第1章 集合与逻辑（复习讲义）数学沪教版2020必修第一册

第一章 集合与逻辑（复习讲义） 1、了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义. 3、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 4、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 1、有限集的子集个数确定 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 2、集合的运算性质（注意包含关系优先考虑空集） （1）,,,,. （2）,,,,. （3） , , . 3、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 4、充分性与必要性（小范围能推出大范围，大范围推不出小范围） （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3） 若，则是的充要条件； （4）若且，则是的既不充分也不必要条件. 题型一 判断元素（集合）与集合的关系 【例1】（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合元素与集合的关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，由①知，，由②知，，即，因此，A正确； 对于B，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数， 因此，则，B正确； 对于C，由选项B知，，，由①知，，则当时，，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：D 【变式1-1】若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和的所属范围确定两集合的关系即可. 【详解】因为当时，为奇数，为整数， 所以集合A是集合B的真子集， 故选：B. 【变式1-2】集合，则 .（用“”或“”连接） 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，若，求出m、n的值，验证是否符合条件即可. 【详解】当时，有，满足. 所以. 故答案为： 【变式1-3】以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】①③⑤ 【分析】根据元素和集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：空集是任何集合的子集，故，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④或，故④错误； ⑤，故⑤正确； ⑥空集是任何集合的子集，故，故⑥错误； 故答案为：①③⑤ 题型二 根据元素与集合关系求参数 【例2】已知集合，且.求实数的值. 【答案】或0 【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，再进行检验即可得解. 【详解】因为，， 所以或，解得或或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当或，或，满足题意； 综上，实数的值为或0. 【变式2-1】（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 【答案】8 【分析】由元素与集合的关系，求出可能的取值，关于x的方程有实数解，分和两种情况，求满足条件的的值，得有序数对的个数. 【详解】已知， 时，解得或； 时，解得或； 时，解得， 又且，所以， 同理， 关于x的方程有实数解， 当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3； 当时，要使方程有实数解，需使，即， 若，则的值可以是，的个数为3； 若，则的值可以是，的个数为2； 所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8. 故答案为：8. 【变式2-2】已知集合，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，列出方程，求得的值，结合集合元素的互异性，即可求解. 【详解】因为，所以或，解得或， 当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去； 当时，经检验，符合题意，所以． 故答案为：． 【变式2-3】设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先写出，将代入解不等式即可. 【详解】由得， 因为，所以，即. 故答案为： 题型三 根据集合中元素个数求参数 【例3】设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】分与两种情况，根据题意讨论求解即可. 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或 【变式3-1】（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 【变式3-2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 【变式3-3】已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【分析】对分，两类讨论即可得解. 【详解】由题意，方程只有一个解， 当时，有一解，符合题意， 当时，一元二次方程有一解， 只需，解得， 综上，或， 故答案为： 题型四 两个集合相等 【例4】已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【分析】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 【变式4-1】已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高一上·上海静安·开学考试）若集合=集合，则满足条件的的解集为 【答案】 【分析】根据集合相等，元素相同，即可求解 【详解】因为= 所以 或 故答案为： 题型五 列举法与描述法 【例5】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 【答案】 【分析】由条件可得为的正约数，且，由此确定结论. 【详解】因为， 所以为的正约数，且， 所以或或或， 所以或或或， 所以. 故答案为：. 【变式5-1】用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据，对列举求解即可. 【详解】， ， ， 故答案为：. 【变式5-2】设集合，则用列举法表示集合为 . 【答案】 【分析】根据、求出的可能取值，即可得出集合. 【详解】当时，则，可得， 因为，则，则，故. 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高一上·上海普陀·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】由，，即可求出的值构成的集合． 【详解】，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 集合， 故答案为：． 题型六 子集（真子集）个数问题 【例6】（24-25高一上·上海·期中）集合满足，则这样的集合有 个. 【答案】16 【分析】分析集合中的元素个数，由于，则符合的集合个数即可确定. 【详解】，则当时，； 当时，； 当时，； 所以 又，集合中有4个元素，为子集， 故符合这样的集合有. 故答案为：16. 【变式6-1】满足的集合M的个数为 个. 【答案】3 【分析】通过列举法即可求解. 【详解】由题意可知：可以是： ，，共3个， 故答案为：3. 【变式6-2】定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 【答案】 【分析】根据新集合定义结合子集个数公式可求出相应个数. 【详解】由题设中新集合的定义可得： ，，故， 故其子集个数为， 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是 . 【答案】15 【分析】根据集合的包含关系确定集合中的元素，从而得集合的个数． 【详解】因为，，， 所以中必含有元素1和2，元素3，4，5，6中至少含有一个，这样的有个. 故答案为：15. 题型七 根据集合的包含关系求参数 【例7】已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【变式7-1】已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 【变式7-2】已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先有，得，结合包含关系列出方程组即可求解. （2）结合A是B的真子集列出不等式组即可求解. 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数m的取值范围是. （2）若AB，则（等号不同时取得），解得，即实数m的取值范围是. 【变式7-3】已知集合，，且．求实数m的取值范围并用集合表示． 【答案】 【分析】分类讨论集合B是否为空集，结合集合的关系计算即可. 【详解】当，即时，，满足； 若，且满足， 如图所示，则，即,所以． 综上所述，m的取值范围为或，即所求集合为．    题型八 集合的综合运算 【例8】（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 【变式8-1】已知全集集合则 . 【答案】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由可得：. 故答案为： 【变式8-2】集合，则 ． 【答案】 【分析】化简集合，根据集合的并集运算得解. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 【变式8-3】（2025·上海黄浦·三模）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 题型九 根据集合运算结果求参数 【例9】（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或． (2) (3) 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合元素情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 【变式9-1】已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 【变式9-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 【变式9-3】已知集合. (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合的补集，再与集合求交集即得； （2）由可得，列出不等式组，解之即得. 【详解】（1），则， 又，则； （2），且， ，解得， 实数的取值范围为：. 题型十 判断充分性与必要性 【例10】用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如不能得到， 由，又，所以一定能得到. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 【变式10-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 且：，所以是的必要非充要条件. 故选：B 【变式10-2】若：“”，：“”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据由充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】由：，即，：， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【详解】由是的充分条件，且：，：， 可得：是的子集， 所以：. 故答案为：. 题型十一 根据充分必要性求参数 【例11】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式11-1】（24-25高一上·上海·期中）已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，解不等式组即可得解． 【详解】，， 是的充分条件， 则，解得， 故答案为：． 【变式11-2】（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 【变式11-3】（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，集合，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为 【答案】 【分析】将A是B的必要不充分条件转化为集合间的包含关系.，分集合是否为讨论可得. 【详解】A是B的必要不充分条件，则. 当，时， 即时，，满足题意； 当，即时，要使， 则且等号不同时取到， 解得，又，故无解. 综上所述，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为. 故答案为：. 题型十二 “是”字正序与“的”字倒序对比 【例12】已知，，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】得到为的真子集，从而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得为的真子集， 要满足（等号不同时成立），解得， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式12-1】使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件的定义解不等式即可. 【详解】由题意可知集合是的真子集， 即且等号不同时成立， 解之得，经检验符合题意. 故答案为： 【变式12-2】已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式12-3】已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【详解】若是的充分不必要条件，则，， 故有，解得，又，故. 故答案为： 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则 ．（用列举法表示） 【答案】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    【答案】 【分析】根据集合的交集以及补集的运算，可得答案. 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 3．若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 【答案】 【分析】由题意算出，由分别计算即可. 【详解】， ①若； ②； ③. 故答案为：. 4．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解. 【详解】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 5．已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 6．已知全集，，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的定义求解即可． 【详解】由题意得，， 故答案为：． 7．（24-25高一下·上海·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据集合交集的定义计算求解. 【详解】因为集合，， 则． 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海金山·期末）已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意有，由得即可求解. 【详解】由，即， 全集， 由，即， ，，，即． 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 【详解】由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. 故答案为：. 10．设是实数，集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【分析】先求解集合中的一元二次方程可得，由，分，，三种情况讨论，即得解. 【详解】由题意，集合， 若，且集合中至多有一个元素， 当时，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 综上，的取值集合是. 故答案为：. 11．已知命题：集合，命题，则命题与的推出关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】通过集合间的子集关系，借助数轴分析可得命题中，再由简易逻辑知识得到命题的等价性. 【详解】当命题为真时，由，得， 当命题为真时，，因此. 故选：C 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 13．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【详解】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2），， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 14．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 能力提升进阶练 1．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 【答案】 【分析】根据集合间关系的定义，判断集合中的元素是否都在集合中，以及集合中是否存在元素不在集合中，进而确定集合与的关系. 【详解】对于任意的，可以令，，因为， 此时，满足集合的形式，所以. 由的任意性可知，集合中的所有元素都在集合中，即. 取，，则，因为是无理数，即， 而满足集合中元素的形式，所以. 这表明集合中存在元素不在集合中. 由且集合中存在元素不在集合中，根据真子集的定义可知 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【答案】9 【分析】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 3．定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 【答案】/ 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个． 【答案】32 【分析】设集合，2，，，．任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，从而，是否属于由是否属于确定．设是中所有奇数的集合，则等于的子集个数．由此能求出结果． 【详解】设集合，2，，，．任取偶数，将除以2，若商仍为偶数， 再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为， 于是，其中为奇数，．由条件知， 若，则等价于为偶数； 若，则等价于为奇数． 于是是否属于由是否属于确定． 设是中所有奇数的集合，因此等于的子集个数． 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或， 所以， 所以，2，3，4，5，6，7，8，9，， 即同时满足三个条件的集合的个数为． 故答案为：32 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 5．已知集合，定义集合：，则中的子集个数为 【答案】231 【分析】根据题意，作出示意图，表示出集合的点，求得的取值，结合的定义，表示图象，得出中元素的个数，进而得到中的子集个数，得到答案. 【详解】由题意，集合， 可得集合中有5个元素，即5个点，如图所示的图中的黑点， 集合中有15个元素，即15个点， 即图中长方形内部及长方形的边上的整点， 又由或或或或或或，共由7个值； 或或或或，共由5个值； 所以集合中的元素可看作图中长方形边上除去四个顶点外的整点，共有个， 所以集合中的子集个数为个. 故答案为：. 6．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要涉及封闭集的定义概念，通过对每个结论逐一根据封闭集的定义进行判断来求解. 【详解】对于集合，取，，则，不满足封闭集的定义，所以①错误. 对于集合，设，，. ，因为，所以. ，因为，所以. ，因为，所以.满足封闭集的定义，所以②正确. 令，，都是封闭集. 中，取（），（），，不满足封闭集的定义，所以③错误. 因为对任意，有，所以若集合为封闭集，则一定有，所以④正确. 因为，为封闭集，设，则且. 因为是封闭集，所以，，. 因为是封闭集，所以，，. 所以，，，满足封闭集的定义，所以⑤正确. 故答案为：②④⑤. 7．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为 【答案】16 【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得. 【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人， 只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图， 则，由18人不支持德国，得， 由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，， 则，因此， 所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人. 故答案为：16 8．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 9．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 10．设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的定义，结合子集的意义判断各个命题即可. 【详解】对于集合，， 任意，即，则，即有， 因此对任意a，是的子集，命题③④错误； 对于集合，， 当时，，，则是的子集， 当时，，， 则不是的子集，命题①③错误， 所以对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，命题②正确，正确命题的个数为1. 故选：B 【点睛】思路点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假都需推理证明；判断全称量词命题为假、存在量词命题为真只需举例说明即可. 11．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 12．（24-25高一上·上海·期中）设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 【答案】(1)为封闭集，不是封闭集，理由见解析. (2)证明见解析. 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）结合反证法推理即可. 【详解】（1）对于集合，，，故为封闭集， 对于集合，，，故不是封闭集. （2）证明：非空集合是封闭集， 易得，假设是封闭集， 设，在中任取一个元素，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集， 同理当时，不是封闭集， 所以不是封闭集. 13．已知集合P为非空数集，定义，． (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求的最小值； (3)若集合，，且，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据根据和的定义即可得到结果； （2）先说明当时条件不满足，再说明当时条件满足，即可得到的最小值是. （3）先由的性质确定，然后反复讨论的取值，即可得到所要证明的结论. 【详解】（1）根据和的定义，有，. （2）当时，由于，故. 所以，，这与矛盾； 当时，对任意，由于，故，. 这就意味着，，所以. 综上，的最小值是. （3）由于，. 故，. 显然中不包含负数，且一定包含，故由知. 再由，，知，即. 进一步有，故，即. 再进一步有，故，即. 所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与逻辑（复习讲义） 1、了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义. 3、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 4、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 1、有限集的子集个数确定 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 2、集合的运算性质（注意包含关系优先考虑空集） （1）,,,,. （2）,,,,. （3） , , . 3、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 4、充分性与必要性（小范围能推出大范围，大范围推不出小范围） （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3） 若，则是的充要条件； （4）若且，则是的既不充分也不必要条件. 题型一 判断元素（集合）与集合的关系 【例1】（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式1-1】若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】集合，则 .（用“”或“”连接） 【变式1-3】以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 题型二 根据元素与集合关系求参数 【例2】已知集合，且.求实数的值. 【变式2-1】（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 【变式2-2】已知集合，且，则 . 【变式2-3】设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 题型三 根据集合中元素个数求参数 【例3】设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 【变式3-1】（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【变式3-2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【变式3-3】已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为 ． 题型四 两个集合相等 【例4】已知集合，，且，则集合 . 【变式4-1】已知集合，，若，则 . 【变式4-2】（24-25高一上·上海静安·开学考试）若集合=集合，则满足条件的的解集为 题型五 列举法与描述法 【例5】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 . 【变式5-1】用列举法表示集合 . 【变式5-2】设集合，则用列举法表示集合为 . 【变式5-3】（23-24高一上·上海普陀·期中）集合用列举法表示为 . 题型六 子集（真子集）个数问题 【例6】（24-25高一上·上海·期中）集合满足，则这样的集合有 个. 【变式6-1】满足的集合M的个数为 个. 【变式6-2】定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 【变式6-3】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是 . 题型七 根据集合的包含关系求参数 【例7】已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【变式7-1】已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-2】已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【变式7-3】已知集合，，且．求实数m的取值范围并用集合表示． 题型八 集合的综合运算 【例8】（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ． 【变式8-1】已知全集集合则 . 【变式8-2】集合，则 ． 【变式8-3】（2025·上海黄浦·三模）已知全集，集合，则 ． 题型九 根据集合运算结果求参数 【例9】（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【变式9-1】已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【变式9-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式9-3】已知集合. (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 题型十 判断充分性与必要性 【例10】用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要 【变式10-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式10-2】若：“”，：“”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 题型十一 根据充分必要性求参数 【例11】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式11-1】（24-25高一上·上海·期中）已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 【变式11-2】（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【变式11-3】（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，集合，若A是B的必要不充分条件，则m的取值范围为 题型十二 “是”字正序与“的”字倒序对比 【例12】已知，，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为 . 【变式12-1】使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【变式12-2】已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【变式12-3】已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则 ．（用列举法表示） 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    3．若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 4．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 5．已知集合若，则实数的取值范围是 . 6．已知全集，，则 ． 7．（24-25高一下·上海·期中）已知集合，，则 ． 8．（24-25高二上·上海金山·期末）已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知集合，且，则 ． 10．设是实数，集合，，若，则的取值集合是 ． 11．已知命题：集合，命题，则命题与的推出关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 14．（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 能力提升进阶练 1．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 2．（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 3．定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 4．（24-25高一上·上海·期中）设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个． 5．已知集合，定义集合：，则中的子集个数为 6．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 7．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为 8．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 9．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 12．（24-25高一上·上海·期中）设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 13．已知集合P为非空数集，定义，． (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求的最小值； (3)若集合，，且，求证：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$