25.3.2传播问题与变化率问题-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播问题与变化率问题，系统梳理传播模型（(1+x)^2）和变化率模型（a(1±x)^2=b）及解题步骤，通过病毒传播、成本下降等实际问题导入，衔接方程解法，为应用建模搭建学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，如病毒传播问题引导抽象模型；分层练习（基础到拓展）与规范解题步骤培养数学思维，提升推理和运算能力；课堂小结用表格归纳公式，强化数学语言表达。学生能提升建模能力，教师可获分层教学资源与详细解析，高效教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3.2传播问题与变化率问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 人教版数学九年级上册25.3.2传播问题与变化率问题专项练习 一、核心知识点梳理 传播问题与变化率问题是一元二次方程实际应用的高频必考题型，区别于几何问题，属于代数类实际建模题型。两类问题均有固定的通用公式模型，核心思想是根据增长、传播的倍增规律列方程，结合实际场景取舍根，题型套路性强、解题思路固定，是中考解答题基础核心考点。 1. 病毒/信息传播问题模型：基础传播公式，设每轮每人传播$$x$$人，初始基数为1。第一轮传播后总人数：$$1+x$$；第二轮传播后总人数：$$(1+x)^2$$。通用结论：两轮传播总数量为$$\boldsymbol{(1+x)^2}$$，多轮传播可依据此规律递推，解题核心是找准传播基数与倍增关系。 2. 增长率/下降率问题模型：平均变化率通用公式$$\boldsymbol{a(1\pm x)^2=b}$$。其中$$a$$为初始基数，$$x$$为平均增长率（增长取加号，下降取减号），$$2$$为变化轮次，$$b$$为变化后的最终数量，适用于产量、销量、利润、成本、人口等增减变化问题。 3. 通用解题步骤：审题确定题型（传播/变化率）；找准初始量、变化次数、最终量；代入对应模型列出一元二次方程；规范解方程；结合实际意义验根，舍去负数根、不符合增长率范围的根。 4. 核心解题原则：传播问题人数、变化率均为正数，增长率取值范围为$$0<x<1$$，超出范围的解无实际意义，必须舍去，这是此类题型最关键的验根要点。 二、分层专项练习题 （一）基础巩固题（共4题） 1. 某种病毒传播速度极快，若一人携带病毒，每轮每人传染相同人数，经过两轮传播后共有121人感染，求每轮每人传染的人数。 2. 某商店今年月度营业额为5万元，连续两个月保持相同增长率，下月营业额达到6.05万元，求月平均增长率。 3. 一条趣味视频在网络传播，一人发布后，每轮每人转发给相同数量的人，两轮传播后共81人看到视频，求每人每轮转发的人数。 4. 某产品原价100元，经过两次相同幅度降价后，售价为81元，求每次的降价百分率。 （二）能力提升题（共4题） 1. 某种流感病毒，经过两轮传播后感染总人数为144人，若传播规律不变，求每轮平均一人传染几人？三轮传播后共有多少人感染？ 2. 某工厂一月份生产零件2000个，三月份生产零件2420个，若二、三月份月平均增长率相同，求月平均增长率。 3. 某品牌手机连续两次降价，单次降价百分率相同，原价3000元，两次降价后售价2430元，求每次降价的百分率。 4. 校园反诈宣传活动中，同学相互宣讲，一人启动宣讲，两轮后共有169名同学知晓反诈知识，求每轮每人宣讲的人数。 （三）拓展培优题（共2题） 1. 某养殖户年初养殖家禽200只，经过两轮繁殖增长（每轮增长率相同），年底总数量达到288只，求每轮的平均增长率。 2. 某短视频账号粉丝量持续增长，第一个月粉丝1000人，连续两个月同比增长，第三个月粉丝量达到1210人，若每月增长率固定，求月增长率，以及第四个月的粉丝数量。 三、参考答案及详细解析 （一）基础巩固解析 1. 解析：设每轮每人传染$$x$$人，根据传播模型列方程：$$(1+x)^2=121$$，开方得$$1+x=\pm11$$，舍去负根$$x=-12$$，解得$$x=10$$。答：每轮每人传染10人。 2. 解析：设月平均增长率为$$x$$，代入增长率公式：$$5(1+x)^2=6.05$$，化简得$$(1+x)^2=1.21$$，解得$$x=0.1=10\%$$（负根舍去）。答：月平均增长率为10%。 3. 解析：设每人每轮转发$$x$$人，列方程$$(1+x)^2=81$$，解得$$x=8$$。答：每人每轮转发8人。 4. 解析：设每次降价百分率为$$x$$，列方程$$100(1-x)^2=81$$，化简得$$(1-x)^2=0.81$$，解得$$x=0.1=10\%$$（大于1的根舍去）。答：每次降价10%。 （二）能力提升解析 1. 解析：设每轮传染$$x$$人，$$(1+x)^2=144$$，解得$$x=11$$。三轮传播后总人数：$$(1+11)^3=1728$$人。答：每轮传染11人，三轮后1728人感染。 2. 解析：设月平均增长率为$$x$$，初始量2000，列方程$$2000(1+x)^2=2420$$，化简得$$(1+x)^2=1.21$$，解得$$x=10\%$$。答：月平均增长率为10%。 3. 解析：设每次降价百分率为$$x$$，列方程$$3000(1-x)^2=2430$$，化简得$$(1-x)^2=0.81$$，解得$$x=10\%$$。答：每次降价10%。 4. 解析：设每轮每人宣讲$$x$$人，列方程$$(1+x)^2=169$$，解得$$x=12$$。答：每轮每人宣讲12人。 （三）拓展培优解析 1. 解析：设每轮平均增长率为$$x$$，列方程$$200(1+x)^2=288$$，化简得$$(1+x)^2=1.44$$，解得$$x=0.2=20\%$$（负根舍去）。答：每轮平均增长率为20%。 2. 解析：设月增长率为$$x$$，列方程$$1000(1+x)^2=1210$$，解得$$x=0.1=10\%$$。第四个月粉丝量：$$1210\times(1+10\%)=1331$$人。答：月增长率10%，第四个月粉丝1331人。本题结合递推增长规律，考查变化率的延伸应用，综合性较强。 四、易错点总结 1. 传播问题记错模型，误将两轮传播总人数算成$$1+x+x^2$$，混淆新增人数与总人数概念；2. 变化率问题混淆增长与下降公式，错用加减符号，导致方程列写错误；3. 解方程后不验根，保留负数增长率、大于1的降价率等不合理根；4. 审题不清，混淆“增长次数”与“月份数”，错误套用平方模型；5. 计算百分数时换算失误，小数与百分数转换不规范。解题核心口诀：传播看总人数，增减套公式，得数必验根，严格区分新增量与总量，规避基础失误。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 通过阅读课本可以根据实际传播问题中的等量关系列出方程，掌握应用题的解题步骤，提高学生的模型意识. 通过用一元二次方程解决实际问题，提高从相关实际问题中抽象并表达出等量关系的能力. 通过教师讲解学生可以感受用一元二次方程解决相关实际问题的必要性以及在实际背景下检验解的合理性，增强应用意识. 探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人. 开始有 1 个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x 个人， 用代数式表示，第一轮后共有________个人被传染； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个人， 用代数式表示，第二轮后共有_________________________个人被传染. (1+x) [1+x+x(1+x)] 探究新知 探究 1 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 解：列方程 1+x+x(1+x)=121. 解方程，得 x1​=10，x2​=−12 (不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人. 探究新知 经过三轮传染后共有121×10+121=1 331(个)人被传染. 思考： 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 由此体会阻断病毒传播的必要性. 探究新知 思考： 如果按这样的传染速度，n轮传染后有多少人患了流感？ 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x＝x 1＋x 第二轮 1＋x (1＋x)·x 第三轮 第 n 轮 (1+x)n (1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3 1+x+(1+x)·x =(1+x)2 (1+x)2 (1+x)2·x (1+x)n-1 (1+x)n-1·x 探究新知 类型 等量关系 病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 传播问题的解题策略 探究新知 例1 癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞． （1）求一个癌细胞每轮分裂出多少个癌细胞． 解：（1）设一个癌细胞每轮分裂出x个癌细胞， 由题意，得(x+1)2=12 100. 解得x1=109，x2=-111（不合题意，舍去）. 答：一个癌细胞每轮分裂出109个癌细胞. 探究新知 例1 癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞． （2）若以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有多少个癌细胞？ 解：（2）以相同的分裂速度再经过两轮分裂，分裂后的癌细胞为： 12 100×（109+1）2=146 410 000（个）. 答：以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有146 410 000个癌细胞． 探究新知 知识点1 传播问题 1.有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有___人患了流感； 第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了____人，第二轮过 后共有____人患了流感. 7 42 49 返回 举一反三 10 2.[黄冈模拟] 某班一物理课代表在老师培训后学会了某个物理实验操作， 回到班上第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教 会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验.若设1人每次都能 教会 名同学，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 11 3.[教材P22练习T1变式] 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一 种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出 个小分支.若在1 个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则 等于( ) C A.4 B.5 C.6 D.7 返回 举一反三 12 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10 000-6 000)÷2=2 000(元)， 乙种食品成本的年平均下降额为(12 000-7 200)÷2=2 400(元) . 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 但年平均下降额（元）不等于年平均下降率（百分数）. 探究新知 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为  元， 两年后甲种食品成本为  元，于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考：为什么选择22.5%作为答案？ 因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1的正数，所以选择22.5%作为答案. 探究新知 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 设乙种食品成本的年平均下降率为y. 根据题意，得12 000(1-y)2=7 200. 解得y1≈0.225，y2≈1.775（舍去）. 所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 成本下降额大的食品，它的成本下降率不一定大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 探究新知 类型 等量关系 正增长、负增长 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. 增长率问题的解题策略 探究新知 某网络销售公司计划第二季度销售额达到1 200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x,根据题意所列方程正确的是（　　） 例2 A．310（1+x%）2=1 200 B．310（1+x）+310（1+x）2=1 200 C．310（1+x）2=1 200 D．310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200 解析：设5、6月的销售额月平均增长率为x, 则5月份的销售额为310（1+x）万元， 6月份的销售额为310（1+x）2万元， 根据第二季度销售额达到1 200万元，可得310+310（1+x）+310（1+x）2=1 200． D 探究新知 4.［教材 探究1变式］冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感， 经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 个人，由题意得 ，解得， （不合题意，舍 去）. 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人. 返回 举一反三 18 知识点2 平均变化率问题 5. 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下， 对某款纯电动的新能源汽车连续两次降价，平均每次降价的百分率为 . 已知这种新能源汽车的原价是每辆25万元，则第一次降价后每辆的售价 为__________万元，第二次降价后每辆的售价为___________万元.若经 过两次降价后这种新能源汽车的售价为每辆16万元，则可列方程为 ________________. 返回 举一反三 19 6.[广东中考] 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现 快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7 月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为 ， 则可列出的方程为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 20 7.一种药品原价为每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百 分率相同，则每次降价的百分率为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 21 8. 2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射升空.某纪念 品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型.已 知该模型11月售出256件，12月、次年1月销量持续走高，1月售出400件， 求12月、1月这两个月的月平均增长率. 解：设12月、1月这两个月的月平均增长率为 ，根据题意得 ，解得， （不合题意，舍 去）. 答：12月、1月这两个月的月平均增长率为 . 返回 举一反三 22 9.某社区为改善环境，决定加大绿化投入.四月份绿化投入25万元，四至 六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平 均增长率相同.设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为 ，根据题 意所列方程为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 23 10.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定通过某社交平台转发的 方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的社交平台 上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有 111人参与了传播活动，则 的值为( ) C A.12 B.11 C.10 D.9 返回 举一反三 24 实际问题与 一元二次方程 传播问题 增长率问题 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $