26.2.1 二次函数y=ax的图象和性质课件2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过回顾二次函数概念及一次函数“列表、描点、连线”的研究方法，引导学生从画y=x²图象入手，观察抛物线特征，再扩展到a>0和a<0的情况，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察抛物线形状与对称，通过对比y=x²、y=1/2x²等图象培养几何直观，用数学思维归纳a对开口方向和大小的影响发展推理意识，以数学语言（表格、符号）描述性质强化模型意识。分层练习助力学生理解，教师可高效实施探究式教学。

1. 会用描点法画y=ax²(a≠0) 的函数图象，认识 抛物线. 2. 通过观察图象，掌握y=ax² 的开口方向、对称轴、 顶点等图象特征 . 3. 理解参数a对抛物线开口方向、开口大小的影响. 1.说一说二次函数的概念? 一般地，形如y=ax²+bx+c(a ,b, c是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数. 2.研究一次函数我们采用什么样的过程? 列表、描点、连线 二次函数也是函数，我们沿用这套方法，先来研究最 简单的二次函数y=x², 猜一猜它的图象会是什么样子? 根据表中x,y 的值在平面直角坐 标系中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y=x² 的图象. 问题：仿照一次函数图象的画法，画出二次函数y=x² 的图象. 解：列表 X … -3 -2 -1 0 工 2 3 … y=x² … 9 4 工 0 1 4 9 … 观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗? 实际上，二次函数的图象都是类似 的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数y=ax²+bx+c 的图 象叫作抛物线y=ax ²+bx+c. 可以看出，二次函数y=x² 的图象是 一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时 球在空中经过的路线，只是这条曲线开口 向上. 想一想：所画出的抛物线y=x² 上分别取点(2,4),(3, 9), 并找到它们关于y轴的对称点，你发现了什么? y轴是抛物线y=x² 的对称轴 在抛物线y=x ²上任取一点(m, 实际上，每条抛物线都有对 称轴，抛物线与对称轴的交点叫 作抛物线的顶点.顶点是抛物线 的最低点或最高点. 抛物线与其对称轴的交点(0,0)叫作抛物线y=x² 的顶点， 它是抛物线的最低点. 从二次函数y=x² 的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物 线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 例：在同一平面直角坐标系中，画出函数 ,y=2x ²的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象. X … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … X … · -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x² … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 相同点： 1.抛物线的开口向上； 2.对称轴是y轴 ； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最低点； 4.当x>0 时 ，y随x的增大而增大；当x<0 时 ，y随x的增大而减小. 思考：(1)函数 ,y =2 x²的图象与函数y=x² 的图象 (图中的虚线图形)相比，有什么相同点和不同点? 不同点：开口大小不同， -4 -2 0 y=x² y=2x² 2 8 6 4 2- 思考：(2)利用信息技术工具画二次函数y=ax²(a>0) 的 图象，改变a的值，函数y=ax² 的图象也发生了改变.随着a的变 化，二次函数y=ax ²的图象有什么变化? y↑ y=³x2 y=15x² y=ax2 6- a=0.4 a越大，抛物线的开口越小. 二次函数y=ax2的图像与性质探究-初中数学A赋能教学素材( html交互动画).html 一般地，当a>0 时，抛物线y=ax ²的 开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶 点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开 口越小. 进一步，从二次函数y=ax²(a> 0)的 图象可以看出：当x<0 时 ，y随x的增大而 减小；当x>0 时 ，y 随x的增大而增大. 探究：回顾上面研究二次函数y=ax²(a>0 )的图象和性 质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax²(a<0) 的图 象和性质吗? 类似于对函数y =ax²(a>0 )的 研究，可以在同一平面直角坐标系中 画出函数y = - x², ,y = -2x² 的图象 观察这些抛物线有什么共同点和不同点.也可以利用信息技 术工具画二次函数y=ax²(a< 0)的图象，改变a的值，观察随 着a的变化，二次函数y=ax² 的图象的变化. 相同点： 1.抛物线的开口向下； 2.对称轴是y轴 ； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最高点； 4.当x>0 时 ，y随x的增大而减小；当x<0 时 ，y随x的增大而增大. 不同点：开口大小不同. a越小，抛物线的开口越小.二次函数y=ax2的图像与性质探究-初中数学A武能教学素材( html 交互动画).html 一般地，当a<0 时，抛物线y=ax² 的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点 顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线 的开口越小.当x<0 时 ，y 随x的增大而增 大；当x>0 时 ，y 随x的增大而减小. 一般地，抛物线y=ax² 的对称轴是y轴，顶点是原点. 当 a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当??<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高 点. |a|越大，抛物线的开口越小. 从二次函数y =ax²的图象可以看出：如果a>0, 那 么当x<0 时 ，y 随x的增大而减小，当x>0 时 ，y 随x的增 大而增大；如果a<0, 那么当x<0 时 ，y 随x的增大而增 大，当x>0 时 ，y 随x的增大而减小. 【知识技能类练习】必做题： 1. 下列各点在函 的图象上的是( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,2) D.(4,4) 【知识技能类练习】必做题： 2. 如图，①②分别对应y=ax² 与y=bx² 的函数图象，则a,b 的大小关系 a>b . ( 1 ) 当x取何值时，y有最小值?最小值是多少? ( 2 ) 当x>0 时 ，y随x的增大怎样变化?当x<0 时呢? 解：作函数 的图象如图所示. (1)根据图象可知，当x=0 时 ，y 有最 小值，最小值是0. (2)根据图象可判断，当x>0 时 ，y 随x 的增大而增大；当x<0 时 ，y 随x的增大 而减小. 【知识技能类练习】必做题： 3. 在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数 的 图象，并回答下列问题： 【知识技能类练习】选做题： 4. 在平面直角坐标系x0y中，点A(-2,3),B(3,4), y=ax² 的图象 如下图所示，则a的值可以为( D) A.3 B.2 C.1.7 D.0.5 【综合拓展类练习】 5. 根据条件，求下列各题中m的取值或取值范围. (1)函数y=(2m-1)x² 有最小值； (2)函数y=(m-2)x², 当x<0 时 ，y 随着x的增大而增大； (3)y=(m+1)x² 与y=2x² 的函数图象形状相同； (4)函数y=mxm²+m 的图象是开口向下的抛物线. 解：(1) ∵函数y=(2m-1)x² 有最小值， ∴2m-1>0, 【综合拓展类练习】 (2)∵ 当x<0 时，函数y=(m-2)x ²的函数值y随着x的增大而增大， ∴m-2<0,∴m<2; (3)∵ y=(m+1)x² 与y=2x² 的函数图象形状相同， ∴|m+1|=|2|, ∴ m = 1或 -3; (4)∵函数y=mxm²+m 的图象是开口向下的抛物线， ∴m²+ m =2 且m<0, ∴m =- 2或m=1, ∵m<0, ∴m=-2. 开口方向 a>0 二次函数y=ax²(a≠ O)的 图象和性质 a<0 最值 顶点坐标 对称轴 增减性 【知识技能类作业】必做题： 1. 抛物线y=x² 的顶点坐标是( C) A.(1,0) B.(0,1) C.(0,0) D.(1,1) 【知识技能类作业】必做题： 2. 已知抛物线y=ax² 经过第二象限，那么这条抛物线的开口方 向是 向 上 【知识技能类作业】必做题： 3. 已知函数y =(m+2)xm²+m-4 是y关于x的二次函数. (1)求满足条件m 的 值 ； (2)当m 为何值时，此抛物线有最低点?这时，当x 取何值时， y 随x的 增大而减小； (3)当 m 为何值时，此抛物线有最高点?最高点的坐标是多少?这时， 当x 取何值时，y 随x 的增大而增大. 解：(1)∵函数y=(m+2)xm²+m- 4是y关于x的二次函数， ,解得：m=2 或m=-3, ∴ 满足条件m的值为2,-3. ( 2 ) 当m=2 时，函数为y=4x², 开口向上，此时抛物线有最低点，当 x<0 时 ，y 随x的增大而减小. ( 3 ) 当m=-3 时，函数为y=-x², 开口向下，此时抛物线有最高点， 最高点坐标为(0,0),当x<0 时，??随x的增大而增大. 4. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么a₁,a₂,a₃ 的大小关 系是( D ) A.a₁<a₂<a₃ B.a₃<a₁<a₂ C.a₁<a₃<a₂ D.a₃<a₂<a₁ 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 5. 如图，已知点A(-2,4) 在抛物线y=ax²(a≠0) 上，过点A且 平行于x轴的直线交抛物线于点B. (1)求a的值； (2若点P是抛物线上一点，且P的横坐标为1,求△ ABP的面积. 解：(1)把A(-2,4) 代入抛物线y =ax²(a≠0)得： a·(-2)²=4, 解得：a=1; ( 2 ) 由 ( 1 )可知抛物线的解析式为y=x², ∵ 当y=4 时 ，则有x²=4, 解得：x=±2, 当x=1 时，则有y=1, ∴B(2,4),P(1,1), $