26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过复习一次函数图象画法及性质，搭建学习支架，引导学生从已学知识自然过渡到二次函数图象的探究，系统掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点及增减性等核心内容。 其亮点在于采用“列表—描点—观察—归纳”的探究式教学，结合几何直观对比不同a值下的图象特征，通过表格归纳性质培养模型意识与推理能力。例如活动中对比y=1/2x²与y=2x²的开口宽窄，例题解析强化知识应用，既帮助学生深化数形结合思想，又为教师提供清晰的教学路径，提升课堂效率。

输入文本 输入文本 输入文本 输入文本 第二十六章 二次函数 人教版九年级数学上册 掌握y=ax2形式函数的开口方向、对称轴、顶点；理解|a|决定开口宽窄，熟记增减变化规律. 辨析a>0、a<0时函数的增减性；能够结合图象解释参数a对图象带来的改变. 经历列表--描点--观察--归纳的全过程，学会类比研究函数，深化数形结合的思想方法. 体会从特殊到一般的探究思路，养成严谨思考的习惯，感受数学规律简洁之美. 如何画一个函数图象呢？ 二次函数的图象会是什么样的图形呢？ 这节课我们来学习最简单的二次函数 y=ax² 的图象. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 .特别地，正比例函数y=kx(k≠0)的图象是 . 一条经过(0，b)的直线 过原点的直线 列表 描点 连线 1 用描点法画出二次函数 y=x² 的图象. 活动一：探究二次函数y=ax² 的图象 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y = x2 ... ... 9 4 1 0 1 4 9 解析式 y = x2 中的自变量x可以是任何数，取点时一般以0为中心取几组对称点，便于计算. 1.列表 1 用描点法画出二次函数 y=x² 的图象. 根据表中x， y 的数值在坐标平面中描出点(x，y)； 2.描点 用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y=x² 的图象. 3.连线 -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 活动一：探究二次函数y=ax² 的图象 -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 活动一：探究二次函数y=ax² 的图象 观察y=x2的图象，它的形状像什么？ 二次函数 y=x² 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上. 类似 -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 活动一：探究二次函数y=ax² 的图象 观察y=x2的图象，它的形状像什么？ 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数y=ax²+bx+c的图象叫作抛物线 y=ax²+bx+c. 这条曲线叫做抛物线 y=x² . y＝x2 -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 活动一：探究二次函数y=ax² 的图象 y=x2的图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 图象是轴对称图形. 在抛物线 y=x2 上任取一点(m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点(-m，m2)也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴(直线x=0)对称． 对称轴 y＝x2 -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 活动一：探究二次函数y=ax² 的图象 抛物线y=x2和它的对称轴交于哪一点？这个点在整个抛物线上有什么特殊的位置？ 抛物线y=x2与其对称轴交点是(0，0)，叫作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点，所有点的y值都比0大. 抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或者最高点. 最低点 顶点 y＝x2 -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 活动一：探究二次函数y=ax² 的图象 观察二次函数 y=x² 的图象，y 随 x 如何变化？ 从二次函数y=x²的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降； 在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. y＝x2 也就是说， 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 2 x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ... 分别列表，再画出它们的图象 -4 -2 2 4 8 6 4 2 y=2x2 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 -4 -2 2 4 8 6 4 2 y=2x2 y=x2 共同点：开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点. 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小． 不同点：开口大小不同， x2的系数越大，抛物线的开口越小. 可以发现： 当a>0时，a越大，抛物线y=ax2开口越窄；a越小，抛物线开口越宽； 抛物线开口向上，顶点为原点，对称轴是y轴(直线x=0). 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 利用信息技术工具画二次函数y=ax2(a>0)的图象，改变a的值，函数y=ax2的图象也发生了改变.随着a的变化，二次函数y=ax2的图象有什么变化？ 3 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 二次函数 y＝ax2(a>0) 的图象与性质： 一般地，当a>0时，抛物线y＝ax2开口向上，对称轴是y轴(直线x=0)，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 4 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y＝-x2 ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ... -4 -6 -2 -8 x O 2 4 -2 -4 y y=-x2 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 -4 -6 -2 -8 x y O 2 4 -2 -4 y=-x2 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 -4 -6 -2 -8 x y O 2 4 -2 -4 y=-x2 x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y＝-2x2 ... -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ... y=-2x2 相同点：抛物线的开口向下，对称轴是 y 轴(直线x=0)，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点. 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大． 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 -4 -6 -2 -8 x y O 2 4 -2 -4 y=-x2 x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y＝-2x2 ... -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ... y=-2x2 不同点：开口大小不同，x2的系数越小，抛物线的开口越小． 抛物线的开口最大 抛物线的开口最小 可以发现： 当a<0时， a越小，抛物线y=ax2的开口越窄；a越大，抛物线开口越宽. 顶点都是原点，对称轴都是y轴(直线x=0). 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 利用信息技术工具画二次函数y=ax2(a<0)的图象，改变a的值，函数y=ax2的图象也发生了改变.随着a的变化，二次函数y=ax2的图象有什么变化？ 5 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 二次函数 y＝ax2(a＜0) 的图象与性质： 一般地，当a＜0时，抛物线y＝ax2开口向下，对称轴是y轴(直线x=0)，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 活动二：探究二次函数y=ax² 图象的性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 (0，0) y轴(直线x=0) x=0时，y最小=0 开口向下 (0，0) y轴(直线x=0) x=0时，y最大=0 对于抛物线y=ax²(a≠0)，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大. 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 若(x1，y2)，(x2，y2)是抛物线y＝ax2(a>0) 图象上两个不同的点，则(|x1|-|x2|)(y1-y2) 为( )   A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 由题意得，抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当|x1|≥|x2|时，y1≥y2，当|x1|<|x2|时 ，y1<y2， ∴|x1|-|x2|与y1-y2正负性一致或同时为0， ∴(|x1|-|x2|)(y1-y2)≥0 . 故选：D． D (2)∵抛物线有最高点， ∴图象开口向下，即k-2<0，∴k<2. 结合(1)所得，∴k=1. ∴最高点为(0，0)，当x<0时，y随x的增大而增大. (3)∵函数有最小值， ∴图象开口向上，即k-2>0，∴k>2 结合(1)所得，∴k=3. ∴最小值为0，当x<0时，y随x的增大而减小. 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：(1) y=3x2； (2) y=-3x2. -3 -2 -1 y 12 9 6 3 -3 -6 -9 -12 O 1 2 3 x 解：分别列表，再画出它们的图象. x ... -2 -1 0 1 2 ... y=3x2 ... 12 3 0 3 12 ... y=-3x2 ... -12 -3 0 -3 -12 ... 解：(1)抛物线y=4x2的开口向上、对称轴是y轴、顶点是原点(0，0).当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. (2)抛物线y=-4x2的开口向下、对称轴是y轴、顶点是原点(0，0). 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 探究a的取值对抛物线y=ax2的影响 作图规范，书写思考过程. 结合生活实例说一说抛物线的实际应用，语言简洁通顺. 任务 要求 1 2 1 2 3 $