1.2.1+二次函数的图象（第1课时） 课件 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象，通过复习建立二次函数模型的步骤导入，衔接描点法作图（列表、描点、连线），结合合作学习画y=x²等图象，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解抛物线概念及对称轴、顶点等特征。 其亮点在于以数学眼光（几何直观）引导学生观察图象形状与位置，以数学思维（推理意识）探究a对开口方向和大小的影响，如对比y=2x²与y=-2x²的对称性。采用合作探究与典例分析结合的教学方法，课堂小结结构化呈现a的核心作用，助力学生发展空间观念和运算能力，也为教师提供系统的教学流程和分层练习设计。

第一章 二次函数 （浙教版）九年级 1.2.1二次函数的图象 学习目标 1.理解y=a(x-m)²是y=a(x-m)²+k的特殊形式，分清两类顶点式的图象均由y一ax²平移得到；能根据解析式直接读出顶点坐标、对称轴 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，能准确说出图象名称是抛物线。 复习导入 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言； ②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数解析式，并化成一般形式； ③取值：联系实际，确定自变量的取值范围. 获取新知 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 -1 -2 -3 -4 -5 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y 解：(1) 列表 … 9 4 1 0 1 4 9 … (2) 描点 (3) 连线 你还记得用描点法画函数图像的一般步骤? 描点法 列 表 描 点 连 线 连线时应注意 什么问题？ y = x2 画y=x2的图像. 二次函数 y = x2的图象是一条关于y轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线叫做抛物线. 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 -1 -2 -3 -4 -5 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.例如，抛物线y = x2的顶点是坐标原点，也是图象的最低点. y = x2 合作学习 活动 用描点法画出二次函数y=x2的图象 (1)完成自变量与函数的对应值表。 x ... -3.5 -3 -2 -1 0 y=ax2 ... 0 x ... 3.5 3 2 1 y=ax2 ... 12.25 9 4 1 4 9 12.25 1 （2）建立适当的直角坐标系，并以表中各应值 作为点的坐标，在直角坐标系中描出的点，用光滑曲线顺次连结各点。 6 新知探究 合作学习 2.观察图中的图象，它有什么特征？从形状、位置、对称性等方面进行讨论。 形状：为开口向上的二次函数 位置：顶点在原点，是图象的最低点 对称性：关于y轴对称 总结 如图，二次函数y=x2的图象是一条关于y轴对称、过坐标原点并向上伸展的曲线。像二次函数y=x2的图象这样的曲线叫作抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。例如，抛物线y=x2的顶点是坐标原点，也是图象的最低点。 对于二次函数y=ax2(a ≠0)，是否都有类似的图象呢？下面我们在同一直角坐标系中画二次函数y=2x2，y=-2x2与y=4x2的图象. 1.列表：自变量x与函数y的对应值. x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=－2x2 … －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 … y=4x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 新知探究 合作学习 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2x2，y=-2x2和y=4x2的图象，并根据图象回答下列问题。 1.说出y=2x2，y=-2x2这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 由图可得：二次函数y=2x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0);二次函数y=-x2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标 为(0,0). 新知探究 合作学习 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2x2，y=-x2和y=4x2的图象，并根据图象回答下列问题 (2)抛物线y=2x2,当x 时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最____点； ≠0 低 (3)函数y=-x2，对于一切x的值，总有函数y____0;当x 时，y有最______值是___. ≤ =0 大 0 2.描点，并用光滑曲线顺次连结各点，即可得到函数y=2x2，y=-2x2与y=4x2的图象. 想一想 二次函数y=2x2的图象与y=－2x2的图象关于什么对称?如果已知y=ax2(a ≠ 0)的图象，你认为可怎样更方便地得到y=－ax2的图象? Administrator (A) - 建立两二次函数图像的对称性用几何画板演示：1.2第1课时y=2x^2与y=-2x^2的对称性.exe. 一般地，二次函数y=ax2(a≠0)的图象具有以下特征： 1.二次函数y=ax2(a≠0 )的图象是一条抛物线; 2.它关于y轴对称，顶点是坐标原点; 3.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. a影响抛物线的开口大小和方向 新知探究 合作学习 二次函数y=2x²的图象与y=-2x²的图象关于什么对称?如果已知y=ax²(a≠0)的图象，你认为可怎样更方便地得到y=-ax²的图象? 总结 二次函数y=ax²(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 a影响抛物线的开口大小和方向。 |a| 越大，开口越小 |a| 越小，开口越大。 例1 已知抛物线y=ax²经过点A(-2,-8). (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 典例分析 (1)∵抛物线y=ax²经过点A(-2,-8), ∴把点A(-2,-8)代入抛物线中：a=-2, ∴此抛物线的函数解析式为：y=-2x2; 不在 (3）：此抛物线上一点的纵坐标为-18， ∴把y=-18代入此抛物线中得：x=±3， ∴此抛物线上纵坐标为-18的点的坐标为(3，-18)或（-3，-18). 例2 已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(－2，－3). （1）求a的值，并写出这个二次函数的表达式. 解 :把点(－2，－3)的坐标代入y=ax2，得－3=a(－2) 2， 解得a=－ . 这个二次函数的表达式是y=－ x2. 例2 已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(－2，－3). （2）说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置. 解: 顶点为（0，0），对称轴为y轴. 因为a=－ <0，所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方（除顶点外）. 练一练 已知函数是关于x的二次函数. (1)求满足条件的m的值； (2)当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点的坐标 典例分析 （1）解：根据题意得，m2+m-4=2且m+2≠0，解得m=2或m=-3； m的值为－3或2； (2)解：当m=2时，m+2=4>0，抛物线开口向上，该抛物线有最低点， 此时抛物线解析式为y=4x2，则最低点坐标为(0,0) 典例分析 (1)在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2和y=x2的图象 (2)从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点 练一练 课堂练习 1.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，3）. （1）则a的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 . 抛物线在x轴的 方（除顶点外）. 3 y轴 向上 (0,0) 最低点 上 20 2.下列各点在抛物线 上的是( ) B A. B. C. D. 21 知识与技能 （1）作图方法 画y=ax²图象统一用描点法， 三步：列表→描点→平滑曲线连线； 1.列表：取互为相反数的x值，利用对称性简化计算； 2.描点：在平面直角坐标系精准标出对应坐标点； 3.连线：用光滑曲线连接，不能画折线，图象名称叫抛物线。 课堂小结 知识与技能 （2）基础通用图象特征 1.对称轴：直线x=0（y轴）； 2.顶点：(0,0)，是抛物线与对称轴的唯一交点； 3.对称性：图象关于y轴对称，若点(m，y)在抛物线上，则(-m，y)也在图象上。 课堂小结 3.（教材例1变式）已知二次函数 的图象经过点 . （1）求 的值，并写出这个二次函数的表达式； 解：把点的坐标代入，得，解得 . 所以这个二次函数的表达式为 . 24 （2）点和点 在这个二次函数的图象上吗？ 解：将代入,得；将 代入 ，得 所以点在这个二次函数的图象上，点 不在这个二次函数的图 象上. 25 通过这节课，你了解到哪些数学知识？ 知识与技能 三、a对抛物线的影响(核心知识点) 1.a的正负决定开口方向与最值 当a>0：抛物线开口向上，顶点(0,0)是最低点； 增减性：x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大； 最值：x=0时，y最小值=0。 当a<0：抛物线开口向下，顶点(0,0)是最高点； 增减性：x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小； 最值：x=0时，y最大值=0 课堂小结 |a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽； 谢谢大家聆听 $