26.1 二次函数的概念-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，系统梳理定义、系数含义、特殊形式及判定依据。通过矩形面积、比赛场次等实际问题导入，对比一次函数引出新知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是分层练习与实际建模结合，如矩形面积、销售量利润问题，培养数学眼光（抽象现实数量关系）和数学思维（推理参数取值）。易错点“三步判定法”规范思维，助力学生理解，教师可直接用于课堂提升教学效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 人教版数学九年级上册26.1二次函数的概念专项练习 一、核心知识点梳理 二次函数是初中函数体系的核心内容，是继一次函数之后重点学习的新型函数，也是中考压轴题核心考点。本节以概念识别、解析式判定、参数取值为核心，重点区分二次函数、一次函数、正比例函数，掌握二次函数的标准结构与成立条件，为后续图像、性质及实际应用学习奠定基础。 1. 二次函数定义：一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$为常数，且$$a eq0$$）的函数，叫做二次函数。其中$$x$$是自变量，$$y$$是$$x$$的函数，自变量最高次数为2，且解析式必须为整式形式。 2. 函数各项含义：$$a$$为二次项系数，$$b$$为一次项系数，$$c$$为常数项。核心前提：$$\boldsymbol{a eq0}$$，若$$a=0$$，解析式变为$$y=bx+c$$，即为一次函数，不再是二次函数；$$b、c$$可以为0。 3. 二次函数三种特殊形式：最简式$$y=ax^2(a eq0)$$；缺一次项式$$y=ax^2+c(a eq0)$$；缺常数项式$$y=ax^2+bx(a eq0)$$，三种形式均属于标准二次函数。 4. 判定核心依据：整式解析式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0，三者缺一不可。分式、根式形式、自变量次数不为2的函数，均不是二次函数。 二、分层专项练习题 （一）基础巩固题（共4题） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A.$$y=2x$$ B.$$y=\dfrac{2}{x^2}$$ C.$$y=x^2+1$$ D.$$y=x+2$$ 2. 已知函数$$y=(m-2)x^2+3x$$是二次函数，求$$m$$的取值范围。 3. 写出二次函数$$y=3x^2-5x+1$$的二次项系数、一次项系数和常数项。 4. 判断函数$$y=2x^2$$是否为二次函数，并说明理由。 （二）能力提升题（共4题） 1. 已知函数$$y=(k+1)x^{k^2+1}+2x-3$$是二次函数，求$$k$$的值。 2. 将二次函数$$y=2(x-1)^2+3$$化为一般形式，并写出各项系数。 3. 已知函数$$y=(m^2-4)x^2+(m+2)x+1$$，当$$m$$为何值时，该函数为二次函数？ 4. 已知二次函数$$y=x^2+bx+2$$，当$$x=1$$时，$$y=5$$，求$$b$$的值。 （三）拓展培优题（共2题） 1. 已知函数$$y=(m-1)x^{|m|+1}+3x-2$$是二次函数，求$$m$$的值。 2. 某矩形的周长为20cm，设矩形的一边长为$$x$$ cm，面积为$$y$$ cm²，求$$y$$与$$x$$的函数关系式，并判断是否为二次函数。 三、参考答案及详细解析 （一）基础巩固解析 1. 答案：C。解析：A、D为一次函数，B为分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义；C满足整式、自变量次数为2、二次项系数不为0，是二次函数。 2. 解析：二次函数要求二次项系数不为0，即$$m-2 eq0$$，解得$$m eq2$$。答：$$m$$的取值范围是$$m eq2$$。 3. 解析：对照一般形式$$y=ax^2+bx+c$$，可得二次项系数$$a=3$$，一次项系数$$b=-5$$，常数项$$c=1$$。 4. 解析：是二次函数。理由：解析式为整式，自变量最高次数为2，二次项系数$$2 eq0$$，满足二次函数的全部定义条件。 （二）能力提升解析 1. 解析：由二次函数定义得次数为2，二次项系数不为0，即$$\begin{cases}k^2+1=2\\k+1 eq0\end{cases}$$，解得$$k^2=1$$、$$k eq-1$$，故$$k=1$$。 2. 解析：展开化简：$$y=2(x^2-2x+1)+3=2x^2-4x+2+3=2x^2-4x+5$$。二次项系数2，一次项系数-4，常数项5。 3. 解析：函数为二次函数需满足二次项系数不为0，即$$m^2-4 eq0$$，解得$$m eq\pm2$$。答：$$m eq2$$且$$m eq-2$$。 4. 解析：将$$x=1，y=5$$代入解析式，得$$5=1+b+2$$，化简得$$b+3=5$$，解得$$b=2$$。 （三）拓展培优解析 1. 解析：根据二次函数定义列方程组：$$\begin{cases}|m|+1=2\\m-1 eq0\end{cases}$$，由次数条件得$$|m|=1$$，即$$m=\pm1$$；结合系数条件$$m eq1$$，最终得$$m=-1$$。 2. 解析：矩形周长20cm，一边长为$$x$$ cm，则另一边长为$$(10-x)$$ cm。面积$$y=x(10-x)=-x^2+10x$$（$$0<x<10$$）。该函数为整式，自变量最高次数为2，二次项系数$$-1 eq0$$，属于二次函数。本题结合几何实际建模，考查二次函数的实际判定，是期末高频题型。 四、易错点总结 1. 忽略二次项系数$$a eq0$$的核心条件，只看自变量次数，导致参数取值错误；2. 误将分式、根式函数判定为二次函数，二次函数必须是整式函数；3. 混淆一次、二次函数，忽略$$a=0$$时函数降级为一次函数；4. 找系数时遗漏符号，将负系数误写为正系数；5. 含参数二次函数，只满足次数为2，未验证系数不为0，解题不完整。解题核心：先看整式、再看次数、最后验系数，三步判定杜绝错误。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 掌握二次函数的概念，能判断一个函数关系是不是二次函数关系. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数. 在现实世界中，变量之间的关系多种多样.作为描述变量之间关系的函数，其种类也很丰富. 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y（单位：m²）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 解：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量. 而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数. 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y=x(20-x)，即 20x. ① 这是一个不同于一次函数的新函数. 探究新知 问题1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 每支球队都要与其他 (n-1) 支球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 n(n-1)，即 ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 探究新知 知识点1 二次函数的定义 1.下列函数中，是二次函数的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 5 2.[杭州期中] 关于的函数 是二次函数的条件是 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 6 3.二次函数 的一次项系数和常数项分别为( ) C A.3，1 B.6， C.， D. ，0 返回 举一反三 7 问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由的值确定，与之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t. 再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量y=20(1+x)2，即 y=20x2+40x+20. ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 探究新知 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ y=-x2+20x. ① m ② y=20x2+40x+20. ③ 共同点: (1)含有自变量的代数式是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 探究新知 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 探究新知 例1 下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ① ，是二次函数； ② ，由于  不是整式，所以不是二次函数； ③ ，不是二次函数； ④ ， 的最高次数是 3，不是二次函数； ⑤ y=ax2+bx+c，当 a=0 时，y=bx+c不是二次函数. A 探究新知 判断二次函数的步骤 一化：将函数解析式化为y=ax2+bx+c的形式； 二看：含自变量的代数式是否为整式，二次项系数是否为0； 三判：判断所给函数是否为二次函数. 探究新知 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 .写出两年后该产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 ，即 (2) 一年后该产品的年销售量为 8(1-x) 万件，两年后该产品的年销售量为8(1-x)(1-x)万件,所以y=8(1-x)2.即 y=8x2-16x+8. 例2 探究新知 4.若函数是二次函数，则 的值是___. 4 返回 举一反三 14 5.判断下列函数是不是二次函数，若是二次函数，分别写出它们的二次 项系数、一次项系数和常数项. 函数解析式 是不是二次 函数 二次项系数 一次项系数 常数项 ____ ____ ___ ____ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ___ ______ 是 2 是 0 是 1 0 不是 返回 举一反三 15 知识点2 在实际问题中建立二次函数模型 6.［教材习题 变式］进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电 热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是 ，降价后的 价格为元，原价为元，则与 之间的关系式为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 16 7.［教材P 31练习T 2变式］一个正方形的边长为6，若边长增加 ，面积 就增加，则关于 的函数关系式为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 17 8.已知一个菱形两条对角线的长之和为 ，设其中一条对角线的长 为，菱形的面积为，则与 之间的函数关系式为 _ _______________，自变量 的取值范围是___________. 返回 举一反三 18 9. 2025年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融” 受到人们的广泛喜爱.某网店以30元/个的价格购进了一批吉祥物.经市场 调查发现，吉祥物每天的销售量（个）与售价 （元/个）之间的函数 关系式为.设吉祥物每天的销售利润为 元. （1）写出与 之间的函数解析式； 解： . （2）指出（1）中函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：二次项系数是，一次项系数是140，常数项是 . 返回 举一反三 19 定义 应用 二次函数的概念 系数 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 根据实际问题的数量关系，构建二次函数模型 课堂小结 谢谢观看 THANKS $