29.3 弧长和扇形面积（第1课时弧长和扇形面积）（课件）2026--2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦弧长和扇形面积公式，通过400米比赛起跑线问题导入，联系圆周长公式引出弧长概念，推导时类比圆周长与面积，从360°圆心角过渡到n°，构建从实际到数学的学习支架。 其亮点是经历“猜想—推导—应用”过程，以类比和转化思想培养抽象能力与推理意识，如将扇形面积类比“曲边三角形”。实例丰富，如管道展直长度计算，小结系统，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

第二十九章 圆 人教版 ( 新教材) · 九年级上册 29.3弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 学 习 目 标 理解并掌握弧长公式：能通过类比圆周长公式推导出弧长公式，理 解公式中各字母的含义，并能正确运用公式计算弧长. 理解并掌握扇形面积公式：能类比圆面积公式推导出扇形面积公式， 理解扇形面积与弧长之间的内在联系，掌握。 这一简化形式. 灵活运用公式：能综合运用弧长和扇形面积公式解决简单的实际问题. 发展核心素养：经历公式的“猜想—推导—应用”过程，体会类比思 想、转化思想和从特殊到一般的数学思想，发展抽象能力和运算能力. 2 3 400米赛跑的起点 *直道长度相同，但弯道半径随道次外移而增大；根据圆周长公式 C=2πR, 外圈跑道的弯道部分比内圈长；所以外道起跑线需向前错位，以补偿多出的 距离。 ▶为了确定每条跑道的起跑位置，需要知道什么? ▶在400米比赛中，不同跑道的运动员起跑线为什么不在同一处? *弯道的“展直长度”——即弧长 导入新课 标准操场示意图 ▶还记得圆的周长公式是什么? C=2πR *圆的周长可以看作是多少 度的圆心角所对的弧长? 360°的圆心角所对的弧长 ▶圆的面积公式能呢? S=πR² *圆的面积可以看作是多少度 的圆心角所对的扇形面积? 360°的圆心角所对的扇形面积 今天我们就来研 究——如何计算 圆心角为n° 的弧 长和扇形面积. 导入新课 探究点1 推导弧长公式 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分。想一想， 如何计算圆周长?圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长? 由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少? n° 的圆心角呢? *n° 的圆心角所对的弧长I是1°圆心角所对弧长的_ n 倍， *n° 的圆心角所对的弧长1是 公式：l = 180 2πR *1°的圆心角所对的弧长是 360 化简得 *半径为R的圆，周长是 2πR *360°的圆心角所对的弧长是 圆的周长2πR _ *1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 新知探究 思考 归一归 弧长公式： 若设◎0半径为R,n° 的圆心角所对的弧长为 (2)180是常数，不带单位； (3)若题目未要求精确，结果保留π的形式。 注意： (1) n是圆心角的度数(1°的倍数),不带单位； 新知探究 推导弧长公式 探究点1 B 欣 赏 活 中 的 扇 圆心角的两条半径和圆心角所对的弧 扇形概念与扇形面积公式 扇面的形状可以看成由哪些线条围城的图形? 新知探究 探究点2 子 扇形定义 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的 弧围成的图形叫做扇形。 表示： 如图，∠AOB的两条半 径OA、OB和弧AB围 成的图形，记作“扇形 OAB”. 扇形概念与扇形面积公式 新知探究 弧 扇形 归一归 探究点2 1° 圆心角 扇形面积 n °的圆心角 扇形面积 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分，想一想，如何计算圆 的面积?圆面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积? 1°圆心角所对的扇形面积是多少? n° 的圆心角呢? 扇形概念与扇形面积公式 新知探究 个圆面积 个圆面积 个圆面积 探究点2 思考 圆心角是270° 圆心角是360° 圆心角是180° 圆心角是90° 1个圆面积 360°的圆心角所对的扇形面积是 πR² 整个圆的面积 πR² 1°的圆心角所对的扇形面积是 360 圆面积的 nπR² n° 的圆心角所对的扇形面积是 360 1° 圆心角所对扇形面积的n倍，即 类比弧长公式推导 0n ° 扇形概念与扇形面积公式 B 弧 A 讨论 n° 的圆心角所对的扇形面积是多少? 新知探究 半径为R的圆，面积是 探究点2 πR² 议一议 扇形面积公式： 在半径为R 的圆中，n° 的圆心角所对的扇形 面积计算公式为： 扇形概念与扇形面积公式 新知探究 扇形面积与圆心角和半径有关 探究点2 弧 Lm= 360C画=360× πR 都与弧所对的圆心角 度数n°有关 S 扁形=360 S四=360πR² 两个公式的联系——弧长表示扇形面积 n° 弧长公式 扇形面积公式与弧长公式之间有怎样的联系? 新知探究 议一议 探究点3 扇形面积公式 R S 议一议 扇形面积公式， 让你联想到哪个公式? 三角形面积公式： ×高 把扇形看成一个“曲边三角形”,弧长相当于底，半 径R相当于高.有公式 计算扇形面积时已知条件不同，选择不同形 式的公式会更方便： 弧(底) 已知圆心角n和半径R: 用 ; 已知弧长l和半径R: 用 两个公式的联系——弧长表示扇形面积 新知探究 探究点3 管道的展直长度由哪几部分组成? 两段直线段+中间一段弯道弧长 图中弯道对应的圆心角是 100 度； 半径是 900 mm ; 弧长公式 解：由弧长公式，可得弯道弧AB的长： 因此所要求的展直长度 l≈700×2+1570=2970(mm) 答：管道的展直长度约为2970 mm. 例1.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直 长度”,再下料，计算如图所示管道的展直长度L (结果取整数) 典例分析 【问题分析】 【规范解答】 OD=0.6-0.3=0.3 m ▶在Rt△AOD中 ，OD与OA有什么关系? 所以∠OAD=30°, ∠AOD=60° ▶ ∠AOB等于多少度? ∠AOB=2∠AOD=120° 例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m, 其中水面高0.3m.求截 面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位) S有水部分=S 扇形OAB⁻S △ OAB ▶已知半径OC=0.6m, 水面高CD=0.3m, OD是多少? ▶如图所示，OC⊥AB, 垂足为D, 如何 求有水部分的面积? A B C 典例分析 【问题分析】 , ∠OAD=30°,∠AOD=60°. 同理∠BOD=60° , ∴ ∠AOB=120°. S有水部分=S扇形 =0.1 .6×√3×0.3≈0.22(m²) 答：截面上有水部分的面积约为0.22 m². 解：解：连接OA 、OB, 作OD⊥AB于D, 延长OD交◎0于C.由题意，OC=0.6m,CD=0.3m, A ∴OD=OC-CD=0.3 m 。 B 在Rt△AOD中，OA=0.6m, OD=0.3 m, 例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m, 其中水面高0.3m.求截 面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位) 典例分析 【问题解答】 新知巩固 练习 课本P136 1.弧长相等的两段弧是等弧吗?并说明理由. 答：长度相等的两条弧不一定是等弧。 等弧的定义要求必须在同圆或等圆中， 仅长度相等无法保证它们能重合。 只有在半径相等的圆中，长度相等的两条弧才是等弧答 课本P136 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12m, 弧所对的圆心角是81°. 这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)? 解：根据弧长公式 得： 解得：R≈8.5(m). 新知巩固 练习 课本P136 3.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D,E,F 分别为BC,CA,AB 中点，以A,B,C 三点为圆心，“为半径作圆，求图中阴影部分的面积. 解：连接AD, ∵ △ABC是边长为a的等边三角形 ∴∠A=∠B=∠ C=60°, ∴S阴影= S△ABC-3S 扇形AEF 新知巩固 练习 ( 第 3 题 ) 的 1. 如图，△ ABC的三个顶点A 、B 、C都在格点上，坐标分别为 (-2,4)、(-2,0)、(-4,1). (1)画出△ ABC绕着点0顺时针旋转90°得到的△ A₁B₁C₁; (2)求点A运动到点A₁所经过的路径长. (1)解：所得△A₁B₁C₁ 如图所示： X (2)解：由作图可知：从点A运动到点A₁所经 过的路径为一段圆弧长，连接OA,OA₁, ∴∠AOA₁=90°, OA=0A₁=√ 2²+ 4²=2 √5, ∴点A运动到点A₁所经过的路径长为： 拓展提升 解 ：∵∠ACB=30°, ∠ACB与∠AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角 ∴∠AOB=2∠ACB=2×??0°=60° ∵⊙O的半径为1 1. (2026年广东省)如图，⊙O的半径为1,点A,B,C 在◎0上， ∠ACB=30° 。 则图中阴影部分的面积为 ( A) 真题感知 B. B 部分的面积为 (A) A. B. C. D. 解：如图，设EH与MN交于点0, 由题意得：OE=ON=OH=0M=BF=FM=EF=1, ∠BFM=∠BEH=90°,OE⊥AB,ONI AD,OHI CD,OMlFG, ∴BE=EH=2, ∵正方形AFGD的各边与HNM所在的圆分别相切于点E,M,H,N, ∴HNM所在的圆为以点0为圆心、OE长为半径的⊙0, 2(2026年安徽省中考).如图，矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1,正方形AFGD的各边 与HNM所在的圆分别相切于点E, M,H,N.BH, BM所在圆的圆心分别是E,F. 则图中阴影 真 题 感 知 ∴图中阴影部分的面积为 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场 地的一部分抽象为扇形OPQ(如图1 所示),已知扇形OPQ所在圆的半 径 O M ⊥ P Q 于 点 N , O P ≈ 10.00m,用不同的方案分别求PQ 的长l . 图1 工具 软尺(长度足够)、测角仪(可测量角度的大小)等 研究方案与实践成 果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量 PQ的长. 测量数据： 第一次6.36m 第二次6.32m 用测角仪测角， 利用弧长公式计 算PQ的长. 测量数据： ∠POQ≈36° 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似 计算圆弧长度的“会圆术”。图1中， 弧 测量数据： PQ≈6.20m MN≈0.50m 3(2026年河北省).在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成 的活动报告. 真题感知 主题 求生活中的圆弧长 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 反思应用 取两次测量结果 的平均数，则 l=6.34m. 利用弧长公式，…… 根据“会圆术 ”, …… ①方案一可通过 的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问 题. 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨 度AB为6m,拱高CD为1m,虽然弧长 l B 和 圆 心 角 ∠AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出. 计算过程如下：…… 图2 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法； (写出一种方法即可) (2)分别利用方案二(结果保留π)和方案三计算PQ的长l; (3)求图2中弧长lAB和圆心角∠AEB. (π 取3.1) 3(2026年河北省).在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成 的活动报告. 真题感知 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场 地的一部分抽象为扇形OPQ(如图 所示),已知扇形OP Q所在圆的半 径 O M ⊥ P Q 于 点 N , OP≈ 10.00m, 用 不 同 的 方 案 分 别 求 P Q 的长L. e M 图 1 工具 软尺(长度足够)、测角仪(可测量角度的大小)等 研究方案与实践成 果 方案一 方案二 方案三 用 软 尺 直 接 测 量 PQ的 长 ， 测量数据： 第一 次6 . 36m 第二次6.32m 用测角仪测角， 利用弧长公式计 算PQ的长， 测量数据： ∠POQ≈36° 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似 计算圆弧长度的“会圆术”,图1中，弧长l= 测量数据 ： PQ≈6.20m MN≈0.50m 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法； (写出一种方法即可) (1)解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； 3(2026年河北省).在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成 的活动报告。 真题感知 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场 地的一部分抽象为扇形OPQ(如图 所示),已知扇形OPQ所在圆的半 径 0 M I P Q 于 点 N , O P 10.00m,用不同的方案分别求PQ 的长I. 图I 工具 软尺(长度足够)、测角仪(可测量角度的大小)等 研究方案与实践成 果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量 PQ的长， 测量数据： 第一次6.36m 第二次6.32m 用测角仪测角， 利用弧长公式计 算PQ的长. 测量数据 ： ∠POQ≈36° 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似 计算圆弧长度的“会圆术”。图1中 ，弧 测量数据： PQ=6.20m MN≈0.50m 主题 求生活中的圆弧长 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 反思应用 取两次测量结果 的平 均 数 ，则 1=6.34m. 利用弧长公式， …… 根据“ 会 圆 术 ”, …… ①方案一可通过_ 的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问 题， 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨 度AB为6m,拱高CD为1m,虽然弧长 l 和 圆 心 角 AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出。 计算过程如下： …… 方案三： ● , PQ≈6.20m, MN≈0.50m,OP≈10.00m ∴l=6. .225(m); 3(2026年河北省).在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成 的活动报告. (2)分别利用方案二(结果保留π)和方案三计算PQ的长l; (2)解：方案二： PQ的长 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场 地的一部分抽象为扇形OPQ(如图 所示),已知扇形OPQ所在圆的半 径 0 M I P Q 于 点 N , O P 10.00m,用不同的方案分别求PQ 的长I. 图I 工具 软尺(长度足够)、测角仪(可测量角度的大小)等 研究方案与实践成 果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量 PQ的长， 测量数据： 第一次6.36m 第二次6.32m 用测角仪测角， 利用弧长公式计 算PQ的长. 测量数据 ： ∠POQ≈36° 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似 计算圆弧长度的“会圆术”。图1中，弧 测量数据： PQ=6.20m MN≈0.50m 主题 求生活中的圆弧长 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 反思应用 取两次测量结果 的平 均 数 ，则 1=6.34m. 利用弧长公式， …… 根据“会圆术 ”, …… ①方案一可通过_ 的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问 题， 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨 度AB为6m,拱高CD为1m,虽然弧长 l 和 圆 心 角 AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出。 计算过程如下： …… (3)求图2中弧长lAB和圆心角∠AEB. (π 取3.1) (3)解：∵CD⊥AB,AB=6m 在Rt△ADE中，由勾股定理得， AE²=AD²+DE²,CD=1m ∴AE²=3²+(AE-1)² 解得AE=5( m) 由“会圆术”可得， 3(2026年河北省).在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成 的活动报告. 设∠AEB的度数为n, 则 由 9 , 解得n = 72°. 得， *两个公式： 弧长公式： 扇形面积公式： *一个模型：弓形面积=扇形面积-三角形面积. *一种策略： 已知n和R→ 直接代入公式 ; 已知1和R → 用 更简便. 知识与技能 课堂小结 ▶类比思想： 弧长公式和扇形面积公式的推导方法完全一致 ——从整体(圆)到部分(弧/扇形). ▶转化思想： 扇形面积用弧长表示时，转化为“曲边三角形”,与三角 形面积公式类比。 ▶从特殊到一般： 从1°对应的量推导n° 对应的量，实现由特殊到一般的 数学抽象. 思想与方法 课堂小结 * 公式记混： 弧长公式分母是180,扇形面积公式分母是360 ——口诀：“弧长180,面积360” * 单位混淆： n是圆心角的度数，不带单位； 若题目给出的是弧度或其他单位，需先转换. * 半径误代： 若题目给出的是直径，需先除以2得到半径再代入公式。 易错点提醒 课堂小结 解(1)设圆的半径为R, 由弧长公式得： 解得：R=6 (2)设扇形圆心角度数为n°, 半径为R, 由扇形面积公式得： 解得：R=24 习题 29.3 课本p138页 1.填空题. (1)75°的圆心角所对的弧长是2.5π,则此弧所在圆的半径为 6 (2)一个扇形的弧长是20π,面积是240π,则这个扇形的圆心角为 150° 课后练习 ∴圆心角度数：1°×150=150° 解得：n=150, 习题 29.3 课本p138页 2.如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带.求这 条传送带的长(结果保留小数点后一位). 10m ≈26.3(m) 答：这条传送带的长26.3m 解：这条传送带的长： πd+2×10 =3π+20 课后练习 习题 29.3 课本p139页 3.正方形的边长为a, 以各边为直径在正方形内画半圆.求图 课后练习 中阴影部分的面积. =4S半圆- 正方形 5.在航海中，常用海里(单位：n mile)作为路程的度量单位。把地球看作球体，1 n mile近似等于赤道所在的圆中1′的圆心角所对的弧长.已知地球半径(也就是赤 道所在圆的半径)约为6370 km,1n mile约等于多少米(结果取整数)? 习题 29.3 课本p139页 课后练习 ≈1.852(km) =1852(m) 习题 29.3 课本p139页 9.如图为一个圆形花坛，为了在这个花坛中种植不同的花卉，要把它分 成面积相等的四部分，请你至少提供两种设计方案， 解：方案一： 方案二： 课后练习 谢谢聆听 $