26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，核心涵盖抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等知识点。通过描点法绘制y=x²图象，对比y=1/2x²、y=2x²等不同a值函数图象，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接一次函数知识，为后续平移等内容奠定基础。 其特色在于以数学眼光（几何直观）引导学生观察抛物线特征，通过分层练习题（基础巩固、能力提升、拓展培优）培养数学思维（运算能力、推理意识），易错点口诀“a定方向与宽窄”助力数学语言表达。教师可利用该资料实施分层教学，学生能系统掌握知识并提升解题能力。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 人教版数学九年级上册26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质专项练习 一、核心知识点梳理 $$y=ax^2$$是二次函数中最简单、最基础的解析式形式，是研究复杂二次函数图象与性质的前提。本节核心掌握抛物线的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值规律，学会通过系数$$a$$判断函数图象特征，是后续平移、配方、综合题的必备基础。 1. 图象基本特征：二次函数$$y=ax^2(a eq0)$$的图象是一条抛物线，抛物线是轴对称图形，图象过坐标原点，整体形状呈“U型”或“倒U型”。 2. 固定图象要素：对称轴为y轴（直线x=0）；顶点坐标为(0，0)，顶点是抛物线的最高点或最低点，也是函数最值点。 3. 系数a的核心作用：决定开口方向与开口大小。当$$a>0$$时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值；当$$a<0$$时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值。$$|a|$$越大，开口越窄；$$|a|$$越小，开口越宽。 4. 函数增减性规律：$$a>0$$时，对称轴左侧（$$x<0$$）y随x增大而减小，对称轴右侧（$$x>0$$）y随x增大而增大；$$a<0$$时，对称轴左侧（$$x<0$$）y随x增大而增大，对称轴右侧（$$x>0$$）y随x增大而减小。 5. 最值规律：$$a>0$$，$$x=0$$时，$$y_{最小}=0$$；$$a<0$$，$$x=0$$时，$$y_{最大}=0$$。 二、分层专项练习题 （一）基础巩固题（共4题） 1. 二次函数$$y=5x^2$$的图象开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 2. 二次函数$$y=-3x^2$$有最大值还是最小值？求出该最值。 3. 对于函数$$y=2x^2$$，当$$x>0$$时，判断y随x的变化趋势。 4. 比较抛物线$$y=4x^2$$与$$y=\dfrac{1}{2}x^2$$的开口宽窄，并说明理由。 （二）能力提升题（共4题） 1. 已知二次函数$$y=(m-1)x^2$$的图象开口向下，求m的取值范围。 2. 已知点$$A(-2,y_1)$$、$$B(1,y_2)$$在抛物线$$y=3x^2$$上，比较$$y_1、y_2$$的大小。 3. 已知二次函数$$y=ax^2$$，当$$x=2$$时，$$y=-12$$，求解析式。 4. 对于抛物线$$y=-x^2$$，当$$-2\leq x\leq3$$时，求函数的最大值。 （三）拓展培优题（共2题） 1. 已知抛物线$$y=(k^2-4)x^2$$开口向上，求k的取值范围。 2. 已知二次函数$$y=ax^2$$，当$$x_1\lt x_2\lt0$$时，$$y_1\gt y_2$$，判断a的正负性。 三、参考答案及详细解析 （一）基础巩固解析 1. 解析：由$$a=5>0$$，可知开口向上；二次函数$$y=ax^2$$对称轴为y轴（直线$$x=0$$），顶点坐标为$$(0,0)$$。答：开口向上，对称轴为直线$$x=0$$，顶点$$(0,0)$$。 2. 解析：$$a=-3<0$$，抛物线开口向下，函数有最大值。当$$x=0$$时，最大值$$y=0$$。答：有最大值，最大值为0。 3. 解析：$$a=2>0$$，开口向上，在对称轴右侧$$x>0$$，y随x的增大而增大。 4. 解析：$$|4|>\left|\dfrac{1}{2}\right|$$，$$|a|$$越大开口越窄，因此$$y=4x^2$$开口更窄，$$y=\dfrac{1}{2}x^2$$开口更宽。 （二）能力提升解析 1. 解析：开口向下则$$a<0$$，即$$m-1<0$$，解得$$m<1$$。答：$$m<1$$。 2. 解析：将点代入解析式，$$y_1=3\times(-2)^2=12$$，$$y_2=3\times1^2=3$$，所以$$y_1&gt;y_2$$。也可利用对称性：$$x=-2$$与$$x=2$$函数值相等，右侧递增，快速比较大小。 3. 解析：将$$x=2，y=-12$$代入$$y=ax^2$$，得$$-12=4a$$，解得$$a=-3$$。解析式为$$y=-3x^2$$。 4. 解析：$$y=-x^2$$开口向下，顶点$$(0,0)$$为最高点，在取值范围$$-2\leq x\leq3$$内，最大值为0。 （三）拓展培优解析 1. 解析：抛物线开口向上，需满足二次项系数大于0，即$$k^2-4>0$$，变形得$$k^2>4$$，解得$$k>2$$或$$k<-2$$。答：$$k>2$$或$$k<-2$$。 2. 解析：$$x_1\lt x_2\lt0$$（对称轴左侧），x增大、y减小，说明左侧单调递减，符合$$a>0$$的增减规律。故$$a$$为正数。本题考查增减性逆向推理，是期末常考拔高题型。 四、易错点总结 1. 混淆开口方向与a的符号，记错“正上负下”规律；2. 记错开口大小规律，误以为a越大开口越宽；3. 增减性不分左右区间，笼统描述增减变化导致失分；4. 求最值忽略取值范围，默认顶点最值，不结合区间判断；5. 含参数题型只判断符号，忽略二次函数核心条件$$a eq0$$。解题口诀：a定方向与宽窄，y轴对称原点顶，左减右增正开口，左增右减负开口。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 了解抛物线及其相关概念. 会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关. 能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. 问题 用描点法画出 y=x2 的图象. 1.列表. x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 … y=x2 … … 9 4 1 1 0 4 9 2.描点. 3.连线. y=x2 思考：这个图象像什么形状？ 探究新知 可以看出，二次函数 y=x2 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c . y=x2 探究新知 y=x2 在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 (−m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称. 思考：抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？ 顶点 对称轴 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 探究新知 从二次函数y=x2的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. y=x2 思考：你还能从图象中看出什么？ 左侧 右侧 减小 增大 探究新知 用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤 (1)列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格； (2)描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点； (3)连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸. 说明：用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确. 探究新知 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=x2，y=2x2 的图象. 例1 x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 解：分别列表，再画出它们的图象. y=x2 y=2x2 探究新知 思考：函数  的图象与函数  的图象（图中的虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？ 共同点：开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点 是函数图象的最低点. 不同点：开口大小不同，函数 的图象开口最大，函数 的图象开口最小. y=x2 y=2x2 探究新知 思考：利用信息技术工具画二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象，改变  的值，函数 y=ax2 的图象也发生了改变. 随着 a 的变化，二次函数 y=ax2 的图象有什么变化？ a的值越大，图象的开口越小. 探究新知 一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. y=x2 y=2x2 探究新知 知识点1 二次函数 的图象 1.二次函数 的图象大致是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 12 2.[杭州期中] 已知抛物线的开口向下，则 的值可能为 ( ) C A.2 B. C. D. 返回 举一反三 13 3.抛物线 的对称轴是( ) C A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 返回 举一反三 14 探究 回顾上面研究二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数 y=ax2 (a<0) 的图象和性质吗？ 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=﹣x2， y=﹣x2 ，y=﹣2x2的图象. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 探究新知 共同点：开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是函数图象的最高点. 不同点：开口大小不同，函数 y=的图象开口最大，函数y=﹣2 的图象开口最小. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 思考：观察这些抛物线有什么共同点和不同点？ 探究新知 一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 探究新知 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 二次函数 y=ax2 的图象和性质 探究新知 已知抛物线 ，回答下列问题： 抛物线  开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______； 当  时， 随  的增大而______，当  时， 随  的增大而______； 对于任意的  值，总有函数值  ___ 0，当  ___ 时， 有最_____值，是______. 例2 下 减小 y轴 (0,0) 增大 ≤ 0 大 0 探究新知 4.抛物线 的顶点坐标是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 20 5.若二次函数的图象经过点 ，则该图象必经过点( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 21 6.［教材 例1变式］ （1）在同一平面直角坐标系（如图）中， 画出函数，， 与 的图象. 举一反三 22 解：作图如图所示. 举一反三 23 （2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题： ①由图象可知抛物线 与抛物线__________的形状相同，且两抛 物线关于___轴对称；同样，抛物线 与抛物线__________的形状 相同，也关于___轴对称. ②抛物线的开口比抛物线 的开口____（填“大”或“小”）， 抛物线的开口比抛物线 的开口____（填“大”或 “小”）. 小 小 返回 举一反三 24 ③在抛物线中，当相同时，抛物线开口大小______； 越大， 抛物线开口越____； 越小，抛物线开口越____. ④应用：抛物线与 中，开口较小的是抛物线_________. 相同 小 大 举一反三 25 知识点2 二次函数 的性质 7.已知二次函数，当时，随 的增大而( ) B A.增大 B.减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 返回 举一反三 26 二次函数y=ax2的图象和性质 画法 性质 描点法 抛物线 图象 轴对称图形 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 $