27.3 第2课时 实际问题中的反比例函数(2) 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数在物理、经济、几何等实际场景的综合应用，通过回顾基础反比例函数，结合“气球气压与体积关系”等问题导入，引导学生从公式推导函数模型，构建从简单到复杂的学习支架。 其亮点在于以模型意识和数据意识为核心，通过图表分析（如力与位移关系）、实际数据应用（如贺卡销售、砗磲生长模型），培养学生抽象能力与推理能力。采用“例题解析-练一练-综合实践”模式，总结建模步骤，助力学生提升解决实际问题能力，也为教师提供系统教学资源。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月2日 27.3 第2课时 实际问题中的反比例函数(2) 第27章 反比例函数 27.3 第2课时 实际问题中的反比例函数(2) 练习题（含解析） 本次练习题适配人教版九年级上册27.3第2课时教学内容，在上一课时基础上提升难度，聚焦反比例函数在物理、经济、几何综合等复杂实际场景中的应用，重点考查函数建模、取值范围精准判定、利用函数增减性解决最值与方案问题、结合图象分析实际问题等重难点，题型经典贴合课本，适配课后巩固与能力提升，帮助熟练掌握反比例函数的综合实际应用。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 当压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，公式为$$P=\frac{F}{S}(F>0)$$，下列说法正确的是（） A. S越大，P越大 B. S越大，P越小 C. P、S可为任意实数 D. 图象分布在二、四象限 2. 某商店购进一批商品，总进价固定，商品单价$$x$$与购进数量$$y$$成反比例，若单价上调，则购进数量会（） A. 增加 B. 减少 C. 不变 D. 无法确定 3. 已知密闭容器内气体质量一定，气体密度$$\rho$$与体积$$V$$满足$$\rho=\frac{k}{V}(k>0)$$，当体积$$V$$增大时，密度$$\rho$$将（） A. 增大 B. 减小 C. 先增后减 D. 先减后增 4. 等腰三角形的面积为18定值，底边长为$$x$$，底边上的高为$$y$$，则$$y$$与$$x$$的函数图象为（） A. 第一象限双曲线 B. 第三象限双曲线 C. 一、三象限双曲线 D. 线段 5. 下列关于实际问题中反比例函数的说法，错误的是（） A. 自变量取值一般为正数 B. 函数图象仅保留第一象限部分 C. 定值k越大，函数变化幅度越小 D. 可利用增减性求解实际最值 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 一定质量的氧气，体积$$V(\mathrm{m^3})$$与密度$$\rho(\mathrm{kg/m^3})$$成反比例，若$$V=2\mathrm{m^3}$$时，$$\rho=1.5\mathrm{kg/m^3}$$，则函数解析式为________。 7. 总资金固定为600元，购买文具的单价为$$x$$元，购买数量为$$y$$件，则$$y$$关于$$x$$的函数解析式为________。 8. 三角形面积为定值24，底边长$$x\geq3$$，则底边上的高$$y$$的取值范围是________。 9. 已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$描述实际工程问题，当工作效率$$x=5$$时，工作时间$$y=8$$，则工程总量$$k=$$________。 10. 若实际反比例函数$$y=\frac{48}{x}$$，当$$4\leq x\leq8$$时，$$y$$的最大值为________。 三、解答题（共60分） 11.（20分）一定质量的气体，温度不变时，气压$$p$$（kPa）与气体体积$$V$$（$$\mathrm{m^3}$$）成反比例函数关系。当$$V=0.8\mathrm{m^3}$$时，$$p=120\mathrm{kPa}$$。（1）求$$p$$与$$V$$的函数解析式；（2）当气体体积为$$1.2\mathrm{m^3}$$时，求气压大小；（3）若气压不超过160kPa，求气体体积的最小值。 12.（20分）某工厂承接一批零件加工订单，零件总数固定。若每天加工$$x$$个零件，需要$$y$$天完成。已知每天加工40个时，30天可以完成。（1）求$$y$$与$$x$$的反比例函数解析式；（2）若厂家要求20天内完成订单，每天至少加工多少个零件？（3）若每天最多加工60个零件，完成订单至少需要多少天？ 13.（20分）已知梯形的面积为定值40，梯形的上底固定为4，下底为$$x(x>4)$$，高为$$y$$。（1）求$$y$$关于$$x$$的函数解析式；（2）当下底$$x=6$$时，求梯形的高；（3）若高$$y\geq4$$，求下底$$x$$的取值范围。 四、参考答案与详细解析 选择题 1. B 解析：$$F>0$$，反比例函数在第一象限单调递减，受力面积S越大，压强P越小。 2. B 解析：总进价固定，k值为正，单价x增大，对应购买数量y减小。 3. B 解析：$$k>0$$，第一象限内反比例函数单调递减，体积增大，密度减小。 4. A 解析：由三角形面积公式得$$xy=36$$，x、y为边长均为正数，图象为第一象限双曲线分支。 5. C 解析：k值大小与函数变化幅度无必然关联，其余选项均为实际反比例函数的正确特征。 填空题 6. $$\rho=\frac{3}{V}(V>0)$$ 7. $$y=\frac{600}{x}(x>0)$$ 8.$$0<y\leq16$$ 9. 40 10. 12 解答题 11. （1）设$$p=\frac{k}{V}$$，代入数据得$$k=96$$，解析式为$$p=\frac{96}{V}(V>0)$$；（2）将$$V=1.2$$代入，得$$p=80\mathrm{kPa}$$；（3）$$p\leq160$$，解得$$V\geq0.6$$，气体体积最小值为$$0.6\mathrm{m^3}$$。 12. （1）代入$$x=40，y=30$$得$$k=1200$$，解析式为$$y=\frac{1200}{x}(x>0)$$；（2）$$y\leq20$$，解得$$x\geq60$$，每天至少加工60个；（3）$$x\leq60$$，解得$$y\geq20$$，至少需要20天。 13. （1）由梯形面积公式$$S=\frac{(上底+下底)\times高}{2}$$，代入得$$40=\frac{(4+x)y}{2}$$，整理得$$y=\frac{80}{x+4}(x>4)$$；（2）$$x=6$$时，$$y=8$$；（3）$$y\geq4$$，解得$$x\leq16$$，结合题意得$$4<x\leq16$$。 核心知识点总结：1. 复杂实际场景需结合对应公式（面积、压强、物理密度等）推导反比例关系，精准确定定值；2. 实际问题中自变量、函数值均为正数，需结合题意细化取值范围；3. 利用第一象限反比例函数递减特性，可高效求解实际问题中的最大值、最小值与参数范围；4. 几何、物理综合场景中，需先梳理变量关系，再建立函数模型求解。 1.结合图示理解反比例函数的实际意义，能根据实际情境建立反比例函数模型并求解. (重点) 2.通过分析实际问题中的数量关系，经历“抽象函数模型→求解→应用”的过程，提升建模能力. (难点) 3.感受数学与生活的联系，体会反比例函数在解决实际问题中的价值. 学习目标 反比例函数的实际应用一般步骤： (1) 确定函数关系，设出 ； (2) 根据题目中的已知条件列出方程，求出 ； (3) 写出函数解析式，并注意自变量的 ； (4) 利用反比例函数的图象和性质解决实际问题. 函数解析式 k 值　 取值范围 我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体. 如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压 p（kPa）与气体体积 V（m3）之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？ 例1 在力 F (单位：N) 的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移 s (单位：m)，则力 F 所做的功 W(单位：J) 满足 W = Fs. 当 W 为定值时，s 与 F 之间的函数关系如图所示. (1) 当力 F 为 10 N 时，求 F 所做的功 W； 解：(1) 由图可知，当力 F 为 10 N 时，物体在力 F 的方向上发生的位移 s 为 50 m，此时 F 所做的功 W= Fs = 10×50 = 500 ( J ). 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 (2) 写出 s 关于 F 的函数解析式； (3) 在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于 100 m，求力的范围. (2) 当 W 为定值时，可以用反比例函数描述 s 与 F 之间的关系，由 (1) 可知其解析式为 (3) 将 s = 100 代入 ，可得 F = 5 (N). 因为 s 随着 F 的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于 100 m，力 F 要大于 5 N. 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 1. 某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过 300 N/m2，那么此人应站立在面积为多少的木板上才不会下陷 (木板重量忽略不计) ( ) A. 至少 2 m2 B. 至多 2 m2 C. 大于 2 m2 D. 小于 2 m2 20 40 60 O 60 20 40 S/m2 p/(N/m2) A 【练一练】 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 2. 某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数，其图象如图所示． (1) 求出这个函数的关系式； 解：(1)设这个函数的表达式为 p＝. 根据图象可知其经过点 (2，60)， 得 60＝，解得 k＝120. 则 p＝. 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 (2) 当容器内的气体体积是 0.6 m3 时，此时容器内的气压是多少千帕？ (3) 当容器内的气压大于 240 kPa 时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少 m3 ？ (2)当 V＝0.6 m3 时，p＝＝200 (kPa)； (3)当 p≤240 kPa 时，得 ≤240， 解得V≥. 所以为了安全起见，容器的体积应不小于 m3. 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 方法总结： 根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值或知道函数值的范围求自变量的范围是解决问题的关键． 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 例2 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h） 的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120. (1) 写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围； 解：(1) 甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述 v 与 t 之间的关系，由图可知，当 t = 2 时，v = 120，于是有 ① 当 v = 60 时，由①得 t = 4. 因为 60≤v≤120，并且平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小，所以 2≤t≤4. 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 (2) 若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围. (2) 客车上午 8 时从甲地出发，若当天 10 时 40 分到达乙地，则行驶全程所用时间 ，代入①，可得 v = 90 (km/h)； 若当天 11 时到达乙地，则行驶全程所用时间 t = 3 h，代入①，可得 v = 80 (km/h). 因为平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小，所以客车平均速 度 v 的范围是 80≤v≤90. 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 90 80 1. 某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价 x (元)与销售量 y (张)之间有如下关系： x (元) 3 4 5 6 y (张) 20 15 12 10 (1) 猜测并确定 y 与 x 的函数关系式； 【练一练】 解：(1) 从表中数据可知 y 与 x 成反比例函数关系，设 y＝ ( k 为常数，k≠0)， 把点 (3，20) 代入得 k＝60，∴y＝； 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 (2) 当日销售单价为 10 元时，贺卡的日销售量是多少张？ (2) 当 x＝10 时，y＝＝6， ∴日销售单价为 10 元时，贺卡的日销售量是 6 张. (3)∵W＝(x－2)y＝60－，又∵x≤10， ∴当 x＝10 时，W 取最大值，W最大＝60－＝48(元). (3) 设此卡的利润为 W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过 10 元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润． 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 设 10 分钟后 y = ，将 x = 10，y = 80 代入得，= 800， 2. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示.某班学生在一节数学课中的注意力指数 y 与上课时间 x (min) 的变化如图所示．上课开始时注意力指数为 30，前 10 min 内注意力指数 y 与上课时间 x 之间的关系式为 y = 5x + 30 (0≤x≤10)，10 min 以后注意力指数 y 是上课时间 x (10＜x≤45)的反比例函数． (1)求 10 min 以后 y 与 x 之间的函数关系； 解：(1) 将x=10代入y=5x + 30，得y = 80； 因此 y = (10＜x≤45). 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 (2) 若数学老师打算讲解一道较难的数学题，需要学生的注意力指数不低于 50，为了保证教学效果，应该在哪个时间段讲解这道题？ 为了保证教学效果，应该在4≤x≤16 时间段讲解这道题. 解：(2)∵y=5x + 30(0≤x≤10)； y = (10＜x≤45)， ∴当 y = 50 时，5x + 30 = 50，解得 x = 4， 当 y = 50 时， = 50，解得 x = 16， 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 综合与实践：生物生长规律的模型研究. 如图①，砗磲 是地球上最大的双壳类动物，某海洋 研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄 （单位：岁）与平均日生长速率（单位： /天）的数据如 下表：#1.1 中考考法 17 0 5 10 15 20 25 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 中考考法 18 【模型构建1】如图②，数学小组 在直角坐标系中描出以表 中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是 过的抛物线，设解析式为 . 中考考法 19 （1）选取两个点， ，求抛物线对应的函数解 析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄. 中考考法 20 【解】将，分别代入 ， 得 解得 抛物线对应的函数解析式为 . 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁. 中考考法 21 【模型构建2】数学小组 观察表格中数据，发现后四组数据 中与的乘积分别为，， ， ，猜想当时与 符合反比例关系，设解析 式为 . （2）为减少偏差，取 ，求反比例函数的解析式. 当时， ， 反比例函数的解析式为 . 中考考法 22 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率 总体随年龄增长持续降低. （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述 模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算. 中考考法 23 由模型1可知，当时，随 的增大而增大，不符合砗 磲的生长规律；又由模型2可知，当时，随 的增大 而减小，符合砗磲的生长规律， 选择模型2.当时， . 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为 /天. 中考考法 24 实际问题中的反比例函数 一般过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意点： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同 课堂小结 $