第二十六章 二次函数 单元卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学二次函数，覆盖定义、图像性质、平移、实际应用等核心知识点，通过基础巩固与综合探究结合的设计，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图像与系数关系、对称轴|结合图像辨析（如第2题），考查几何直观| |填空题|6/18|解析式确定、顶点坐标、新定义问题|通过表格数据（第11题）与实际场景（第15题），培养抽象能力| |解答题|8/72|实际应用（隧道、投掷、利润）、综合探究|以高速隧道（19题）、体育投掷（20题）为情境，体现模型意识与应用意识，梯度覆盖基础求解到动态探究|

第二十六章 二次函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 2、二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3、若抛物线的对称轴位于直线的左侧，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4、已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5、将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6、抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7、已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8、要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（   ） A．m B．2m C．m D．1m 9、在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10、如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、小赵在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：请根据表格中的信息，写出抛物线的解析式：__________． 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 12、若抛物线过原点, 则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为____________． 13、抛物线y=（x﹣1）2﹣1的顶点在直线y=kx﹣3上，则k=_____． 14、若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为_____. 15、如图所示，修建一个矩形羊舍，羊舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形羊舍的边为_____时，羊舍面积最大（为整数） 16、定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题6分，18-20，每题8分, 21-22，每题10分，23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标． 18、已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … … … … (1)求该函数的表达式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)当时，的取值范围为_______． 19、高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 20、 前掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，某男生站在O处将实心球从B处抛出，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．若这位男生出手高度为米，实心球在运动过程中最高离地面3米，此时球与该男生的水平距离为4米． （1）根据以上信息，求实心球的竖直高度y与水平距离x之间的函数关系式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 21、某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22、在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值的和． 23、如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点M是在x轴下方抛物线上的一动点，且点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N，求线段的长度L关于m的函数解析式及m的取值范围． 24、在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点A、，其坐标分别为和．当时，求的最小值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 2、二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 3、若抛物线的对称轴位于直线的左侧，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：∵对称轴x= 且a=-1 ∴x= 又∵抛物线的对称轴位于直线的左侧 ∴ ∴ 4、已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【详解】∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为，， 5、将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位， 得到的抛物线是， 6、抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项：直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项：直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项：直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 7、已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解： ∵图象与x轴有交点， ∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0 解得a≥-2； ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴实数a的取值范围是-2≤a≤3． 8、要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（   ） A．m B．2m C．m D．1m 【答案】A 【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入抛物线解析式得：， ∴， ∴， ∴当时，， 即：水管的长为m； 9、在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴，即， 又∵方程的根为， ∴， ∴函数， ∴该函数图象的顶点为， 如图，在对称轴直线右侧，y随x的增大而减小，在左侧，y随x的增大而增大， 当时，函数的最小值为，最大值为1， 当时，解得或4， ∴． 10、如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 抛物线对称轴为， ∴， 抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴， 所以①正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的两个根为2和， ∴， 整理，得， ∴， 所以②正确； 抛物线经过， ∴当时，， ∴， 所以③错误； ∵， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∵， ∴ 所以④正确； ∵对称轴为， ∴当时，有最大值，的最大值， ∴当时，， 整理，得， ∵，即， ∴， 即， 所以⑤正确． 其中说法正确的是①②④⑤． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、小赵在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格：请根据表格中的信息，写出抛物线的解析式：__________． 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 【答案】 【详解】把，，代入中得， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． 故答案为：． 12、若抛物线过原点, 则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为____________． 【答案】（4,0） 【详解】抛物线经过原点O(0，0)， ∵抛物线对称轴是x＝2， ∴该抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)． 故答案为(4，0)． 13、抛物线y=（x﹣1）2﹣1的顶点在直线y=kx﹣3上，则k=_____． 【答案】2 【详解】∵抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）， ∵顶点在直线y=kx﹣3上， ∴﹣1=k﹣3， ∴k=2． 故答案为2． 14、若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为_____. 【答案】， 【详解】解：二次函数的对称轴为直线 因此方程为 所以可得 故答案为，. 15、如图所示，修建一个矩形羊舍，羊舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形羊舍的边为_____时，羊舍面积最大（为整数） 【答案】9 【详解】解：设，羊舍的面积为，则， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当时，y有最大值， ∴当时，羊舍面积最大， 故答案为：9． 16、定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③． 【详解】解：当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确； 当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为， 当时，，函数图象过原点，故②正确； 函数 当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确； 当时，函数图像开口向下， 对称轴为： ∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故答案是：①②③． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题6分，18-20，每题8分, 21-22，每题10分，23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标为 【详解】（1）解：将代入中得， ，解得， ； （2）解：， ∴此抛物线的顶点坐标为． 18、已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … … … … (1)求该函数的表达式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)当时，的取值范围为_______． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将，代入得， 则该函数表达式为，即； （2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： （3）解：当和当的函数值相同， 对称轴为直线， 当时的函数值小于的函数值， 函数开口向上，在对称轴处有最小值， 结合函数图象可知，当时，， 故答案为：． 19、高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【详解】（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． ∴米，顶点P的纵坐标为6， ∴，， ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：根据题意，得点E与的距离为米， 当时， ， 解得，（舍去）， 故点E与隧道左壁之间的距离为米． 20、 前掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，某男生站在O处将实心球从B处抛出，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．若这位男生出手高度为米，实心球在运动过程中最高离地面3米，此时球与该男生的水平距离为4米． （1）根据以上信息，求实心球的竖直高度y与水平距离x之间的函数关系式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1）； （2）该男生在此项考试中能得满分． 【小问1详解】 解：依题意可知， 抛物线的顶点坐标为，， 即，， 代入解析式得：， 解得：， 则抛物线解析式为：； 【小问2详解】 令， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 答：该男生在此项考试中能得满分． 21、某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元； （3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220； （2）由题意可得， （-2x+220）（x-40）=2400， 解得，，， ∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元． 答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元． （3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得 w=（-2x+220）（x-40）=， 当时，w有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 22、在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值的和． 【答案】（1） （2）二次函数的最大值与最小值的和为19 【小问1详解】 解：由条件可得：，解得， 二次函数的解析式为， 对称轴为直线， ； 【小问2详解】 ， 点即为点， ，解得， ， 抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，y随着x的增大而增大， ， 当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， 二次函数的最大值为22，最小值为， ， 二次函数的最大值与最小值的和为19． 23、如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点M是在x轴下方抛物线上的一动点，且点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N，求线段的长度L关于m的函数解析式及m的取值范围． 【答案】（1） （2）， 小问1详解】 解：抛物线经过点，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 在中，令，得， 解得：，， 点是在轴下方抛物线上的一动点，且点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 轴， ，， ， ，其中． 24、在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点A、，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 【答案】（1）①见详解；②； （2） 当时，取最小值为； 当时，取最小值为0； 当时，取最小值为． 【小问1详解】 ①证明：当时，抛物线为， ∴顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则解得：，即该不等式组无解． ∴抛物线的顶点不在第三象限． ②解：∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴． ∴． ∵自然数， ∴． ∴抛物线为． 当时，，．则． 【小问2详解】 解：∵直线与抛物线有两个交点和， ∴．解得：． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵直线与该抛物线有交点， ∴，解得：， ∴抛物线为． ∴的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，，随的增大而减小， ∴当时，取最小值为． ②当，即时，，随的增大而减小， ，随的增大而增大， ∴当时，取最小值为0． ③当时，，随的增大而增大， ∴当时，取最小值为． 综上可知：当时，取最小值为； 当时，取最小值为0； 当时，取最小值为． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $