第1练　集合中的新定义问题专项训练 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以三步解题法（理解定义-归纳举例-类比应用）系统突破集合新定义问题，构建“定义-方法-应用”逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合新定义问题|单选6/多选3/填空3|三步解题法：明确定义条件与结论、利用举例归纳方法与分类、类比迁移解决问题|从“权集”“封闭集”等概念生成，通过典例（如“好子集”元素个数计算）推导性质，拓展至几何平均数、累积值等应用场景|

专题1　集合、不等式 第1练　集合中的新定义问题 解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法；归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若数集A={a1，a2，…，an}(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j (1≤i<j≤n)，aiaj与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则(　　) A.{1，3，4}为“权集” B.{1，2，3，6}为“权集” C.“权集”中元素个数一定是有限个 D.“权集”中一定有1 2.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 3. (2025·广东模拟) 设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（ ） A.  B.  C.  D.  4. (2026·新民市模拟) 定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为 (　　) A. 0 B. 4 C. D. 6 5.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ(X)=M-m.下列命题中正确的是(　　) A.已知X={-1，1}，Y={0，b}，且Δ(X)=Δ(Y)，则b=2 B.已知X={x|f(x)≥g(x)，x∈[-1，1]}，若Δ(X)=2，则对任意的x∈[-1，1]，都有f(x)≥g(x) C.已知X=[a，a+2]，Y={y|y=x2，x∈X}，则存在实数a，使得Δ(Y)<1 D.已知X=[a，a+2]，Y=[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ(X∪Y)≤3 6. (2025高一上·黄埔期中) 对于非空正整数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正整数集满足下列两个条件：(1)；(2)。则称为的一个 “稳定子集” 。根据以上信息，集合的 “稳定子集” 有 （ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x-y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集.下列叙述中，正确的为(　　) A.集合A={-2，-1，0，1，2}为封闭集 B.集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集 C.封闭集一定是无限集 D.若A为封闭集，则一定有0∈A 8. (2025高 - 上·滨江月考) 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为 “可分集合”. 下列说法正确的是 ( ) A. 不是 “可分集合” B. 是 “可分集合” C. 四个元素的集合可能是 “可分集合” D. 五个元素的集合不可能是 “可分集合” 9.规定：在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为[k]，即[k]={7n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，5，6，则下列结论正确的是(　　) A.2 026∈[3] B.-3∈[3] C.若整数a，b属于同一“家族”，则a-b∈[0] D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“家族” 三、填空题(每小题5分，共10分) 10.设集合U={1，2，3}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将集合U的全部子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是　　　　　　. 11.已知集合M={1，2，3，4，5}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0，设集合A的累积值为S. (1)若S=3，则这样的集合A共有　　　　个； 12. （2026·湖北校级模拟）定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m - x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有_____ 个. 第1练　集合中的新定义问题 解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法；归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若数集A={a1，a2，…，an}(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j (1≤i<j≤n)，aiaj与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则(　　) A.{1，3，4}为“权集” B.{1，2，3，6}为“权集” C.“权集”中元素个数一定是有限个 D.“权集”中一定有1 答案　B 解析　对于A，因为3×4与均不属于数集{1，3，4}，所以A错误； 对于B，因为1×2，1×3，1×6，2×3都属于数集{1，2，3，6}，则其为“权集”，所以B正确； 对于C，举例A={x|x=2n，n∈N*}，由“权集”的定义易知其为“权集”，所以C错误； 对于D，举例{2，3，6}，因为2×3都属于数集{2，3，6}，则其为“权集”， 所以“权集”中不一定有1，所以D错误. 2.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　当|A|=1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}； 当|A|=2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}； 当|A|=3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}， 综上所述，I的所有“好子集”的个数为8. 3. (2025·广东模拟) 设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（ ） A.  B.  C.  D.  答案　D 解析　因为，，所以集合中的元素个数为个或个，因为，所以或，①当集合中的元素个数为时，有两相等的实数根，且无解，所以，解得；②当集合中的元素个数为时，有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解，所以，解得或，综上所述，或或. 故选：D. 4. (2026·新民市模拟) 定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为 (　　) A. 0 B. 4 C. D. 6 答案　C 解析　． 又，， 所以集合的所有元素之和为 故选：C． 5.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ(X)=M-m.下列命题中正确的是(　　) A.已知X={-1，1}，Y={0，b}，且Δ(X)=Δ(Y)，则b=2 B.已知X={x|f(x)≥g(x)，x∈[-1，1]}，若Δ(X)=2，则对任意的x∈[-1，1]，都有f(x)≥g(x) C.已知X=[a，a+2]，Y={y|y=x2，x∈X}，则存在实数a，使得Δ(Y)<1 D.已知X=[a，a+2]，Y=[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ(X∪Y)≤3 答案　D 解析　A选项，由X={-1，1}，Y={0，b}，可得Δ(X)=2，Δ(Y)=|b|， 因为Δ(X)=Δ(Y)，所以|b|=2，b=±2，故A错误； B选项，由Δ(X)=2知，-1∈X且1∈X， 则f(1)≥g(1)且f(-1)≥g(-1)， 但是f(0)≥g(0)不一定成立，例如f(x)=x2-1，g(x)=0，故B错误； C选项，由X=[a，a+2]，Y={y|y=x2，x∈X}， 当a+2≤0，即a≤-2时，Δ(Y)=a2-(a+2)2=-4a-4≥4； 当-2<a≤-1时，可得Δ(Y)=a2≥1； 当-1<a<0时，可得Δ(Y)=(a+2)2>1； 当a≥0时，可得Δ(Y)=(a+2)2-a2=4a+4≥4， 所以不存在实数a，使得Δ(Y)<1，故C错误； D选项，由X=[a，a+2]，Y=[b，b+3]，取b=a， 可得Δ(X∪Y)=3，对任意实数a，总存在实数b使之成立，故D正确. 6. (2025高一上·黄埔期中) 对于非空正整数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正整数集满足下列两个条件：(1)；(2)。则称为的一个 “稳定子集” 。根据以上信息，集合的 “稳定子集” 有 （ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 答案　B 解析　集合，则， 因为，由题意可知：集合至少有2个元素， 若集合有2个元素，则集合可以为，共2个； 若集合有3个元素，则集合可以为，共2个； 若集合有4个元素，则集合可以为，共1个； 若集合有5个元素，则集合可以为，共1个； 综上所述：集合的 “稳定子集” 有个. 故答案为：B. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x-y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集.下列叙述中，正确的为(　　) A.集合A={-2，-1，0，1，2}为封闭集 B.集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集 C.封闭集一定是无限集 D.若A为封闭集，则一定有0∈A 答案　BD 解析　对于A，在集合A={-2，-1，0，1，2}中， -2-2=-4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误； 对于B，集合A={n|n=2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x=2k1，y=2k2，k1，k2∈Z，∴x+y=2(k1+k2)∈A，x-y=2(k1-k2)∈A，xy=4k1k2∈A，∴集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集，故B正确； 对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误； 对于D，若A为封闭集，则取x=y，得x-y=0∈A，故D正确. 8. (2025高 - 上·滨江月考) 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为 “可分集合”. 下列说法正确的是 ( ) A. 不是 “可分集合” B. 是 “可分集合” C. 四个元素的集合可能是 “可分集合” D. 五个元素的集合不可能是 “可分集合” 答案　ABD 解析　A、去掉3后，不满足定义，不是 “可分集合” ，该选项正确，符合题意； B、集合所有元素之和为49， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合与的元素和相等，符合题意； 因此集合是 “可分集合” ，该选项正确，符合题意； C、不妨设 ，去掉 ，则 ，去掉 ，则 ，于是 ，与矛盾，因此一定不是 “可分集合” ，该选项错误，不合题意； D、不妨设 ， 若去掉元素 ，将集合分成两个交集为空集的子集 ， 且两个子集元素之和相等，则有 ，或者②， 若去掉元素 ，将集合分成两个交集为空集的子集 ， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得 ，矛盾； 由①④或②③得 ，矛盾， 因此集合不是 “可分集合” ，该选项正确，符合题意． 故答案为：ABD． 9.规定：在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为[k]，即[k]={7n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，5，6，则下列结论正确的是(　　) A.2 026∈[3] B.-3∈[3] C.若整数a，b属于同一“家族”，则a-b∈[0] D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“家族” 答案　ACD 解析　对于A，因为2 026=289×7+3，所以2 026∈[3]，故A正确； 对于B，因为-3=7×(-1)+4，所以-3∈[4]，故B错误； 对于C，若整数a与b属于同一“家族”，设a，b∈[k]，k=0，1，2，3，4，5，6，则a=7n1+k(n1∈Z)，b=7n2+k(n2∈Z)，则a-b=7(n1-n2)∈[0](n1，n2∈Z)，故C正确； 对于D，若a-b∈[0]，设a-b=7n，n∈Z， 则a=7n+b，n∈Z，不妨令b=7m+k，m∈Z， k=0，1，2，3，4，5，6，则a=7m+7n+k=7(m+n)+k，m∈Z，n∈Z，m+n∈Z，所以整数a与b属于同一“家族”，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 10.设集合U={1，2，3}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将集合U的全部子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是　　　　　　. 答案　{1，3} 解析　集合U={1，2，3}，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列， 结果为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 所以将集合U的全部子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是{1，3}. 11.已知集合M={1，2，3，4，5}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0，设集合A的累积值为S. (1)若S=3，则这样的集合A共有　　　　个； (2)若S为偶数，则这样的集合A共有　　　　个. 答案　(1)2　(2)25 解析　(1)根据题意，M={1，2，3，4，5}，A⊆M，结合“累积值”规定可知， 当S=3时，集合A可以为{3}或{1，3}，共2个. (2)由题意知M={1，2，3，4，5}，A⊆M，则集合A共有25=32(个). 当S为奇数时，共有S=1，3，5，15四种情况， 当S=1时，A={1}； 当S=3时，A={3}或{1，3}； 当S=5时，A={5}或{1，5}； 当S=15时，A={3，5}或{1，3，5}， 故当S为偶数时，集合A共有32-7=25(个). 12. 12. （2026·湖北校级模拟）定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m - x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有_____ 个. 答案: 15 解析　①含有1个元素的“8和集合”：{4}； ②含有2个元素的“8和集合”：{1, 7}，{2, 6}，{3, 5}； ③含有3个元素的“8和集合”：{1, 4, 7}，{2, 4, 6}，{3, 4, 5}； ④含有4个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6}，{1, 7, 3, 5}，{2, 6, 3, 5}； ⑤含有5个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 4}，{1, 7, 3, 5, 4}，{2, 6, 3, 5, 4}； ⑥含有6个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5}； ⑦含有7个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5, 4}. 学科网（北京）股份有限公司 $