25.3.3 循环问题与数字问题-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程实际应用，核心涵盖循环问题（单双循环公式）与数字问题（两位数表示模型），通过探究活动（如双循环比赛场数验证）和时事案例（WTT比赛、阅兵互赠卡片）导入，连接方程解法，构建应用建模的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理辨析单双循环公式）和数学语言（规范解题步骤）。分层练习（基础到拓展）结合详细解析，助力学生掌握建模方法，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3.3循环问题与数字问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 人教版数学九年级上册25.3.3循环问题与数字问题专项练习 一、核心知识点梳理 循环问题与数字问题是一元二次方程实际应用的经典题型，两类题型均以代数建模为核心，无需几何图形分析，依靠数字规律、循环配对规律建立等量关系，题型固定、解题套路清晰，是中考基础应用题常考类型，常与传播问题、变化率问题综合考查。 1. 数字问题核心模型：主要考查两位数、三位数的数值表示方法。设两位数的十位数字为$$x$$，个位数字为$$y$$，则该两位数可表示为$$10x+y$$；交换数位后新数为$$10y+x$$。连续数字、连续奇偶数字可设中间数或首位数字，利用相邻数字差值为1或2列方程。 2. 循环握手/互赠问题模型：两类高频固定模型，区分核心在于“单向”和“双向”。握手、两两对赛问题（无重复、无方向）：总次数公式$$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$；互赠礼物、互发消息问题（有方向、双向重复）：总次数公式$$x(x-1)$$，解题关键是准确区分题型，不混淆两个公式。 3. 通用解题步骤：审题判定题型为数字问题或循环配对问题；合理设未知数，优先设人数、数位数字为$$x$$；根据数值规律、循环次数公式列出一元二次方程；规范求解方程；结合实际意义验根，人数、数字均为正整数，舍去负数、小数及不符合数位范围的根。 4. 核心解题原则：数位数字取值范围为0~9，十位、百位等高位数字不能为0；循环问题中人数必须为大于1的正整数，所有不符合实际的解必须舍去，这是此类题型最核心的得分要点。 二、分层专项练习题 （一）基础巩固题（共4题） 1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，两个数字之积为18，求这个两位数。 2. 某次班级聚会，到场同学每两人握一次手，总握手次数为28次，求参与聚会的同学人数。 3. 已知两个连续正整数的乘积为56，求这两个数。 4. 微信群内每两人互相发一条祝福消息，总消息数为42条，求群内参与发消息的人数。 （二）能力提升题（共4题） 1. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，该两位数的数值恰好等于个位数字平方，求这个两位数。 2. 学校组织乒乓球比赛，参赛选手每两人比赛一场，共计比赛45场，求参赛选手总人数。 3. 两个连续偶数的乘积为168，求这两个连续偶数。 4. 新年期间，小组内同学两两互赠贺卡，共送出56张贺卡，求小组的总人数。 （三）拓展培优题（共2题） 1. 一个两位数，十位数字比个位数字小2，将十位数字与个位数字调换位置后，新两位数与原两位数的乘积为1224，求原两位数。 2. 某次学术交流会，参会人员每两人握手一次，若增加3人参会，则总握手次数增加39次，求原来参会的人数。 三、参考答案及详细解析 （一）基础巩固解析 1. 解析：设十位数字为$$x$$，个位数字为$$9-x$$。列方程：$$x(9-x)=18$$，整理得$$x^2-9x+18=0$$，解得$$x_1=3，x_2=6$$。对应个位数字为6、3，两位数为36或63。答：这个两位数为36或63。 2. 解析：设参与人数为$$x$$，握手无重复，列方程$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=28$$，整理得$$x^2-x-56=0$$，解得$$x=8$$（负根舍去）。答：参与同学共8人。 3. 解析：设较小正整数为$$x$$，较大数为$$x+1$$，列方程$$x(x+1)=56$$，解得$$x=7$$。答：两个数为7和8。 4. 解析：设人数为$$x$$，互发消息为双向循环，列方程$$x(x-1)=42$$，解得$$x=7$$（负根舍去）。答：群内共7人。 （二）能力提升解析 1. 解析：设十位数字为$$x$$，个位数字为$$x+3$$，原数为$$10x+x+3$$。列方程：$$11x+3=(x+3)^2$$，整理得$$x^2-5x+6=0$$，解得$$x_1=2，x_2=3$$，对应两位数为25、36。答：两位数为25或36。 2. 解析：设参赛人数为$$x$$，列方程$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$$，整理得$$x^2-x-90=0$$，解得$$x=10$$。答：参赛选手共10人。 3. 解析：设较小偶数为$$x$$，较大偶数为$$x+2$$，列方程$$x(x+2)=168$$，解得$$x=12$$或$$x=-14$$。正整数解为12、14。答：两个连续偶数为12和14。 4. 解析：设小组人数为$$x$$，互赠贺卡双向计数，列方程$$x(x-1)=56$$，解得$$x=8$$。答：小组共8人。 （三）拓展培优解析 1. 解析：设原数个位数字为$$x$$，十位数字为$$x-2$$，原数$$10(x-2)+x=11x-20$$，新数$$10x+x-2=11x-2$$。列方程：$$(11x-20)(11x-2)=1224$$，化简得$$x^2-2x-8=0$$，解得$$x=4$$（负根舍去），原两位数为24。答：原两位数为24。 2. 解析：设原来参会人数为$$x$$，原握手次数$$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$，增加后人数$$x+3$$，总次数$$\dfrac{1}{2}(x+3)(x+2)$$。列方程：$$\dfrac{1}{2}(x+3)(x+2)-\dfrac{1}{2}x(x-1)=39$$，化简解得$$x=12$$。答：原来参会人数为12人。本题结合人数变化考查循环模型，综合性强，是期末高频考题。 四、易错点总结 1. 混淆循环题型公式，握手、比赛用$$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$，互赠、互发消息用$$x(x-1)$$，双向单向模型混用是最高频错误；2. 数字问题数位表示错误，忽略十位数字需乘10，直接用单个数字相加相乘列式；3. 未遵循数字取值范围，出现十位为0、数字大于9的错误解；4. 解方程后不验根，保留小数、负数人数，不符合实际意义；5. 连续奇数、偶数问题，误将差值设为1，导致方程建模错误。解题需精准区分题型模型，规范数位表示，严格验根取舍。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 通过阅读课本学生可以根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，培养学生的应用意识. 学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，提高学生的模型意识. 通过教师讲解学生可以感受用一元二次方程解决相关实际问题的必要性以及在实际背景下检验解的合理性，增强应用意识. 探究 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有  支球队参赛，那么比赛的总场数为 . 假设这个人算得对，即  支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300， 那么n(n-1)=300. 解方程，得. 由于1 201不是完全平方数，所以  不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 由总场数为n(n-1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，，240，272，306，. 探究新知 球赛类问题的解决策略 类型 等量关系 单循环赛：每两支球队之间比赛一场. 类似的还有握手问题、多边形对角线条数等. m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 类似的还有互发微信、车票类型等. m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 探究新知 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； 例1 解：(1) 小诚的说法有道理. 理由如下： 设有x人报名参赛，由题意，得 解得 ∵  x1 与 x2 都不是整数，∴ 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理. 探究新知 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛. 例1 解：(2) 设原来有  人参加比赛，则 解得x1=9，x2=-6 (不符合题意，舍去). ∴ 原来有 9 人参加比赛. 探究新知 知识点1 单循环问题 1.［教材P 23练习T 1 变式］参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有 人共握手15次，问有多少个人参加聚会？ 解：设有 个人参加聚会.第1个人分别与其他________个人握手，第2个 人分别与其他________个人握手……依此类推，共 个人，如此共握手 _________次，但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的，因此， 个人每两人之间握一次手共握了__________次，于是得到方程： _______________. 返回 举一反三 7 2.某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，该比赛共进行了 36场，设有 支队伍参赛，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 8 3.[武汉期中] 在某个商品交易会上，参加商品交易会的每两家公司之间 都只签订了一份合同，所有公司共签订355份合同，则参加交易会的公 司有多少家？ 解：设参加交易会的公司有 家， 根据题意得 ， 解得， （负值舍去）. 答：参加交易会的公司有11家. 返回 举一反三 9 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元 降价前 降价后 (方法一：设销售单价降低x元) 分析： 60−x−40 300+20x (60−x−40)(300+20x)=6 080 60-40 300 探究新知 解：方法一（间接设未知数）设商品的销售单价应降低x元， 则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件， 列方程，得(60-x-40)(300+20x)=6 080. 整理，得x2-5x+4=0. 解方程，得x1=1，x2=4， 要使顾客得实惠，取x=4，所以销售单价定为56元， 答：应将销售单价定为56元. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 探究新知 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元 降价前 60−40 300 降价后 (方法二：设销售单价为x元) 分析： x−40 300+20(60−x) (x−40)[300+20(60−x)]=6 080 探究新知 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 解：方法二（直接设未知数）设销售单价为x元. 列方程，得 (x-40)[300+20(60-x)]=6 080. 整理，得 x2-115x+3 304=0. 解方程，得 x1=56，x2=59. 要使顾客得实惠，取x=56. 答：应将销售单价定为56元. 探究新知 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则售价应降低多少元？ 解：设售价应降低a元. 列方程，得(100-a-60)(20+2a)=1 200， 整理，得a2-30a+200=0， 解得a1=10 ， a2=20. ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴a=20. 答：售价应降低20元． 跟踪训练 探究新知 知识点2 双循环问题 4.［教材 探究3变式］要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式，赛 程计划安排5天，每天安排4场比赛.设共有 个队参加比赛，则可列方程 为________________. 返回 举一反三 15 5. 某班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式 后万分激动，王老师让全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效 祖国.已知共赠勉励卡1 640张，则全班共有多少名学生？ 解：设全班共有 名学生，根据题意得 ， 解得 （不合题意，舍去）， . 答：全班共有41名学生. 返回 举一反三 16 知识点3 其他问题 6.中秋节前，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元.中秋 节过后，月饼因滞销而降价，若每盒降价1元，则每天可多售出2盒. 设每盒应降价 元，则降价后每盒盈利_________元，每天可多售出____ 盒，每天一共售出___________盒，所以每天可获利_________________ ____元，若要平均每天盈利1 650元，则可列方程为_________________ ____________. 返回 举一反三 17 7. 秦腔是陕西地方戏的主要剧种，也是我国现存戏曲艺 术中最古老的剧种之一.网店老板小王近期购进一批进价为15元/件的秦 腔系列盲盒，销售一段时间后，发现该盲盒每月的销量 （件）与每件 的售价（元）之间的关系满足一次函数： .要使该盲 盒的月销售利润达到2 500元，求该盲盒的售价为每件多少元. 解：由题意得 ， 解得， . 答：该盲盒的售价为每件25元或40元. 返回 举一反三 18 8. 某旅行社在国庆期间接待了一个亲友旅游团.游玩时， 导游先给该旅游团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影.为 了保证每位旅游团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印 了256张照片，则这个旅游团的人数为( ) C A.12 B.14 C.16 D.18 返回 举一反三 19 9.［教材P 23练习T 2 变式］我们都知道四边形的对角线有2条，五边形的 对角线有5条. （1）六边形的对角线有___条，七边形的对角线有____条. 9 14 举一反三 20 （2）多边形的对角线可以有20条吗？如果可以，求出多边形的边数； 如果不可以，请说明理由. 解：可以.设这个多边形的边数为 ， 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：多边形的对角线可以有20条，这个多边形的边数为8. 返回 举一反三 21 10.[沈阳期末] 某商店以20元/千克的单价新 进一批商品，经调查发现，在一段时间内， 销售量（千克）与销售单价 （元/千克） 之间的函数关系如图所示. （1）求与 之间的函数关系式. 解：设 ， 将和代入，得解得与 之间 的函数关系式为 . 举一反三 22 （2）现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到800元，求销售单价应 定为每千克多少元. 解：当销售利润达到800元时， ，即 ，解得, 要尽快售完该商品， 应舍去． 答：销售单价应定为40元/千克. 举一反三 23 （3）销售利润能达到1 000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能， 请说明理由. 解：销售利润不能达到1 000元． 理由：当销售利润达到1 000元时， ，即 ， 整理得 ， ， 方程没有实数根， 销售利润不能达到1 000元. 返回 举一反三 24 实际问题与 一元二次方程 球赛问题 销售问题 单循环：m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环：m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $