第二十五章 一元二次方程 单元卷 2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 本单元卷全面覆盖一元二次方程的定义、解法、根的判别式及实际应用，题型结构合理，梯度分明，适合初中数学第二十五章单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的范围、配方法等|结合表格数据判断根的范围（题3），体现数据意识| |填空题|6/18|一般形式、根与系数关系等|植物分支问题（题15），渗透模型意识| |解答题|8/72|解方程、几何应用、经济问题等|动点几何综合题（题24），融合几何直观与运算能力；商场降价问题（题23），强化应用意识|

第二十五章 一元二次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． ∴是一元二次方程的有2个． 2、若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或 【答案】D 【详解】解：根据题意，关于的一元二次方程的常数项是， ∴， ∴， ∴， 3、观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， ∴一元二次方程的一个解x所在的范围是； 4、已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. -1 B. 5 C. 7 D. -3 【答案】C 【详解】∵m是方程的一个根 ∴， 5、用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 整理，得， 配方，得， 即． 6、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 7、若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【答案】D 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 8、组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应该邀请多少个球队参加比赛？（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：设有个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 解得或舍去 故应邀请个球队参加比赛， 9、某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 【答案】A 【详解】解：∵当输出的值为4时， ∴当时，，不符合题意； 当时，解得． ∴当输出的值为4时，则输入的x值是． 10、已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①正确； ②若方程两根为和2，则：，∴，②正确； ③若方程有两个不相等的实数根，则：， 当时，，满足题意， 但此时方程无实数解，故③错误； ④若，则， 即方程有两个不相等的实数根，④正确； 正确的为：①②④， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、方程，化成一般形式是 ． 【答案】 【详解】， 整理，得， 即． 故答案为： 12、已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】1 【详解】解：把代入一元二次方程中，得． 解得或． 当时，原方程的二次项系数，舍去． 故m的值是：． 故答案为：1． 13、一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14、已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】∵一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得， 故答案：． 15、某种植物的主干长出x根支干，每根支干又长出x根小分支，若主干、支干和小分支的总数共133根，依据题意列方程是 ． 【答案】 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支， 由题意可得， ， 故答案为：． 16、若等腰△ABC的一边长为6，另两边长恰好是关于x的一元二次方程的两个根，△ABC的周长是 ． 【答案】16或22 【详解】解：设等腰△ABC三边分别为，，； 若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根． ∴， 解得：，， 将代入得：， 解得： ， 此时能构成三角形，△ABC的周长为：， 当时，方程为， 解得： ，， 此时能构成三角形，△ABC的周长为：， 若为底，则，即方程有两个相等的实根． ∴， 解得： 将代入得： 解得：． ， ∵ ∴此时不能构成三角形，不能计算周长 综上可得：△ABC的周长为16或22． 故答案为：16或22 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解下列方程： (1)（用公式法）． (2)（用配方法）． 【答案】(1)，． (2)，． 【详解】（1） 解：这里, ＞0, ，． （2） 解： 或 解得：，． 18、已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见详解 (2)的值为1，方程的另一个根为 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得：， ∴， ∴该方程为， ∴， ∴， 19、一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，求通道宽． 【答案】通道的宽为1米 【详解】解：设通道的宽为米， 根据题意得：， 解得：（不合题意舍去）或， 通道的宽为1米， 20、对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小赵的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小赵的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【详解】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 21、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 【答案】(1)且； (2)的值为． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 即， 解得， ∴且； （2）解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ， ， ∴或， 解得（且，故舍去），， ∴的值为． 22、如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 【答案】(1)（米） (2)不能，理由见详解 【详解】（1）解：根据题意，，则（米）， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴，即（米）； （2）解：不能，理由如下， 根据题意，，整理得，， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 23、某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． (1)求空调的下降率； (2)若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售． 【答案】(1)空调的下降率为 (2)空调应按照元销售 【详解】 （1）解：空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元， ∴设降价率为， ∴，则， ∴， 解得，或， ∵是降价， ∴，即空调的下降率为． （2）解：设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴下降了个元，即下降了元，则（元）， ∴空调应按照元销售． 24、问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)或 (2)4秒或6秒 【详解】（1）解：如图1，过点P作于E， 则四边形均为矩形， ∴， 设x秒后，点P和点Q的距离是， ∵， ∴， 由题意得， ， ∴，， 由题意知点P的运动时间为，即，故和均符合题意. ∴经过或，P、Q两点之间的距离是. （2）解：由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为. 设经过后的面积为. ①当点P在线段上（如图1），即时， ，连接， ∴， 即， 解得； ②当点P在线段上（如图2），即时，连接， 则，， 则， 解得，（舍去） 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为. —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或 3、观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 4、已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. -1 B. 5 C. 7 D. -3 5、用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 6、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 7、若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 8、组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应该邀请多少个球队参加比赛？（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9、某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 10、已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、方程，化成一般形式是 ． 12、已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 13、一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 14、已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_________． 15、某种植物的主干长出x根支干，每根支干又长出x根小分支，若主干、支干和小分支的总数共133根，依据题意列方程是 ． 16、若等腰△ABC的一边长为6，另两边长恰好是关于x的一元二次方程的两个根，△ABC的周长是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解下列方程： (1)（用公式法）． (2)（用配方法）． 18、已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 19、一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，求通道宽． 20、对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小赵的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小赵的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 21、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 22、如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 23、某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． (1)求空调的下降率； (2)若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售． 24、问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $