26.1 二次函数的概念 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过“温故知新”复习函数及一次函数定义，以矩形细绳围区域面积问题导入，构建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步接触二次函数。 其亮点在于以球队比赛场次、产量增长等现实情境为载体，驱动学生观察函数解析式共性，归纳二次函数定义三条件，体现数学眼光与数学思维。练习设计含辨析、系数分析等，帮助学生准确理解概念，对学生培养抽象能力和推理意识有益，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

26.1 二次函数的概念 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 1.什么是函数？ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.目前，我们已经学习了哪些函数？ 一次函数 y=kx+b(k，b是常数，k≠0) 正比例函数 y=kx(k≠0) 温故知新 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y(单位：m²)会随矩形一边长 x (单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系? y=x(40÷2－x) 即 y= －x2+20x 不同于一次函数的新函数 导入新课 问题1：n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 【分析】每支球队与其他_____支球队各比赛一场. n-1 m= n(n-1) m= n2- n 探索新知 问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示? 【分析】一年后的产量： 20(1+x) t 两年后的产量： 20(1+x)(1+x) t y=20(1+x)2 y=20x2+40x+20 y= -x2+20x 思 考 m= n2- n y=20x2+40x+20 这三个函数有什么共同点? 3.二次项系数不为0，即a≠0. 1.函数解析式是整式； 2.自变量的最高次数是2. 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： 二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. 1.判断下列函数中，哪些是二次函数?若是二次函数，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=3(x-1)2+1 (2)y= (3)S=3-2t2 先整理化简 y=3x²-6x+4 二次项系数：3,一次项系数：-6,常数项：4 √ 不是整式 × √ =-2t2+3 二次项系数：-2,一次项系数：0,常数项：3 对应练习 (4)y=(x+3)2-x2 先整理化简 y=6x+9 × (5)V=10πr2 √ 二次项系数：10π,一次项系数：0,常数项：0 (6)y=ax2 × a≠0才是二次函数 归纳：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 对应练习 2. (1)已知函数y=(k-2)x2-5x+3是二次函数，求k的取值范围. 一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0) 解：∵k-2≠0， ∴k≠2. (2)已知函数y=4xk-3+x-5是二次函数，求k的值. 解：∵k-3=2， ∴k=5. 对应练习 (3)y=(m-2) +4是二次函数，求m的取值范围和函数解析式. 解： m2-2=2， m-2≠0. 得 m=±2， m≠2. ∴m=-2. ∴此函数解析式为y=-4x2+4. 本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，需要引起同学们的重视. 对应练习 例 （1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 【分析】 解：S=2πr2+2πr·r 即 S=4πr2. r r 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和. （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式. 解：y = 8(1－x)2 即y = 8x2 － 16x+8. 二次函数 定义 右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a≠0. 一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数) 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c (a≠0，a,b,c是常数). 课堂小结 1.[2025·合肥五十中期中]下列函数中，一定是关于x的二次函数的是( ) A.y＝ax2＋bx＋c B.y＝2x－3 C.y＝x2－ D.y＝3x2＋x－2 D 课堂练习 2.在二次函数y＝x2－2x＋1中，自变量的取值范围是( ) A.x＞0 B.x＜0 C.x＝0 D.全体实数 D 3.若y＝(a－2)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是( ) A.a≠0 B.a≠2 C.a＞0 D.a＞2 B 自变量指数是数字→自变量指数是字母 [易错题]若y＝(m－2)x|m|是二次函数，则m的值为( ) A.－2　　　　　　　　B.2 C.－2或2　　　　　　 D.以上都不对 A 4.二次函数y＝(x＋2)2－6中，二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　. 　－2　 　4　 　1　 5.下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是( ) A.正方形的周长y与边长x B.当丁丁放学骑车速度一定时，丁丁离学校的距离s与他骑车的时间t C.等腰三角形的顶角度数y与底角度数x D.一台原价50万元的机器两年后的价格y与这台机器每年的平均折旧率x D 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为( ) A.w＝(x＋35－30)(150－2x)(1≤x≤40) B.w＝(x－30)(150－2x)(1≤x≤40) C.w＝(x＋35)(150－2x)(1≤x≤40) D.w＝30(150－2x)(1≤x≤40) 6.[与T12互为孪生题]某校九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x天(1≤x≤40且x为正整数)的售价与销量的相关信息如表： A 时间/天 x 每件售价/元 x＋35 每天销量/件 150－2x 7.某学校去年的绿化投入为2万元，预计明年的绿化投入费用为y万元.设绿化投入的年平均增长率为x，则y与x之间的函数关系式为　 　.(不要求化成一般形式) 　y＝2(1＋x)2　 8.一个半径为10 cm的圆上，挖掉1个正方形孔，则剩余部分的面积S(cm2)与方孔边长x(cm)之间的函数关系式为 　 　.(不要求写自变量的取值范围)  　S＝100π－x2　 9.已知函数：①y＝2x－1；②y＝－2x2－1；③y＝3x3－2x2；④y＝2(x＋3)2－2x2；⑤y＝(a2＋1)x2＋bx＋c；⑥y＝x2＋＋5.其中二次函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B A.y＝2x2－8x＋15 B.y＝x2－8x＋15 C.y＝x2－15x＋8 D.y＝2x2－15x＋8 10.如图是一个迷宫游戏盘的平面示意图，该矩形的长、宽分别为5 cm，3 cm，其中阴影部分为迷宫的挡板，设挡板的宽度为x cm，小球滚动的区域(空白区域)面积为y cm2，则y与x之间的函数关系式为( ) B 11.已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是关于x的二次函数，则m的取值范围为 　 　；  (2)若这个函数是关于x的一次函数，则m的值为　 　；  (3)这个函数　 　(填“可能”或“不可能”)是关于x的正比例函数.  　不可能　 　0　 　m≠0且m≠1　 12.[与T6互为孪生题]某商品的进价为40元/件，售价为50元/件，每个月可卖出210件.如果售价超过50元/件但不超过80元/件，每上涨1元每月少卖1件；如果售价超过80元/件，每上涨1元每月少卖3件.设该商品的售价为x(x为整数)元/件，每月的销售量为y(y为正整数)件. (1)求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； 解：(1)y＝ (2)设每月的销售利润为W元，请直接写出W与x之间的函数解析式. (2)W＝ 13.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P，Q同时从点A出发，以1 cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动.设运动时间为x s，依次连接P，B，D，Q四点所围成的图形的面积为y cm2，求y关于x(0≤x≤8)的函数解析式. 解：由题意，得当0≤x≤4时，AP＝AQ＝x cm， ∴y＝×4×4－x2＝－x2＋8. 当4＜x≤8时，CQ＝CP＝(8－x)cm， ∴y＝×4×4－(8－x)2＝－x2＋8x－24. 综上所述，y＝ $