重难点02：常用逻辑中的四类参数问题讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高一数学常用逻辑中的四类参数问题，从命题真假判断（转化为恒成立或存在性问题）到充分、必要、充要条件下的参数求解，搭建从逻辑关系到集合转化的学习支架，系统梳理参数问题的解决路径。 本资料通过结构化方法点拨（如条件关系转化为集合关系）和分层例题（含名校期中题），培养学生用数学思维进行逻辑推理，用数学语言表达参数关系。课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，弥补逻辑推理与参数求解的知识盲点。

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点02 常用逻辑中的四类参数问题 题型一、根据命题的真假求参数 【方法点拨】1.命题为真 对中任意一个，不等式/等式恒成立，转化为恒成立问题： （1）一次型：分斜率正负讨论最值； （2）二次型：开口+判别式/区间最值； （3）分离参数：恒成立；恒成立。 2.命题为假 只需找到至少一个使不成立，等价于其否定为真。 1.若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） 2.命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 3．已知命题，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是（    ） 4.已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 5.（25-26上海市 育才中学高一上期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是____________． 6.已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 题型二、根据充分条件、充分不必要条件求参数 【方法点拨】1 若命题p成立，则命题q成立，同时若命题q成立，则命题p不成立，那p是q的充分不必要条件； 2 根据充分不必要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。 7. 若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是___________． 8. 已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 9.条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） 10.条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） 11.已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 12.已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 题型三、根据必要条件、必要不充分条件求参数 【方法点拨】1 若命题q成立，则命题p成立，同时若命题p成立，则命题q不成立，那p是q的必要不充分条件； 2 根据必要不充分条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。 13.（2026高一·上海·期末）设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 14.已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 15.已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17. 已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19.已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根. (1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围. 题型四、根据充要条件求参数 【方法点拨】1 若命题p成立，则命题q成立，同时若命题p成立，则命题q成立，那p是q的充要条件； 2 根据充要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。 20.设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 21．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 22. 方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 23.若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 1.给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的范围是_______ 2.已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 3.（2026·高一·上海·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 4. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的最小值为______. 5．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 7．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 8．关于的方程的解为的充要条件是 ． 9．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 10．已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 11．已知集合，，. (1)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 12．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. (1)求集合A与集合B； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 13．设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 14.已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点02 常用逻辑中的四类参数问题 题型一、根据命题的真假求参数 【方法点拨】1.命题为真 对中任意一个，不等式/等式恒成立，转化为恒成立问题： （1）一次型：分斜率正负讨论最值； （2）二次型：开口+判别式/区间最值； （3）分离参数：恒成立；恒成立。 2.命题为假 只需找到至少一个使不成立，等价于其否定为真。 1.若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） 【答案】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 2.命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【分析】根据题意可得，进而最值可得，即可得结果. 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 3．已知命题，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是（    ） 【答案】 【分析】利用命题为真命题结合二次函数判别式建立不等式，求解实数a的取值范围. 【详解】由题意可知，解得 4.已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或. 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【详解】（1）当时，，而或， 则，或. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由题意，则或，即或， 故的取值范围为或. 5.（25-26上海市 育才中学高一上期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是____________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于方程，变形可得，解可得或， 若为真命题，则或，则有， 对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或， 若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况， ①假真，为假时，或；为真时，或， 假真不能同时成立，此时无解； ②真假，为真时，；为假时，且， 此时或； 综合可得：或，即的取值范围为． 故答案为：． 6.已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 题型二、根据充分条件、充分不必要条件求参数 【方法点拨】1 若命题p成立，则命题q成立，同时若命题q成立，则命题p不成立，那p是q的充分不必要条件； 2 根据充分不必要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。 7. 若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围 【详解】由“”是“”充分条件，知，故实数的取值范围为． 故答案为： 8. 已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 9.条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） 【答案】 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 10.条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） 【答案】 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 11.已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 12.已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 题型三、根据必要条件、必要不充分条件求参数 【方法点拨】1 若命题q成立，则命题p成立，同时若命题p成立，则命题q不成立，那p是q的必要不充分条件； 2 根据必要不充分条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。 13.（2026高一·上海·期末）设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】若是的必要条件， 则， 故可得. 故答案为： 14.已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 15.已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D 16. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 18．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 19.已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根. (1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1)存在， (2)或 【分析】（1）假设存在，即，根据根与系数的关系求解即可； （2）由题意转化为B A，根据集合的包含关系列出不等式组求解即可. 【详解】（1）假设存在满足条件的实数a，则，即，. 因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以， 即，解得，即当时，“”是“”的充要条件. （2）由题意可知，关于x的方程的两根分别为和. 因为“”是“”的必要不充分条件，所以B A . 当，即时，， 则解得； 当，即时，， 则解得. 综上，a的取值范围是或. 题型四、根据充要条件求参数 【方法点拨】1 若命题p成立，则命题q成立，同时若命题p成立，则命题q成立，那p是q的充要条件； 2 根据充要条件求参数，先把命题p、q当成真命题进行化到最简的形式，再把它们分别视为集合，则有；最后根据集合的关系求出参数或其取值范围。 【注意】化简的过程保持严谨，作到等价转化；求参数范围时要注意等号是否能取到。 20.设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 21．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 22. 方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，解得. 故选：A 23.若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 1.给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的范围是_______ 【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【详解】当方程没有实数根时，有，得到， 2.已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得. 故答案为： 3.（2026·高一·上海·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【解析】由α是β的充分条件，可得是的子集， 即， 故答案为：. 4. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的最小值为______. 【答案】2 【解析】由，解得. 又p是q的充分不必要条件，所以为的真子集，得. 所以实数a的最小值为2. 故答案为：2. 5．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求． 【详解】由可得，即， 由可得， 即， 又因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或，解得， 故答案为：． 6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求解含绝对值的不等式，根据充分不必要条件得到集合之间的包含关系，再列式求解参数范围即可. 【详解】不等式，即，因此解集为， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 有（等号不同时成立），解得，经验证，符合题意. 故答案为：. 7．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】解不等式，根据必要不充分条件的定义可得出集合的包含关系，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由得，解得， 因为“”是“”的必要不充分条件， 则是的真子集，故，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．关于的方程的解为的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 9．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 10．已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围； （2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可. 【详解】（1）集合， 若存在，使得，只需集合在内有解， 即大于在内的最小值， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在内的最小值为， 所以，解得， 所以的范围为； （2）由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件． 11．已知集合，，. (1)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）由题设有、，讨论、分别判断是否符合题设，并确定的值； （2）由题设有，讨论集合，并利用一元二次方程根与系数关系、判别式求的取值范围. 【详解】（1）， 因为命题：“，都有”是真命题，所以， 因为， 所以当时，，则，即； 当时，，显然是的真子集. 综上，或. （2）由可得， 当时，，即； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，解得； 综上，的取值范围或. 12．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. (1)求集合A与集合B； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，求解含参的一元二次不等式的解得到； （2）根据是的必要不充分条件，故，即可求解. 【详解】（1）因为不等式对于一切实数恒成立， 所以，解得， 即． 因为，所以， 解得，即， （2）因为是的必要不充分条件，故， 即， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 13．设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式，得到，，利用交集概念求出答案； （2）求出，得到为的真子集，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）由得：，解得：，即， 当时，， 解得：，即； 故； （2）由（1）知：； 由得：， 即， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集. 或，解得， 即实数的取值范围为. 14.已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在. 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【详解】（1）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； （2）若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； （3）若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $