+k-1=2n=2*1, k 得a=21-9+1 2 因为q为奇数且q≤2+1-1，故Q≥1且为整数，于是 n=a+a+1+…+a+q-1 11 是好数。注意当s=0(即n本身为奇数)时，q=n≤1不可能(n>1),故奇数情 形归入下面q>2+1？一一s=0时2+1-1=1<q,属于情形二，用k=2的构造即 可：n=2°9=9为奇数>1，取a=9 2,n=a+(a+1。 情形二：q≥21+1（含s=0时q≥3）。若s=0,n=q奇数，直接 n=n-1+n+1 2 2 两数连续相加；若s之1，取项数k=2+1,则中间因子 2a+k-1=2n=q, k 符a=121.9为奇数、2为偶数，故0为整数，且由q221得21 2 。于是 n=a+a+1+…+a+2*1-1, 是好数。 (4)1~30中2的幂为1,2,4,8,16，共5个：其余25个都是好数。 22.(平方中项数列) 答案：(3)a,=3",S,=3-1 2。 解析： (1)a1a3=1×4=4=22=a2,满足条件。继续由a=a2a4得a4=8,a=16,a6=32 ，即1,2,4,8,16,32。 (2)由a=an-1an+1及各项为正，得 an1=ann≥2. an an-1 因此比值 与n无送，恒等于导故}是公比为号 a, 的等比数列。 8公比gg-品《1g了，8-=3 a 12 23.(凸数列) 答案：(1)两者都是凸数列：(2)(3)见解析。 解析： (1)an=n:a+1-an=2n+1,随n增大而增大，凸。an=2”:an+1-an=2”,随n 增大而增大，凸。 (2)记dn=an+1-an。凸性即d1≤d2≤d3≤…。由a1=1,a2=2得d1=1,故dn≥1。 于是 an=a1+d1+…+dn-121+n-11=n. (3)设j-i=2t,则t≥1且 i*i-1 a∑dgaa=d p=ij 两式右端逐项对应，前者每一项的下标都不小于后者，由d。单调不减得 aj-a+1之ai+1-a1, 2 2 即2ay≤a+a, 也就是 ai+aizai-j. 2 24.(取整数列) 答案：(1)共2k+1项；(2)Q2026=45;(3)S2026=59820。 解析： (1)Rn=k=k<Vn<k+1=k2≤n<k+12。又k+1P-1=k2+2k,故 k2≤n≤k2+2k,共有2k+1项。 (2)452=2025≤2026<462=2116，故a2026=45。 (3)当1≤n≤442时an的取值按k=1,2,…,44完整分组，每组2k+1项、每项 值k;剩下n=2025,2026两项的值均为45。故 13 5-2k2k+145×2=22+2k+0. 44 4 -44×45×89-176220=29370,2k=44X45=990. 6 6 k=1 S2026=2×29370+990+90=59820. 25.（奇偶衍生数列) 答案：(1)1,1,0,1,1,0,1,1；(3)a2026=1,S2026=1351。 解析： (1)a3=1+1=0,a4=1+0=1,a5=0+1=1,a6=1+1=0, 依次得 1,1,0,1,1,0,1,1. (2)由(1)知a3=0,04=1,a,=1,即a4=a1,a=a2。递推式只由前两项决定，故 an+3=an对一切n成立（数学归纳)，周期为3。 (3)2026=3×675+1,故a2026=a1=1。 一个周期1+1+0=2，S2026=675×2+1=1351。 26.(连乘递推数列) 答案： (1)g,=3 8,通项a,=n+1 2n 极限 (3)见解析。 解析： 3 (1) 01-=3 44 a3=9 1g8 1- 2×15-5 4 40-5,a4=21-16316 (2)对n≥2， ,a1--山-只i 前一果积约分后列六后一乘积约分后利”宁，敢Q 14 1+1>1 -1=0,故1ima,2 1 (3)a,2+2n2且a,22n 27.(角谷变换数列) 答案：(1)从11出发共14步到达1：(2)最大项为52：(3)从7出发共 16步，最大项仍为52。 解析： (1)轨道为 11-34-17→52-26→1340-20→10-5-16→8-4→2-1， 从11到1共经过14次变换。 (2)过程中各项为11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1，最大项为52。 (3)从7出发：7→22→11，第2步到达11，此后与(1)相同，故总步数 =2+14=16:最大项仍为52。 28.（比值裂项递推数列) 答案：(1)a2=3,a3=5,a4=7,a=9,猜测an=2n-1:(3)Sn=n2。 解析： DQ,1+11+13,a33+书a45+e,a写4 2 3 3 =7+1=9。猜测 4 an=2n-1。 (2)设h-员 递推式两边除以n+1: n+1 nn(n+1' 即aba片累 15 故a,=n2-=2n-1. n (3)a,=2n-1是首项1、公差2的等差数列，S,-n1+2n-山=m。 2 29.（二阶线性递推数列) 答案：(1)a3=7,a4=20,a=61,a6=182;(2)(3)(4)见解析。 解析： (1)a3=2×2+3×1=7,a4=2×7+3×2=20, a5=2×20+3×7=61, a6=2×61+3×20=182。 2)时3片1成立：2则9号-2胶立。设=-1k时成立( k≥2)，则 ak-1=2ak+3ak-1- 23*--1+33*-1--1-1 =3*1-2-1+31-1- 4 而2-1+3-1k-1=-1-2-1+3=-1-1=-1k,故 ak+1= 31--1 4 由数学归纳法，4,3-1对一切日成立。 4 ,因为3=-1ao4,故子=小1nm时4.云-1P能技4 3”--1" (3)an= 整除，an为整数。 (4)an+1-an= 3-11-3+-1_2-3+2-1=3+1>0,故a1>0。 4 4 2 16 30.(比特数列) 答案：(1)1,1,2,1,2,2,3,1；(3)S1023=5120:(4)2026=111111010102, 02026=8。 解析： (1)1=12:1;2=102:1;3=1122;4=1002:1;5=1012:2:6=1102:2 :7=1112:3:8=10002:1。 (2)2n的二进制是把n的二进制末尾添一个0,1的个数不变：a2n=an:2n+1 添一个1：Q2m+1=an+1。 (3)1023=20-1,它的二进制为10个1.1到20-1的二进制数恰为1位到 10位的所有数（去掉前导零意义下，0不在求和范围，而每个数最高位为1）。 按位统计：在10个二进制位上，每个位置上有2个数取1（其余9位任意）， 共10个位置，故 S1023=10×29=5120, (4)2026=1024+512+256+128+64+32+8+2,二进制为11111101010（从高位到 低位：第11,10,9,8,7,6,4,2位为1)，共有8个1，故a2026=8。 第四组参考答案与解析（第31一40题) 31.(差分算子) 1 答案：(1)1,2n+1,2,nn+:(3)b,=,（④)ca=2-1. 解析： (1)Anl=n+1-n=1;An2=n+1P-n2=2n+1;A2=21-2=2"; 41=1-1-1 nn+1 n nn+19 1 (2)△an=Aan1-△an=an+2an*1-a+1-a。若{an}等差，则相邻差相等， an=0;反之若an=0对一切n成立，则△an+1=△an,即{an+1-an}是常数 列，{an}等差。 n-1 n-1 (3)b,=b,+∑Ab=1+∑2k+1=1+nn-1+n-1=1+n2-1=n2。 k=1 k=1 4 c,=+∑4c4=1+∑2*=1+2”-2=2”-1. 证 k=】 k=1 Cn1=2+1-1=22-1+1=2cn+1。 32.(状态转移数列) 答案：(1)1,2,3,2,3,2,3,2；(4)a2026=2,S2026=5063。 解析： (1) a1=1,a2=f1=2,a3=f2=3,a4=f3=2,a=f2=3,…,即 1,2,3,2,3,2,3,2。 (2)f2=3,f3)=2,故一旦出现2，后续按2,3,2,3交替，周期为2。严格地 说，由a2=2,数学归纳得a2k=2,a2k+1=3(k≥1)。 (3)a1,a2,,a+1共r+1项，都落在D={1,…,r}中，由抽屉原理，存在 ij≤r+1使a=a。因an+1=gan由前一项唯一决定，故a+=aj+t对一切t≥0 成立，即从第i项起以j-i为周期。 (4)2026为偶数，a2026=a,=2。a1=1;从a2到a2026共2025项，其中偶数位 置2,4，“，2026共1013项取2，奇数位置3,5，…，2025共1012项取3。故 S2026=1+1013×2+1012×3=5063. 33.(有界扰动数列) 答案：(1)a,=2,a:(4④见解析。 9 18 解析： (1)a2=1+22,0虜=2+1、9 224° 1 1=1-1 (2)k≥2时kk-1<K,故哀kk-面k-1 (3)对n≥3，a,=1+公-2+公为 ,由(2)： 23-13. 又a1=1<3,a2=2<3,故an<3对一切n成立，即{a}有上界3。 (4Q=诗>0，故a}单闲递常.造增且有上界，放多收敛（板限仔车但 不必求出)。 34.（三项和递推数列) 答案：(1)a3=3,a4=1,a=2,周期3，a2026=1,S2026=4051；(2) 1+2k,n=3k+1, bn=2k, n=3k+2,, b2026=1351;(3)S3m=3m2+2m,S2025=1368225。 4+2k,n=3k+3, 解析： (1)a=6-1-2=3,a4=6-2-3=1,a=6-3-1=2。数列为1,2,3循环。两式 相减： an+3+an-2+an+1)-an-2+Qn-1+dn)=0=qn+3=an2 周期为3.2026=3×675+1，a2026=a1=1;S2026=675×1+2+3+1=4051。 (2)由bn+bn+1+bn+2=2n+3,把n换成n+1再相减： bn+3-bn=2n+5-2n+3=2. 所以三个轨道（按nmod3分类）各自成公差为2的等差数列： b3k+1=b1+2k=1+2k,b3k*2=b+2k=2k,b3k+3=b3+2k=4+2kk≥0. 19 2026=3×675+1,b2026=b3×65+1=1+2×675=1351。 (8)5.2ia+b+b-1+2-2k4-225+6kl k=0 =5m+6×mlm-1=5m+3mlm-1=3m2+2m. 2 S202s=S3×65=3×6752+2×675=1366875+1350=1368225。 35.（交错和数列) 答案：(1)B1=1,B2=-2,B,=7,B4=-20:(3)见解析。 解析： (1)B1=1,B2=1-3=-2,B3=1-3+9=7,B4=1-3+9-27=-20。 (2)B,=13*令jk-1,则-113*1-13-3，故 B-2-33-13 j=0 1--3 4 (3)3=-1(mod4,故-3=-1(mod4)。若n为奇数，-3”=-1(mod4): 若n为偶数，-3=1(mod4)。因此无论n奇偶，1--3”=0(mod4),Bn恒为 整数。 符号：n为奇数时3r<0,枚B,1-3>0:n为偶数时-3>0，枚B,<0 4 。即Bn>0当且仅当n为奇数。 大小：n为奇数时B=1子0：n为偶数时B,3”0。故 4 3"+1 n为奇数， B= 4 3”-1， n为偶数， 4 两者都随n增大而增大(3”增大)，故B,随n严格增大。 20 36.(加性数列) 答案：(3)a1=2,a2026=4052,S,=nn+1。 解析： (1)am+n=2m+n=2m+2n=am+a,故an=2n是加性数列。 （2)取m=1:an*1=a,+a1,故{an}是公差为a1的等差数列， an=a+n-1a=nal. (3)由a3=3a1=6得a1=2,an=2n,a2026=4052,Sn=21+2+…+n=nn+1。 (4)若an=na1,则am+n=(m+na1=ma1+na1=am+an,故为加性数列。结合 (2),加性数列~an=na1。 37.(辗转相减数列) 答案：(1)12,8,4,4,0，最后不为0的数是4=gcd12,8:(4) gcd735,1008=21. 解析： (1)x1=12,x2=8,x3=4,x4=8-4=4,x=4-4=0。数列为12,8,4,4,0，最 后不为0的数是4，而9cd12,8=4。 (2)设Xn>Xn+1>0,Xn+2=xn-xn+1。若xn≥2xn+1,则max(x+1,xn+2=xn-Xn+1<xn ;若Xn+1<xn<2xn+1,则Xn+2<xn+1,maxx+1Xn+2=Xn1<Xn。总之相邻两数的最 大者严格下降（只要两数不等），而它是正整数，不可能无限严格下降，故有限步 内必出现两数相等或出现0。 (3)gcd(x+1,xn+2=9cdxn+1,xn+1-xn)=gcdx+1,x,最大公约数每一步不变，恒 等于gcda,b。过程结束时为g,g,0或g,0,其中g为最后不为0的数，由 最大公约数不变知g=gcda,b。 21 (4)1008-735=273；735-273-273=189(即 735=273×2+189): 273-189=84;189-84-84=21（189=84×2+21):84-21-21-21-21=0( 84=21×4)。故9cd735,1008=21。 38.(循环移位数列) 答案：(1)0,5,4,3,2,1,0,5。 解析： (1)a2=0+5=5,a3=5+5=10=4,a4=3,a=2,a6=1,a,=0,ag=5。前6项 恰为0,1,2,3,4,5的一个排列，且a7=a1,周期为6。 (2)an-r=an-1)k=(n-1+Tk(mod m)=Tk=0(modm)=m|Tk, (3)g=gcd(m,kl,m'=m k'=k 则m',k'互质。m|Tkm'|Tk'。由 m'|Tk'及gcdm',k'=1得m'|T,故满足条件的最小正整数T=m'= m gcd m,k m ，即最小正周期为 gcdm,k° (4)当gcdm,k=1时周期为m。若a,=a;(1≤i<j≤m),则m|j-ik,由 gcdm,k=1得mj-,这与0<j-i<m矛盾。故前m项两两不同；它们都在 {0,“,m-1}中取值，共有m个互不相同的值，故恰好遍历{0,1，…，m-1}。 39.(平方减二数列) 答案：(1)a2=7,a3=47,a4=2207,a为奇数：(4)见解析。 解析： (1)02=32-2=7,03=72-2=47,a4=47-2=2207。a,=22072-2=4870847,为奇 数。 22 (2)a1=3为奇数。若an为奇数，则an+1=a-2为奇数减偶数，仍为奇数。归 纳得所有an为奇数。 (3)a1=a-2=-2(moda)。又an+2=a71-2=-2}2-2=2(mod a,)。若 an+t=2(moda,)(t≥2)，则an+t+1=a+t-2≡4-2=2(mod a）,归纳得对一切t≥2 ,an+t=2(mod a）。 (4)设m>n。若m=n+1,9cdam,an=gcda-2,an=gcd2,an=1(a,为奇 数)。若m≥n+2,由(3)am=2(mod a),故gcd am,an=gcd2,an=1。于是任 意两项互素。 40.(间隔好排列) 答案： (1)1,5,2,4,3是间隔好排列，1,3,5,2,4不是；(2)见解析。 解析： (1)1,5,2,4,3的相邻差为4,3,2,1，互不相同，是间隔好排列。1,3,5,2,4 的相邻差为2,2,3,2，出现重复，不是间隔好排列。 (2)n=4:1,4,2,3的相邻差为3,2,1，互不相同，是间隔好排列。 (3)n=6:1,6,2,5,3,4,相邻差为5,4,3,2,1，互不相同，是间隔好排列。 (4)构造中a2k-1=k,a2k=n+1-k。两类相邻差： dk=a2k-a2k-1=n+1-2kk=1,",n/2/, ex=a2k+1-a2k=n-2kk=1,…,ln-1/2/. 第一组取n-1,n-3,n-5,";第二组取n-2,n-4,…。两组并起来恰为 n-1,n-2,…,2,1各一次。故该排列是间隔好排列。 23 新定义数列专项训练（40 题） 使用说明：每组 10 题，按”理解定义 → 计算通项与和 → 性质证明 → 综合探究”递进。第 31—40 题多为多问递进大题。 答案与解析见另册《参考答案与解析》。 第一组　入门理解（第1—10题 · ★~★★）　——直接按定义操作 1.（常和数列）★ 设数列 满足：对一切 ，有 ，且 。称这样的数列为常和数列（和为常数 ）。 （1）求 的值，并写出该数列前 项； （2）证明： 是周期数列，并求其最小正周期； （3）求 及前 项和 。 2.（常积数列）★ 设数列 是正项数列，满足：对一切 ，有 ，且 。称这样的数列为常积数列。 （1）求 ； （2）证明： 是周期数列，并求其最小正周期； （3）求前 项的乘积 。 3.（对称数列）★ 称有穷数列 为对称数列，若对每个 ，都有 （即首尾对应项相等）。 （1）设 ，且 ，求 及前 项和 ； （2）证明：若 为偶数，则对称数列前 项的和等于全数列和的一半，即 。 4.（回环差分数列）★ 设数列 满足 （），且 。 （1）写出 ，观察这 项与 的关系； （2）证明： 是以 为周期的周期数列； （3）求 与前 项和 。 5.（二阶等差数列）★ 若数列 满足：相邻两项之差构成的数列 是等差数列，则称 为二阶等差数列，并把 的公差称为 的二阶公差。 （1）判断数列 是否为二阶等差数列；若是，求其二阶公差； （2）已知二阶等差数列 满足 ，求它的通项公式及 。 6.（斐波那契型数列）★ 设数列 满足 （），且 （即斐波那契数列）。 （1）写出 ； （2）观察各项奇偶性：证明 的奇偶性按”奇、奇、偶”循环出现； （3）判断 是奇数还是偶数。 7.（等差中项数列）★ 设数列 （）满足：每一项都是其前后两项的等差中项，即 （1）证明： 是等差数列，并指出其公差与 的关系； （2）若 ，求 的通项公式及前 项和 。 8.（隔项常和数列）★★ 设数列 满足 （），且 。 （1）写出 ，猜想 的周期； （2）求 与前 项和 。 9.（幂的余数数列）★★ 设 表示 除以 所得的余数，即 ，且 。 （1）写出 ，证明 是周期数列并求最小正周期； （2）求 及前 项和 。 10.（配对数列）★★ 称项数为 的数列 为 -配对数列，若存在常数 ，使得对 都有 （1）设 ，，且 ，求 ； （2）证明：-配对数列的前 项和 ； （3）设 既是 -配对数列（），又是首项 、公差为 的等差数列，求 与前 项和 。 第二组　基础—中档（第11—20题 · ★★~★★★）　——求通项与求和 11.（变和数列）★★ 设数列 满足 （），且 。 （1）写出 ，观察奇数项、偶数项各成什么数列； （2）证明：，并由此求 的通项公式； （3）求前 项和 （分 为奇数、偶数讨论）。 12.（积幂数列）★★ 设数列 满足 （），且 。 （1）求 ，观察奇数项、偶数项各成什么数列； （2）求通项公式 （用 的奇偶性分类表示）； （3）求前 项和 。 13.（差等比数列）★★ 设数列 满足 （），即相邻两项之差构成公比为 的等比数列，称 为差等比数列。已知 。 （1）求 ； （2）用累加法求 的通项公式； （3）求前 项和 ，并判断 的单调性。 14.（调和数列）★★ 若正项数列 满足 是等差数列，则称 为调和数列。 （1）若调和数列 满足 ，求公差及 ； （2）求（1）中 的通项公式； （3）证明：调和数列的每一项都是其前后两项的”调和平均”，即 15.（反商递推数列）★★★ 设数列 满足 （），且 。 （1）求 ； （2）对等式两边取倒数，求 的通项，进而求 的通项公式； （3）证明： 单调递减，且 （）。 16.（折半均值数列）★★★ 设数列 满足：，且当 时 （1）计算 ，猜测 的极限； （2）设 ，证明 是等比数列，并写出其首项与公比； （3）求 的通项公式及前 项和 。 17.（压缩递推数列）★★★ 设数列 满足 （），且 。 （1）计算 ，猜测 的变化趋势与极限； （2）证明：对一切 ，有 ； （3）证明： 单调递增，并求 。 18.（个位数字数列）★★★ 设 表示 的个位数字，例如 。 （1）写出 ，证明 是周期数列并求最小正周期； （2）求 ； （3）求前 项和 。 19.（奇偶双轨数列）★★★ 设数列 满足：奇数项构成首项为 、公差为 的等差数列；偶数项构成首项为 、公差为 的等差数列。即 （1）写出前 项，并用含 奇偶性的分段形式写出通项公式； （2）求前 项和 （化简结果）； （3）求 与 。 20.（混合递推数列）★★★ 设数列 满足 （），且 。 （1）计算 ，并猜测通项公式； （2）设 ，证明： 是等比数列，并写出首项与公比； （3）求通项公式 与前 项和 。 第三组　中档—中上（第21—30题 · ★★★~★★★★）　——性质证明与综合 21.（连续和好数）★★★ 若正整数 可以写成至少两个连续正整数的和，则称 为好数。例如 ，故 是好数。 （1）判断 是否为好数； （2）证明：若 能写成 （）个连续正整数之和：，则 ，并由此证明： 是好数 不是 的幂； （3）反过来证明：若 不是 的幂，则 是好数（提示：对 （ 为奇数），分 与 两类，分别选取项数 或 构造）； （4）求 中好数的个数。 22.（平方中项数列）★★★ 设正项数列 满足：对 ，中间项的平方等于前后两项之积，即 （1）若 ，检验它是否满足上述条件，并写出前 项； （2）证明：（），进而证明 是等比数列； （3）若 ，求通项公式与前 项和 。 23.（凸数列）★★★ 若数列 满足：对一切 ，有 （相邻两项之差单调不减），则称 为凸数列。 （1）判断 与 是否为凸数列，并说明理由； （2）证明：若 是凸数列且 ，则 对一切 成立； （3）证明：若 是凸数列， 且 同奇偶，则 。 24.（取整数列）★★★ 设 ，即不超过 的最大整数（如 ）。 （1）说明 当且仅当 ，并由此计算”值等于 “的项共有多少项； （2）求 ； （3）求前 项和 （可用公式 ）。 25.（奇偶衍生数列）★★★ 设数列 的项都在 中取值，且满足 等于 除以 的余数，即 （1）写出 ； （2）证明： 是以 为周期的周期数列； （3）求 及前 项和 。 26.（连乘递推数列）★★★ 设数列 满足 ，且 （1）求 ，猜测 的通项与极限； （2）把 因式分解为 ，用”连乘相约”的方法求通项公式； （3）证明： 对一切 成立，并求 。 27.（角谷变换数列）★★★ 定义数列的角谷变换：若 为偶数，则 ；若 为奇数，则 。从 出发按此规则不断生成后续项，直到首次出现 为止。 （1）写出从 出发的完整过程（到 为止），求共变换了多少次（步数）； （2）在上述过程中，出现的最大项是多少？ （3）若从 出发，验证其第 次变换后即进入 的轨道，并求从 出发到达 的总步数与过程中的最大项。 说明：数列是否对一切正整数初值都最终到达 （角谷猜想）至今未解决，本题只做有限步的观察与计算。 28.（比值裂项递推数列）★★★ 设数列 满足 ，且 （1）求 ，猜测通项公式； （2）设 ，证明：，并由此求 的通项公式； （3）证明 是等差数列，并求 。 29.（二阶线性递推数列）★★★★ 设数列 满足 （），且 。 （1）求 ； （2）用数学归纳法证明：； （3）利用 除以 的余数（），说明所有 都是整数； （4）证明： 对一切 成立。 30.（比特数列）★★★★ 设 表示正整数 的二进制表示中数字 的个数。例如 ，故 。 （1）求 ； （2）证明：，且 ； （3）求 （提示：对 位二进制数按位统计 的个数）； （4）把 写成二进制，求 。 第四组　拔高—压轴（第31—40题 · ★★★~★★★★）　——证明、构造与探究 31.（差分算子）★★★ 对数列 定义一阶差分：（）。 （1）求 、、、； （2）定义二阶差分 。证明： 是等差数列当且仅当 对一切 成立； （3）若 对一切 成立，且 ，用累加法求 ； （4）若 对一切 成立，且 ，求 ，并验证 。 32.（状态转移数列）★★★ 设数列 的每一项都属于集合 ，且满足 ，其中 （1）若 ，写出 ； （2）证明：从第 项起， 以 交替出现（即以 为周期）； （3）更一般地，若 把有限集合 映到自身，数列 且 ，证明： 中必存在 使 ，从而从第 项起数列以 为周期（最终周期数列）。（提示：考虑前 项） （4）求 及前 项和 。 33.（有界扰动数列）★★★★ 设数列 满足 ，且 （1）求 ； （2）证明：对 ，有 ； （3）由 （），利用（2）证明：对 ，，进而证明 有上界 ； （4）证明 单调递增，并说明 必收敛（不需求极限值，可用”单调有界数列必收敛”这一结论）。 34.（三项和递推数列）★★★ （1）设数列 满足 （），且 。求 ，证明 是周期数列，并求 与前 项和 ； （2）设数列 满足 （），且 。证明：，并求 的通项公式（分 三种情况）与 ； （3）求（2）中数列前 项和 的公式，并求 。 35.（交错和数列）★★★ 设 （），定义交错和 （1）求 ； （2）证明：； （3）证明： 恒为整数；并说明 当且仅当 为奇数，且 随 增大而增大。 36.（加性数列）★★★ 若数列 满足：对一切正整数 ，都有 ，则称 为加性数列。 （1）验证： 是加性数列； （2）证明：加性数列 必是等差数列，且 （提示：取 先证 ）； （3）若加性数列满足 ，求 与前 项和 ； （4）反过来证明：若 （即 是以 为首项、 为公差的等差数列），则 是加性数列。结合（2）可知：数列是加性数列 它满足 。 37.（辗转相减数列）★★★★ 对两个正整数 ，定义辗转相减：每次把较大数换成它与较小数的差，直到出现相等的两数或出现 （即差为 时停止）。若把这一过程看作数列：，，到首次出现 为止。 （1）取 ，写出数列到首次出现 为止，指出最后不为 的数与 的关系； （2）设 均为正整数且 ，证明：，其中 ，并说明数列的相邻两数之最大者不断下降（正整数，故必有限步结束）； （3）证明：（最大公约数在整个过程中不变），并由此证明：最后出现 前一个不为 的数就是 ； （4）利用辗转相减求 。 38.（循环移位数列）★★★★ 设 是给定的正整数，。数列 的每一项都取自 ，且满足 。称这样的数列为循环移位数列（每次加 再取模 的余数）。 （1）取 ，写出前 项，验证 全部出现且以 为周期； （2）证明： 对一切 成立的充要条件是 ； （3）设 ，证明 的最小正周期为 （提示：由（2），问题化为求使 的最小正整数 ；设 ，先说明 与 互质，再推出 ）； （4）当 时，最小正周期为 。证明：前 项 恰好把 中每个数各取一次（遍历性）。 39.（平方减二数列）★★★★ 设数列 满足 （），且 。 （1）求 ，并判断 的奇偶性； （2）证明：对一切 ， 都是奇数； （3）设 。证明：，且对一切 ，（提示：由 出发，利用 归纳）； （4）由（2）（3）证明：对任意 ，，即 各项两两互素。 40.（间隔好排列）★★★★ 设 。把 排成一列得到排列 。若相邻两项之差的绝对值 这 个数互不相同，则称该排列为间隔好排列。 （1）判断排列 （）是否为间隔好排列；再判断 是否为间隔好排列； （2）对 ，验证 是间隔好排列，并写出它的相邻差； （3）对 ，按如下规则构造排列并验证它是间隔好排列：从 开始，依次交替取”当前最小未取的数”与”当前最大未取的数”，即 （4）一般地，证明：对任意 ，排列 ，（，取到 个位置为止）是间隔好排列，即相邻差的绝对值恰好是 各一次。 学科网（北京）股份有限公司 $