25.3.3循环问题与数字问题-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程实际应用，涵盖循环问题、数字问题及图形面积问题，通过设计书封面边衬宽度的情境导入，先回顾公式搭建基础，再引导分析图形数量关系，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以真实情境（封面设计、日历数字等）为载体，培养数学眼光（发现现实数量关系）、数学思维（推理列方程并检验合理性）和数学语言（构建方程模型）。采用自主探究与例题解析结合的方法，课堂小结梳理几何与方程联系，帮助学生增强应用意识，教师可借助系统练习提升教学效率。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 25.3.3 实际问题与一元二次方程（循环问题与数字问题）练习题 知识点回顾：本节包含两类经典一元二次方程实际应用题型。1.循环问题（握手、球赛、互赠礼物）：无单向重复的握手、单循环赛制通用公式$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=\text{总次数}$$；有双向重复的互赠贺卡、互送礼物问题通用公式$$x(x-1)=\text{总数量}$$。2.数字问题：设个位、十位、百位数字为未知数，两位数表示为$$10a+b$$，三位数表示为$$100a+10b+c$$，根据数字和、数字平方、数字颠倒前后的关系列方程，结合数字0-9的整数条件取舍解。 一、选择题（每题4分，共20分） A. $$x(x-1)=28$$ B. $$\dfrac{1}{2}x(x-1)=28$$ C. $$x(x+1)=28$$ D. $$\dfrac{1}{2}x(x+1)=28$$ 2. 一个两位数，十位数字为3，个位数字为$$x$$，该两位数可表示为（） A. $$3x$$ B. $$3+x$$ C. $$30+x$$ D. $$10x+3$$ 3. 班级同学互赠贺卡，全班共送出42张贺卡，设班级有$$x$$人，列方程为（） A. $$x(x-1)=42$$ B. $$\dfrac{1}{2}x(x-1)=42$$ C. $$x^2=42$$ D. $$x(x+1)=42$$ 4. 两个连续正整数的乘积为56，这两个数是（） A. 7、8 B. 6、7 C. 8、9 D. 5、6 5. 单循环篮球赛共进行45场比赛，参赛队伍数量为（） A. 8支 B. 9支 C. 10支 D. 11支 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 单循环比赛（每两队只赛一场）的通用计算公式为__________。 2. 一个两位数，十位数字为$$x$$，个位数字比十位大2，这个两位数为__________。 3. 若干人两两握手，共握手45次，则参与握手人数为__________人。 4. 两个连续偶数的积为48，这两个偶数是__________。 5. 一个两位数，数字之和为8，交换个位与十位数字后，新数与原数乘积为1280，设原数十位数字为$$x$$，可列方程__________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）循环问题：某校组织班级足球单循环赛，计划安排21场比赛，求一共有多少支球队参赛？ 2.（20分）数字基础问题：有一个两位数，十位数字比个位数字小3，两个数字的乘积等于这个两位数的一半，求这个两位数。 3.（20分）综合应用题：全班同学互赠新年贺卡，总共送出90张贺卡，求该班级的学生人数。 参考答案 一、选择题：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 二、填空题：1.$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=\text{总场数}$$ 2.$$11x+2$$ 3.10 4.6、8或-8、-6 5.$$(10x+8-x)[10(8-x)+x]=1280$$ 三、解答题：1.解：设共有$$x$$支球队参赛。根据单循环公式得：$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=21$$，整理得$$x^2-x-42=0$$，因式分解得$$(x-7)(x+6)=0$$，解得$$x_1=7$$，$$x_2=-6$$（人数为正，舍去）。答：一共有7支球队参赛。 2.解：设个位数字为$$x$$，则十位数字为$$x-3$$，这个两位数为$$10(x-3)+x=11x-30$$。列方程：$$x(x-3)=\dfrac{1}{2}(11x-30)$$，整理得$$2x^2-17x+30=0$$，解得$$x_1=6$$，$$x_2=\dfrac{5}{2}$$（数字为整数，舍去）。十位数字为3，两位数为36。答：这个两位数是36。 3.解：设班级有$$x$$名学生。互赠贺卡为双向循环问题，列方程：$$x(x-1)=90$$，整理得$$x^2-x-90=0$$，解得$$x_1=10$$，$$x_2=-9$$（舍去）。答：该班级学生人数为10人。 25.3.3循环问题与数字问题 学习目标 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2.通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(重、难点) 3.通过教师讲解学生可以感受用一元二次方程解决相关实际问题的必要性以及在实际背景下检验解的合理性，增强应用意识. 学习目标 新课导入 导入课题 要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 .如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 推进新课 知识点 用一元二次方程解决图形的面积问题 如图，要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 .如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面 面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、 右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度 （结果保留小数点后一位）？ ①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21=9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推： 设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm.由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ②设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？ 列出的方程为整数式，方便计算 ③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？ 原方程可化为 ④方程的哪个根符合实际意义？为什么？ 符合实际意义，因为 时， 上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况. ⑤如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是： 设中央矩形的长为9xcm.则宽为7xcm. 列方程得 .即x2= , 解得 (舍去). ∴上下边衬的宽为 (cm) 左右边衬的宽为 (cm) 知识点1 循环问题 1. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式 后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠 勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国.已知共赠勉励卡 1 560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共 有 名学生，根据题意可列方程为( ) B A. B. C. D. 中考考法 9 ⑥练习：要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？ 根据题意，得 . 整理得，8x2+204x-319=0,解得 . ∴x1= ,x2= (不合题意，舍去). ∴x= ≈1.5. 答：镜框的宽度约为1.5cm. 随堂演练 基础巩固 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的 面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A.8cm B.64cm C.8cm2 D.64cm2 直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.则其两条直角边长分别是 、 . D 6cm 8cm 3. 在长方形钢片上裁掉一个长方形，制成一个四周 宽相等的长方形框 .已知长方形钢片的长为30cm， 宽为20cm, 要使制成的长方形框的面积为400cm2， 求这个长方形框的边框宽. 解：设长方形框的边框宽为xcm . 依题意得，(30-2x)(20-2x)= 600-400 . 整理，得x2-25x+100=0, 解得x1=5, x2=20(舍去) . ∴x=5. 答：这个长方形框的边框宽为5cm . 2.[2026南昌期中] 在某元宇宙平台举办的行业峰会上，每位 参会者都通过 设备与其他所有参会者进行了一次击拳致意， 若系统后台显示共有15次击拳记录，则参加这次会议的人数 是___. 6 中考考法 14 知识点2 数字问题 3. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数 字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4， 则这个两位数是( ) B A. 26 B. 84 C. 48 D. 62 中考考法 15 4. [2026广州期中] 如图是小明与的对话， 在深度思 考后，给出的正确答案是( ) 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个 数，最后加上1，其运算结果和这个数相同. 深度思考中… 开启新对话 给 发送消息 88深度思考联网搜索 A A. 1 B. C. D. 1或 中考考法 16 5.2025年7月1日是建党104周年纪念日， 在本月月历表上可以用一个方框圈出4 个数（如下图所示）.若圈出的4个数中， 最小数与最大数的乘积为84，求这个 最小数. 中考考法 17 【解】 设这个最小数为，则最大数为 . 依题意，得 . 整理，得 ， 解得， （不合题意， 舍去）. 故这个最小数为6. 中考考法 18 课堂小结 与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形等，涉及到三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等。 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $