第二十五章 一元二次方程 单元训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学第二十五章一元二次方程单元卷，全面覆盖一元二次方程的定义、解法、判别式、根与系数关系及实际应用，梯度合理，融合几何点阵规律探究与利润、工程等真实情境，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|定义、判别式、根与系数关系、几何点阵规律|第6题以三角点阵考求和公式，体现数学抽象；第9题通过错解情境考根与系数关系，培养推理意识| |填空题|5|配方法、无实根条件、等腰三角形与方程综合|第15题结合等腰三角形三边关系，考查分类讨论思维| |解答题|7|配方法/公式法解方程、利润/工程/增长率应用题、代数综合|19-22题以薯片销售、航天模型等真实情境构建方程模型，发展应用意识；21题结合增长率与根与系数关系，提升综合运算能力|

人教版九年级上册数学第二十五章一元二次方程单元训练 一、单选题 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 5．关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 6．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 7．方程的根是（     ） A． B． C． D． 8．在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 9．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 二、填空题 11．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 12．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 13．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 14．已知，则___________． 15．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 三、解答题 16．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 17．用配方法解方程： (1)． (2)． 18．解方程： (1)． (2)． 19．某社区超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低2元，每天销量会增加8袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现300元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 20．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 21．全国家电“以旧换新”政策自实施以来，某市9月已投入约800万元用于首批家电以旧换新补贴，考虑年底换家电的数量可能会持续增长，现计划投入资金逐月增加，到11月底，将计划累计投入约3200万用于家电以旧换新补贴． (1)设两月中投入资金的平均月增长率为，求到11月底，这两月中投入资金的平均月增长率（只需列出方程）； (2)设（1）中方程的两根分别为，且，求的值． 22．年，中国载人航天的征程令人期待．神舟二十号、神舟二十一号、天舟九号蓄势待发，昊龙货运航天飞机、轻舟货运飞船也将携手朱雀三号、力箭二号闪亮登场．这些新成员的加入，让中国空间站——天宫的发展充满无限的遐想．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．求每个“天宫”模型的进价是多少元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《人教版九年级上册数学第二十五章一元二次方程单元训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C D C A B C 1．D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 3．A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 4．C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 5．C 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式计算即可得出结果． 【详解】解：在方程中，，，， 故． 6．D 【分析】根据题意得出前行的点数和公式，进而列一元二次方程求解即可． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和为． A、若和为100，则，即，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． 7．C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二元一次方程的解，解分式方程，分母有理化． 通过计算每个方程的实数解情况，选项A的一元二次方程判别式为负，无实数解；选项B有无数实数解；选项C经求解和检验有实数解；选项D有实数解． 【详解】解：选项A：，判别式，无实数解； 选项B：是二元一次方程，有无数组实数解，有实数解； 选项C：，去分母得，解得或，但使分母为零为增根，为实数解，即有实数解； 选项D：，解得为实数，有实数解； 故选：A． 9．B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 10．C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 11． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 12．3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 13． 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 14．或 【分析】将两个已知等式作差分解因式，分和两种情况计算的值． 【详解】解：已知，，将两式作差得， 分解因式，整理得：， 移项、提取公因式得：， 分两种情况讨论： 情况1：当，即时，把代入得：， 解得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入得：； 情况2：当，即时，将两个原等式相加得：， 即， ∵， ∴把代入得：， 整理得，解得， ∴， 综上，的值为或． 15． 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 16． 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 17．(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 18．(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ，即， ． ，． （2）解：原方程可化为， ，，． 方程有两个不相等的实数根， ． ，． 19．(1)每袋薯片降价5元 (2)不能实现300元的利润． 设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现300元的利润． 【分析】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片降价5元； （2）略 20．(1) 甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品 (2) 至少需要18天 【分析】（1）以两厂单独加工的时间差为等量关系列分式方程求解； （2）先计算合作工作效率，再结合总工作量求工作时间，按要求取整． 【详解】（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品 由题意得： 两边同乘，得 化简得 整理得 解得， ∵每天加工数量为正数 ∴不符合题意，舍去 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品． （2）解：甲乙合作每天加工数量为（件） 所需时间为（天） ∵不满1天按1天计算， ∴ 至少需要18天 答：至少需要18天． 21．(1) (2)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设两月中投入资金的平均月增长率为，根据题意列出一元二次方程即可； （2）将（1）中的方程整理可得：，由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入可得，求解即可． 【详解】（1）解：设两月中投入资金的平均月增长率为， 由题意可得：； （2）解：将（1）中的方程整理可得：， ∵（1）中方程的两根分别为， ∴，， ∴， 即， 解得：或． 22．元 【分析】设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元，由题意可得， ，解方程即可． 【详解】解：设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元， 由题意可得， ， 整理，得， 解得， 而价格不能为负数， 故舍去， 故， 经检验，是原方程的根， 答：每个“天宫”模型的进价是20元． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $