第二十七章 反比例函数单元卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学反比例函数单元复习卷，全面覆盖概念、图像、性质及应用，通过生活情境（如消毒含药量、注意力指标）和几何综合题，融合抽象能力与模型意识，适配单元知识巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例关系判断（1）、图像性质（5）、几何面积（4）|结合矩形、菱形等图形（6、14题），考查几何直观| |填空题|6/18|k值范围（11）、函数比较（12）、实际应用（13近视眼镜）|联系生活实际，体现应用意识| |解答题|8/72|解析式求解（17）、图像交点（19）、综合探究（24）|设计注意力指标（20）、杠杆原理（16）等情境，培养推理能力与创新意识|

第二十七章 反比例函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 2、下列函数：①；②；③；④．其中是反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、已知点、都在反比例函数 的图象上，则m的值为（     ） A． B．2 C． D．6 4、下列图形中阴影部分面积相等的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 5、对于反比例函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 6、如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 7、已知反比例函数，下列说法错误的是（ ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 8、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9、某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是　　 A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 10、反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积　　 A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．无法确定 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是 ． 12、若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 ． 13、验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 14、如图，菱形的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数的图像上，则反比例函数的表达式为______． 15、如图，A、分别是反比例函数图象上的两点，连接OA，，分别过点A、作轴的垂线，垂足分别为、，且交于点，若，则的值为__________． 16、公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：①F与的积为定值；②随的增大而减小；③当为时，抙动石头至少需要的力；④关于的函数图象位于第一、第三象限，上面四种说法正确的是______．（只填序号） 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题6分，18-20，每题8分, 21-22，每题10分， 23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知反比例函数． (1)当函数图象位于第一、三象限，求m的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 18、已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 19、如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； 20、心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数与时间（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 21、如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 22、如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）如图，在第二象限，当y1＞y2时，写出x的范围． 23、在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． （1）当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为________．（请直接写出结果） （2）如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 24、参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算对应的值． … 0 2 3 4 … … 0 4 3 2 … 描点：以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线与函数的图象相交于两点，的横坐标是，的纵坐标是，则__________． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【答案】B 【详解】A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意； B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意； C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意； D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意． 2、下列函数：①；②；③；④．其中是反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①；②；③；④． 其中是反比例函数的有①；②；④，共3个， 3、已知点、都在反比例函数 的图象上，则m的值为（     ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【详解】解：在反比例函数 的图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为：， 点在反比例函数 的图象上， ． 4、下列图形中阴影部分面积相等的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】D 【详解】解：甲：直线y=-x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2； 乙：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积； 丙：该抛物线与坐标轴交于：（-1，0），（1，0），（0，-1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1； 丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×2=1； 因此③④的面积相等， 5、对于反比例函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【详解】当时，， 反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ， 当时，； 当时，， 综上所述：y的取值范围是或， 6、如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 7、已知反比例函数，下列说法错误的是（ ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 8、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0， 则一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y＝的图象在二四象限， 9、某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是　　 A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 【答案】C 【详解】解：、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项正确，不符合题意； 、当x≤5时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，，故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项正确，不符合题意； 、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，或， 解得或24， 由于，选项错误，符合题意； 、当x≤5时，函数关系式为，时，， 当时，函数关系式为，时，，， 当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项正确，不符合题意； 10、反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积　　 A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由于点和点均在同一个反比例函数的图象上， ， 与的面积相等， 矩形的面积是、而、的面积为定值1，则四边形的面积， 四边形的面积不会发生变化， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， 解得． 故答案为：． 12、若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，． ∵， ∴． 故答案为：． 13、验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 14、如图，菱形的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数的图像上，则反比例函数的表达式为______． 【答案】 【详解】解：连接，交y轴于D， 四边形为菱形， ，且，， 菱形的面积为8， ， 轴， ， ， 反比例函数在第二象限， ， ． 故答案为：． 15、如图，A、分别是反比例函数图象上的两点，连接OA，，分别过点A、作轴的垂线，垂足分别为、，且交于点，若，则的值为__________． 【答案】 【详解】设，， ∵且轴， ∴， 设直线的解析式为：， 将点代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵点为直线与反比例函数的交点， 联立方程得：， 解得：（舍去），， ∴点B横坐标为， ∴点B纵坐标为， ∴，， ∴， 故答案为： 16、公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂：①F与的积为定值；②随的增大而减小；③当为时，抙动石头至少需要的力；④关于的函数图象位于第一、第三象限，上面四种说法正确的是______．（只填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：由题意知，，则，， ∴与的积为定值，①正确，故符合要求； ∵， ∴随的增大而减小，②正确，故符合要求； 当，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于的函数图象位于第一象限，④错误，不符合要求； 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题6分，18-20，每题8分, 21-22，每题10分， 23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知反比例函数． (1)当函数图象位于第一、三象限，求m的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 18、已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 19、 如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； 【答案】（1）， （2） 【小问1详解】 解：将点代入， ∴， ∴， 将代入， ∴， ∴， 将和代入， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴， 此时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∴； 20、心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数与时间（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【答案】（1）见详解（2）第35分钟时学生的注意力更集中（3）所以这样的课堂学习安排不合理． 【详解】解：（1）设，把，代入函数解析式解得： =3x+20( 0≤x<10), 由图象直接得到=50(10≤x<30) 设，把代入函数解析式解得(30 <x ≤45)； （2）把代入，得， 把代入，得， <， 所以第35分钟时学生的注意力更集中； （3）不合理．理由如下： 因为分钟，把代入， 解得， 所以这样的课堂学习安排不合理． 21、如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 22、如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）如图，在第二象限，当y1＞y2时，写出x的范围． 【答案】（1）一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2 （2） （3）﹣2＜x＜﹣1 【小问1详解】 解：把A（﹣2，1）代入y1=x+b得﹣2+b=1，解得b=3； 把A（﹣2，1）代入y2（k≠0，x＜0）得k=﹣2×1=﹣2， ∴一次函数的表达式是y1=x+3，反比例函数的表达式y2； 【小问2详解】 解：由，解得或， ∴B点坐标为（﹣1，2）， 设直线y=x+3与x轴的交点为C， 把y=0代入求得x=﹣3， ∴C（﹣3，0）， ∴CO=3， ∴△AOB的面积=△AOC的面积﹣△BOC的面积； 【小问3详解】 解：观察图象，在第二象限，当y1＞y2时，x范围为﹣2＜x＜﹣1． 23、在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中，． （1）当反比例函数的图象和矩形有交点时，的最大值为________．（请直接写出结果） （2）如图，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接． ①当时，求的面积； ②连接，判断与是否平行？并说明理由． 【答案】（1）12 （2）①；②，见解析 【小问1详解】 解：∵反比例函数， ∴， ∵反比例函数的图象和矩形有交点， ∴， ∴当时，k有最大值． 【小问2详解】 解：∵，且四边形为矩形， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象与分别交于点D，E， ∴，， ①如图：连接． ∵， ∴，， ∴，，． ∴ =． ②与相互平行，理由如下： 如图：连接． ∵， ∴设直线的表达式为． ∴，解得：． ∴直线AC的表达式为， ∵，， 设直线的表达式为， ∴，解得：． ∴直线的表达式为， ∵， ∴直线可以由直线经过平移得到． ∴． 24、参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算对应的值． … 0 2 3 4 … … 0 4 3 2 … 描点：以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线与函数的图象相交于两点，的横坐标是，的纵坐标是，则__________． 【答案】(1)图见详解，①减小；②；③向右、向上各平移1个单位； (2)； (3)． 【详解】（1）解：图象如下： 观察图象可得： ①当时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②函数的图象关于点中心对称； 故答案为：； ③列表如下： … 1 2 3 … … 1 … 画出的图象如图所示， 观察得出函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到； 故答案为：向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到； （2）， ∵均为整数， ∴， ∴ ∴， ∴横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标为． （3）由直线可知直线经过点， ∵直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n， ∴A、B关于点成中心对称，点A的纵坐标为， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $