1.5 二次函数的实际应用（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数的实际应用，系统梳理从生活情境抽象函数模型、利用性质解决最值与最优方案的核心知识点。通过“审设列解检”步骤支架，结合利润最值、面积最值、抛物线轨迹三大模型，衔接跨学科的匀变速运动问题，构建完整知识脉络。 资料以模型观念和数形结合为核心，设计刹车距离、烟花高度等真实情境问题，通过11类题型训练提升运算求解能力。课中助力教师开展实例教学，课后学生可借助分层练习巩固建模方法，有效弥补文字题理解与自变量范围忽略等难点。

第一章 二次函数 1.5 二次函数的实际应用 课标要点 1. 核心能力：能从生活情境中抽象出二次函数模型，利用函数性质解决最值、最优方案问题。 2. 关键要求：实际问题必须考虑自变量取值范围，结合现实取舍答案。 3. 核心素养：重点考查模型观念、数形结合、运算求解。 4. 常考场景：销售利润、几何面积、抛物线轨迹（拱桥、投篮、喷水）。 学习重难点 重点： 1. 会根据题意列出二次函数解析式； 2. 会用顶点式求最值，解决最优问题； 3. 掌握三大模型：利润最值、面积最值、抛物线建模。 难点： 1. 看不懂文字题，不会列函数式（每每型问题）； 2. 忽略自变量范围，顶点不一定是实际最值； 3. 实际建系、坐标取值、结果检验。 知识点1 二次函数的实际应用 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 特别提醒 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 随学随练 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”，刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间， 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．    素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间（s） 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离（m） 18 32 42 48 素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（为常数）； ②刹车后汽车行驶距离随行驶时间的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求关于的函数解析式； 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 2．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某市政工程修建的排水管道截面如图所示，其轮廓为抛物线的一部分，以管道底面截得的线段的中点O为坐标原点，直线为x轴，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．已知管道底面的宽，管道顶部D（抛物线顶点）距离底面的高度．为提升排水效率，需在管道内安装两层水平滤网和，上层滤网距离底面，下层滤网距离底面，滤网两端均与管道内壁贴合． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滤网的材料价格为100元（按滤网水平长度计价，不考虑管道纵深长度），上下两层滤网单价相同，求出两层滤网的材料总费用． 拓展1 学科交叉问题：匀变速运动问题 一、解题思路 写出匀变速位移公式，整理为二次函数标准形式； 确定A、B、C，判断开口方向，分析加速度正负； 计算对称轴，判断是否在有效时间内； 根据题意选择工具： 求最远 / 最高：顶点公式； 求到达指定位置时间：解一元二次方程，舍去负根； 刹车 / 上抛：先算停止 / 最高点时间，判断题目给的时间是否有效； 结合物理实际检验结果，舍去无意义解（负时间、超出运动终止时间的解）。 活学活用 1．（25-26九年级上·福建福州·期中） 项目名称：设计“火箭式”烟花 背景介绍 某活动策划团队为即将到来的庆典活动设计了一种新型“火箭式”烟花． 根据多次实验后发现其升空后的高度（米）与时间（秒）的关系满足：． 作为活动策划团队成员，请你完成以下任务． 任务1： 烟花性能分析 烟花升空后何时达到最大高度？最大高度是多少？ 任务2： 观赏体验优化 主办方希望设置“最佳观赏区”，要求是烟花在离地面米以上的高度飞行．请求烟花在哪个时间段内高度大于米． 任务3： 安全创意设计 ①烟花在升空过程中，第1秒到第3秒之间，高度范围是多少？ ②出于安全考虑，烟花在高度低于米时可能会对观众造成危险，因此需要确保在烟花升空后到降落至米以下的时间段内．观众必须保持在安全区域．为了增加观赏性，策划团队计划在烟花达到最高点后，在高度不低于米的时间段内进行二次引爆．请确定二次引爆的最佳时间段是从第几秒到第几秒？ 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度（单位：）与小球运动时间（单位：）满足关系式．小球滑行距离（单位：）与运动时间（单位：）满足关系式； （1）填空：___________，___________，___________． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，问小球会不会撞上小车？并说明原因． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）综合与实践 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图，一个静止的小球从斜坡顶端滚下后，在水平木板上做直线运动，当小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与t的函数图象、y与t的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与t的函数关系为一次函数关系，y与t的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：（1）请你结合表格数据，分别求出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （2）当小球在水平木板停下来时，求此时小球的滑行距离． （3）若小球到达木板点A处的同时，在点A的右方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 题型1 动点面积问题 【例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【对点练1-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【对点练1-2】（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【对点练1-3】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在平行四边形中，，P，Q两点同时从点A出发，以相同速度分别沿着，运动，则的面积y与运动时间x之间的函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型2 增长率问题 【例2】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【对点练2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【对点练2-2】（24-25九年级上·重庆长寿·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 题型3 围墙栅栏问题 【例3】（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【对点练3-1】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）（1）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为，怎样围才能使车棚的面积最大？ （2）在（1）中，如果可利用的墙壁长为，怎样围才能使车棚的面积最大？ 【对点练3-2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过（围栏宽忽略不计）． (1)设平行于墙的一边长为，生态园的总面积为，求出与的函数关系式并指出自变量的取值范围． (2)生态园的总面积为，求生态园与墙平行的一边的长； 题型4 图形切割问题 【例4】（25-26九年级上·广东东莞·期末）一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【对点练4-1】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）如图在底边长，高的三角形铁板上，要截一块矩形铁板，如图所示，则矩形铁板的面积最大值是_______． 【对点练4-2】（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？ 题型5 折叠展开问题 【例5】（21-22九年级上·福建福州·期中）某小区业主委员会决定把一块长40m、宽30m的矩形空地建成健身广场；设计方桌如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2 （1）①用含x的式子表示出口的宽度： m； ②求x的取值范围； （2）求活动区的面积y的最大值． 【对点练5-1】（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： (1)在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； (2)在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． (3)将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． (4)若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 【对点练5-2】（2026·上海浦东新·模拟预测）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 题型6 销售利润问题 【例6】（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【对点练6-1】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【对点练6-2】（2022·浙江宁波·模拟预测）某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 【对点练6-3】（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 题型7 抛物线图形——桥梁隧道问题 【例7】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（     ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 【对点练7-1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【对点练7-2】（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 题型8 分段函数问题 【例8】（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【对点练8-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在铅垂线为轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段． (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． ①直接写出和的值； ②小明的前方有一堵高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围； (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，直接写出的最大值． 【对点练8-2】（2026·贵州六盘水·二模）2026年世界泳联跳水世界杯总决赛于5月1日至3日在北京举行，中国跳水队包揽九枚金牌，展现了中国跳水队的综合实力．辉煌成绩的背后，离不开运动员日复一日的刻苦训练．如图，某跳水运动员进行10米跳台向前跳水训练，其身体（看成一点）在空中运动的轨迹呈抛物线形状，为跳台支柱．跳台长为，与水面的垂直距离为，运动员起跳后的最高点与起跳点的水平距离为，垂直距离为．现以水面所在直线为轴，支柱所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)求这条抛物线的表达式； (3)当入水点与起跳点的水平距离的范围在时，为入水最佳区域，请判断运动员此次跳水训练的入水点是否在最佳区域，并说明理由． 题型9 抛物线轨迹——抛球问题 【例9】（25-26八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【对点练9-1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【对点练9-2】（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在（2）的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 题型10 抛物线轨迹——喷水问题 【例10】（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 【对点练10-1】（2026·河南平顶山·三模）某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【对点练10-2】（2026·陕西西安·模拟预测）校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口距地面米，距着火建筑物底部水平距离米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线的一部分，着火点距离水平地面米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为米的位置处达到最高，以水平地面为轴，着火建筑物为轴，着火建筑物底部点为原点，建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式． (2)由于火势迅速蔓延至距离地面米的点处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车顶点处释放出消防无人机，无人机竖直上升米到达点处喷出水流，水流路线是抛物线的一部分，此时的水流恰好喷到点下方米的点处，若点为抛物线的最高点，请求出抛物线向右平移多少米就能将水流喷射到点处（无人机只能在建筑物的左侧移动）． 【对点练10-4】（2026·湖北武汉·一模）如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 题型11 其他问题 【例11】（2026八年级下·陕西西安·学业考试）在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【对点练11-1】（2026·安徽合肥·三模）综合与实践 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 实验数据：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合实验数据，完成以下任务： (1)分别求出抛物线和的函数表达式； (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，当高度的长为，求此时宽度的长． (3)若要求电子显示屏的宽度不小于，问：它的高度的最大高度是多少？ 【对点练11-2】（2026·山东济南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为轴，锅的竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】   如图，建立基础模型 (1)求抛物线 (2)初始状态下的函数表达式为_______________________． 【任务二】 如图，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为_______________________． 【任务三】 安全空间评估 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图，点是锅盖上任意一点，平行于轴交进风口于点，求线段的最小值；若大于才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？ 基础通关 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 4．（2022·山东泰安·二模）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）“科教兴国，强国有我”某中学在科技实验活动中，设计了“水火箭”升空实验．已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为，当“水火箭”的飞行时间为时，升空的高度为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 7．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 8．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 9．（2026·陕西西安·一模）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 10．（19-20九年级上·江苏淮安·期中）如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 11．（25-26九年级下·甘肃定西·开学考试）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 12．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 素养提升 1．（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 4．（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 5．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）综合实践 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 试验说明 数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1所示的平面直角坐标系． 实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d米（即掷球成绩）． 男生实心球评分标准如下表所示． d/米 8.4 8.2 7.8 7.6 7.0 6.7 得分 10 9.5 9.0 8.5 7.8 7.6   从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同． 试验过程 【第一次试验】：实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/米 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/米 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 n 【第二次试验】：实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图2所示，其中A为第二次试验抛物线的顶点．    解决问题 (1)根据第一次试验数据，直接写出： ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米； (2)求第二次试验的抛物线的解析式； (3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？ 6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 迁移创新 1．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 2．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 3．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 4．（2026·浙江绍兴·二模）电子跳蚤可在复杂环境中执行任务．将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变．实验中，跳蚤从水平地面上的点起跳，最终落在水平地面上的点P．以点为原点，所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，以为一个单位长度建立平面直角坐标系．已知，轨迹最高点距地面（x轴）． (1)求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式． (2)跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形，与运动轨迹在同一平面内．已知，，．若跳蚤先向挡板垂直方向爬行米，再按（1）中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段（含端点C、D），求爬行距离的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数 1.5 二次函数的实际应用 课标要点 1. 核心能力：能从生活情境中抽象出二次函数模型，利用函数性质解决最值、最优方案问题。 2. 关键要求：实际问题必须考虑自变量取值范围，结合现实取舍答案。 3. 核心素养：重点考查模型观念、数形结合、运算求解。 4. 常考场景：销售利润、几何面积、抛物线轨迹（拱桥、投篮、喷水）。 学习重难点 重点： 1. 会根据题意列出二次函数解析式； 2. 会用顶点式求最值，解决最优问题； 3. 掌握三大模型：利润最值、面积最值、抛物线建模。 难点： 1. 看不懂文字题，不会列函数式（每每型问题）； 2. 忽略自变量范围，顶点不一定是实际最值； 3. 实际建系、坐标取值、结果检验。 知识点1 二次函数的实际应用 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 特别提醒 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 随学随练 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”，刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间， 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．    素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间（s） 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离（m） 18 32 42 48 素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（为常数）； ②刹车后汽车行驶距离随行驶时间的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求关于的函数解析式； 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】任务一：；任务二：不会撞到障碍物 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】解：任务一：将、代入 得：， 解得： 关于的函数解析式为， 任务二：不会 ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 2．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动 ，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某市政工程修建的排水管道截面如图所示，其轮廓为抛物线的一部分，以管道底面截得的线段的中点O为坐标原点，直线为x轴，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．已知管道底面的宽，管道顶部D（抛物线顶点）距离底面的高度．为提升排水效率，需在管道内安装两层水平滤网和，上层滤网距离底面，下层滤网距离底面，滤网两端均与管道内壁贴合． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滤网的材料价格为100元（按滤网水平长度计价，不考虑管道纵深长度），上下两层滤网单价相同，求出两层滤网的材料总费用． 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据宽可得点A与点B的坐标，再由可得点D的坐标，设出函数的顶点式代入求解即可； （2）分别求解出点E，点F，点G，点H的横坐标，再结合价格求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点，点，点， ∵点为抛物线的顶点， 设函数的顶点式为，即， 将点代入可得，，解得， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵上层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点E的横坐标为，点F的横坐标为， ∴， ∵下层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点G的横坐标为，点H的横坐标为， ∴， ∴总长度为， ∵滤网的材料价格为100元，且上下两层滤网单价相同， ∴材料总费用为元． 拓展1 学科交叉问题：匀变速运动问题 一、解题思路 写出匀变速位移公式，整理为二次函数标准形式； 确定A、B、C，判断开口方向，分析加速度正负； 计算对称轴，判断是否在有效时间内； 根据题意选择工具： 求最远 / 最高：顶点公式； 求到达指定位置时间：解一元二次方程，舍去负根； 刹车 / 上抛：先算停止 / 最高点时间，判断题目给的时间是否有效； 结合物理实际检验结果，舍去无意义解（负时间、超出运动终止时间的解）。 活学活用 1．（25-26九年级上·福建福州·期中） 项目名称：设计“火箭式”烟花 背景介绍 某活动策划团队为即将到来的庆典活动设计了一种新型“火箭式”烟花． 根据多次实验后发现其升空后的高度（米）与时间（秒）的关系满足：． 作为活动策划团队成员，请你完成以下任务． 任务1： 烟花性能分析 烟花升空后何时达到最大高度？最大高度是多少？ 任务2： 观赏体验优化 主办方希望设置“最佳观赏区”，要求是烟花在离地面米以上的高度飞行．请求烟花在哪个时间段内高度大于米． 任务3： 安全创意设计 ①烟花在升空过程中，第1秒到第3秒之间，高度范围是多少？ ②出于安全考虑，烟花在高度低于米时可能会对观众造成危险，因此需要确保在烟花升空后到降落至米以下的时间段内．观众必须保持在安全区域．为了增加观赏性，策划团队计划在烟花达到最高点后，在高度不低于米的时间段内进行二次引爆．请确定二次引爆的最佳时间段是从第几秒到第几秒？ 【答案】任务1：烟花在 秒时达到最大高度，最大高度为 米． 任务2：烟花在时高度大于米 任务3：①烟花在第1秒到第3秒之间，高度范围米．②二次引爆的最佳时间段是 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，利用二次函数解决不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）求二次函数的顶点坐标即可； （2）令，求得高度为米时的时间，结合抛物线的开口方向和顶点坐标确定时间即可； （3）①分别将和 代入解析式求出此时高度，因为抛物线在 时高度最大值为米，所以高度范围是米； ②令，求得高度为米时的时间，结合“烟花达到最高点后”的要求，找出时间范围即可． 【详解】解：（1）， ∵，抛物线开口向下，顶点为最大值点， 顶点横坐标为：    ， 代入解析式得， （2）令得 整理得：     得 ，， 由于抛物线 开口向下，且顶点坐标为 ， 故当时，烟花高度大于米； （3）①    当时：米， 当 时：米， 顶点在 时高度为米， ∴烟花在第1秒到第3秒之间时，高度范围是米； ②令得 ， ∵烟花达到最高点后， ∴ ， ∴， 故最佳时间． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 【答案】任务：；任务：所用时间是；任务：篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 【分析】任务：由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系，再利用待定系数法求解析式即可； 任务：当时和时，求出的值即可； 任务：根据规律求出第次反弹到最高点的时间和第次反弹到最高点的时间即可； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次根式的运算，找规律，掌握函数的性质及应用是解题的关键． 【详解】解：任务：设下落高度为，反弹高度为， 由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系， 设， 当，；，时， ， 得， ∴函数解析式为； 任务：当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴所用时间是； 任务：由， 则反弹次， 最开始从最高点到落地的时间， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间， ∴篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 ． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度（单位：）与小球运动时间（单位：）满足关系式．小球滑行距离（单位：）与运动时间（单位：）满足关系式； （1）填空：___________，___________，___________． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，问小球会不会撞上小车？并说明原因． 【答案】（1）；（2）；（3）小球不会撞上小车，理由见详解 【分析】本题考查一次函数和二次函数的待定系数法求解析式，以及利用函数和方程解决实际问题．解题关键在于熟练运用待定系数法准确求出函数解析式，再根据实际问题的条件建立方程或不等式求解． （1）对于，可根据表格中两组与的值代入方程，利用待定系数法求出和；对于，同样根据表格中两组与的值代入方程，用待定系数法求出和． （2）先根据求出小球停下来时的时间，再将该时间代入求出滑行距离． （3）分别表示出小球滑行距离和小车行驶距离，根据小球不能撞上小车的条件列出方程判断有无解即可． 【详解】解：（1）当时，； 把代入得， 解得：， 则； 时，，时，， ， 解得， 则， 故答案为：； （2）由，当时，， 解得． 把代入， 得． （3）小球滑行距离，小车行驶距离． 若小球能撞上小车， 则， 整理得， ， ∴方程无解， 故小球不会撞上小车． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）综合与实践 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图，一个静止的小球从斜坡顶端滚下后，在水平木板上做直线运动，当小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与t的函数图象、y与t的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与t的函数关系为一次函数关系，y与t的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：（1）请你结合表格数据，分别求出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （2）当小球在水平木板停下来时，求此时小球的滑行距离． （3）若小球到达木板点A处的同时，在点A的右方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为0时，，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球速度为的时间，此时两者相遇则为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：（1）设， 将点代入得，， 解得：， ； 设， 将点代入得，， 解得：， ∴； （2）在中，当时，， 解得：， 当时，， ∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为； （3）当时，， 解得：， 当时，， ． 题型1 动点面积问题 【例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 【对点练1-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 【对点练1-2】（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【详解】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 【对点练1-3】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在平行四边形中，，P，Q两点同时从点A出发，以相同速度分别沿着，运动，则的面积y与运动时间x之间的函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三个阶段分析：当点P运动到点B之前；当点P在边上，点Q在边上时；当点P在边上，点Q在边上时．即可得出答案． 【详解】当点P运动到点B之前，与不固定，则的底上的高也发生变化，可知y与x满足二次函数关系，故A、B错误； 当点P在边上，点Q在边上时，的底随x呈现一次函数关系，但高保持不变，故此时图象呈直线形式； 当点P在边上，点Q在边上时，同第一阶段，的面积与x呈现非线性关系，和的面积与x均呈现线性关系，故利用总面积相减可知，的面积与x呈现非线性关系（二次函数关系），故选D． 题型2 增长率问题 【例2】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【对点练2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据该工厂3月份的产值该工厂1月份的产值平均每月产值的增长率)，列出二次函数关系式即可得出答案． 【详解】解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为， ， 故选：A． 【对点练2-2】（24-25九年级上·重庆长寿·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 【详解】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， 该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元． 根据题意得：， 故选：B． 题型3 围墙栅栏问题 【例3】（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为 ，花园的面积为 ．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【对点练3-1】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）（1）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为，怎样围才能使车棚的面积最大？ （2）在（1）中，如果可利用的墙壁长为，怎样围才能使车棚的面积最大？ 【答案】（1）与墙垂直的边为，与墙平行的边为车棚的面积最大；（2）与墙垂直的边为，与墙平行的边为时车棚的面积最大 【分析】本题主要考查二次函数与图形面积的计算，理解题意正确列式，掌握二次函数图像的性质是关键． （1）设长方形的面积为，与墙垂直的边为，则与墙平行的边为，由此列式，结合二次函数图像的性质求解即可； （2）设长方形的面积为，与墙平行的边为，由此列式，结合二次函数图像的性质求解即可． 【详解】解：（1）设长方形的面积为，与墙垂直的边为，则与墙平行的边为， 由题意得：，， 即， ∵，抛物线开口向上，， ∴当时，车棚的面积最大，此时， 答：与墙垂直的边为，与墙平行的边为车棚的面积最大； （2）设长方形的面积为，与墙平行的边为， 由题意得：， 即：， ∵， ∴当时，S随y的增大而增大， ∴当时，车棚的面积最大， ∴与墙垂直的边， 答：与墙垂直的边为，与墙平行的边为时车棚的面积最大． 【对点练3-2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过（围栏宽忽略不计）． (1)设平行于墙的一边长为，生态园的总面积为，求出与的函数关系式并指出自变量的取值范围． (2)生态园的总面积为，求生态园与墙平行的一边的长； 【答案】(1)， (2)生态园与墙平行的一边的长为24米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）求出与墙垂直的边长，利用矩形的面积公式，列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，与墙垂直的边长为， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）可知：， 当时，解得， ∵， ∴； 答：生态园与墙平行的一边的长为24米． 题型4 图形切割问题 【例4】（25-26九年级上·广东东莞·期末）一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的性质，由正切的定义可得，设，则，结合，得出，表示出矩形的面积，再由二次函数的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ， ∵， ∴当时，矩形的面积最大，为， 故答案为：． 【对点练4-1】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）如图在底边长，高的三角形铁板上，要截一块矩形铁板，如图所示，则矩形铁板的面积最大值是_______． 【答案】60 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．设，依据，即可得到，进而得出，再根据，即可得到当时，矩形面积最大为． 【详解】解：如图所示，设， ∵矩形中，， ， 又，， ，即， ， ， ， ∵， 当时，矩形面积最大为， 故答案为：60． 【对点练4-2】（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，设矩形的面积为，找到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴, 设矩形的面积为，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当，即，点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是 题型5 折叠展开问题 【例5】（21-22九年级上·福建福州·期中）某小区业主委员会决定把一块长40m、宽30m的矩形空地建成健身广场；设计方桌如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2 （1）①用含x的式子表示出口的宽度： m； ②求x的取值范围； （2）求活动区的面积y的最大值． 【答案】（1）①（40-2x）；②x的取值范围为7≤x≤13；（2）活动区的最大面积为1144m2． 【分析】（1）①根据图形可得结论；②根据题意列出不等式组可得x的取值范围； （2）根据“活动区的面积=矩形空地面积-阴影区域面积”列出函数解析式，由函数性质求函数最大值即可． 【详解】解：（1）①由题意得：出口的宽度为：（40-2x）m， 故答案为：（40-2x）； ②∵4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m， ∴14≤40-2x≤26， 解得：7≤x≤13， x的取值范围为7≤x≤13； （2）根据题意，绿化区的宽为：[30-（40-2x）]÷2=x-5， ∴y=40×30-4x（x-5）=-4x2+20x+1200（7≤x≤13）， y=-4x2+20x+1200=-4（x-）2+1225， ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，当7≤x≤13时，y随x的增大而减小， ∴当x=7时，y最大=1144， 答：活动区的最大面积为1144m2． 【点睛】本题是二次函数的应用题，结合图形得出函数关系，并根据问题的实际意义对自变量及函数值的范围作出判断． 【对点练5-1】（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： (1)在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； (2)在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． (3)将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． (4)若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 【答案】(1)①；②，单个无盖纸盒体积的最大值为 (2) (3)描点、画函数图象如解图所示． (4)方案一的纸盒体积更大 【分析】（1）根据题意用含x的式子表示长；②根据题意列出制作的每个无盖纸盒的体积与的二次函数关系式，根据二次函数的性质进行解答即可； （2）利用长方体的体积公式表示出图中纸盒的体积； （3）利用描点连线画出函数的图象 （4）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得 答：边的长为． ②根据题意，得． ∵，， ∴当时，y有最大值，即单个无盖纸盒体积的最大值为． （2）解：根据题意，得． （3）略 （4）画出方案一的函数图象，如解图所示． 由图象可知，当时，方案二的纸盒体积更大；当时，两个方案的纸盒体积一样大；当时，方案一的纸盒体积更大． 【对点练5-2】（2026·上海浦东新·模拟预测）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 【答案】(1)纸盒的高为 ，容积为 (2)函数关系式为 ，当时，随的增大而减小 【分析】（1）设纸盒的高为，根据长方体的表面积公式以及题干所给的材料利用率计算公式建立方程求解； （2）根据材料利用率计算公式建立二次函数关系式，然后由于长方体的底面正方形边长为，求出的取值范围，再由二次函数的性质求解材料利用率随的变化而变化的情况． 【详解】（1）解：设纸盒的高为， 由题意得，， 解得， 则纸盒的容积为：； （2）解：由题意得，， ∵长方体的底面正方形边长为， ∴ ∴， ，对称轴为直线， ∴当时， 随的增大而减小． 题型6 销售利润问题 【例6】（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：． （2）解： ， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 【对点练6-1】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【对点练6-2】（2022·浙江宁波·模拟预测）某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 【答案】(1)80元 (2)每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元 【分析】（1）设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设总利润为W元，建立起关于的函数解析式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得：，， ∵为增大销量，减少库存， ∴每件童装应降价20元， 则售价为（元）； （2）解：设总利润为W元，由题意，得 ， ∴， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当时，，元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元． 【对点练6-3】（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 题型7 抛物线图形——桥梁隧道问题 【例7】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（     ） A．图1解析式： B．图2解析式： C． D． 【答案】C 【分析】运用待定系数法求解即可判断A，B选项，把分别代入两个解析式，进而求得的长，进而判断C，D选项，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确， 由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ，故B正确， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，故C错误 把代入得：， 解得：， ∴ ∴，故D正确 【对点练7-1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 【对点练7-2】（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 题型8 分段函数问题 【例8】（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： (3) 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】（1）解： 为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 【对点练8-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在铅垂线为轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段． (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． ①直接写出和的值； ②小明的前方有一堵高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围； (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，直接写出的最大值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，可得抛物线和直线都过点，分别代入计算即可； ②将代入两个函数解析式，求出的值，即可得出结果； （2）由题意得：经过，得到直线表达式，再得到抛物线经过，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵纸飞机进入滑行阶段时的高度为， ∴抛物线和直线都过点， ∴，， ∴； ②由①可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， 当时，解得或（舍去）； 当时，解得； ∴小明与围栏之间距离的取值范围为； （2）解：由题意得：经过， ，解得：， ． ∴当时，，抛物线经过， ，解得：． 【对点练8-2】（2026·贵州六盘水·二模）2026年世界泳联跳水世界杯总决赛于5月1日至3日在北京举行，中国跳水队包揽九枚金牌，展现了中国跳水队的综合实力．辉煌成绩的背后，离不开运动员日复一日的刻苦训练．如图，某跳水运动员进行10米跳台向前跳水训练，其身体（看成一点）在空中运动的轨迹呈抛物线形状，为跳台支柱．跳台长为，与水面的垂直距离为，运动员起跳后的最高点与起跳点的水平距离为，垂直距离为．现以水面所在直线为轴，支柱所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)求这条抛物线的表达式； (3)当入水点与起跳点的水平距离的范围在时，为入水最佳区域，请判断运动员此次跳水训练的入水点是否在最佳区域，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)运动员此次跳水训练的入水点不在最佳区域，理由见解析． 【分析】（1）根据题意和平面直角坐标系可得答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出点的坐标为，再得到入水点与起跳点的水平距离为，再比较判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴点的坐标为， ∵起跳后的最高点与起跳点的水平距离为，垂直距离为， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （3）解：当时，， 解得：， 由图可知，入水点在轴正半轴且距离较远， ∴点的坐标为， ∴入水点与起跳点的水平距离， ∵， ∴，即， ∵最佳区域为， ∴运动员此次跳水训练的入水点不在最佳区域． 题型9 抛物线轨迹——抛球问题 【例9】（25-26八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可；②根据函数值求自变量的值即可； （2）根据题意得到抛物线解析式为，抛物线过点，则，抛物线解析式为，且抛物线过，，当时，代入计算即可． 【详解】（1）解：①， 为顶点， 则抛物线， ∵过点 代入得： ， ∴， 抛物线解析式为； ②解：抛物线经过点时， ， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 【对点练9-1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 【对点练9-2】（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在（2）的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)， (2)能避开障碍物和暗礁 (3) 【分析】（1）将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； （2）先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； （3）设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， 当时， 解得： ∴， ∵， 当时， 解得： ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴ 解得：， ∴ ∵过点， ∴当时， 解得： ∴ 当时， 解得： ∴ ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物 ∴当时， ∵ ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽， ∴ ∴当时， ∵ ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁 （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴， ∴，即 ∵过点 当时，，即 ∴当时， 即 ∵ ∴ 解得： 题型10 抛物线轨迹——喷水问题 【例10】（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】（1）依据题意，由水平距离x与时间t的关系为，结合表格中的数据求解即可； （2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出时，x的值，然后根据时间距离速度，即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，当时，，当时，，分别求出的值，最后下结论即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 由表格得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， ∵一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且， ∴当水落在花盆最左边时，，此时，解得； 当水落在花盆最右边时，时，，解得； ∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为． 【对点练10-1】（2026·河南平顶山·三模）某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 【对点练10-2】（2026·陕西西安·模拟预测）校园消防安全是保障师生生命财产安全的重要内容，尤其在人员密集、用火用电频繁的校园环境中更需高度重视．如图，某高层建筑突发火灾，消防车及时赶到喷水灭火，已知消防车的喷水口距地面米，距着火建筑物底部水平距离米，喷出的水流路线可近似地看作抛物线的一部分，着火点距离水平地面米，且喷出的水流在离着火建筑物底部水平距离为米的位置处达到最高，以水平地面为轴，着火建筑物为轴，着火建筑物底部点为原点，建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式． (2)由于火势迅速蔓延至距离地面米的点处，消防车喷出的水流无法达到该高度，于是消防员在消防车顶点处释放出消防无人机，无人机竖直上升米到达点处喷出水流，水流路线是抛物线的一部分，此时的水流恰好喷到点下方米的点处，若点为抛物线的最高点，请求出抛物线向右平移多少米就能将水流喷射到点处（无人机只能在建筑物的左侧移动）． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)抛物线向右平移米就能将水流喷射到点处 【分析】（1）已知抛物线顶点横坐标为，设顶点式，代入、，解得，即可得到抛物线的表达式； （2）无人机上升后是顶点，设，代入得；设向右平移米，表达式为，代入解得，结合顶点在左侧，进行求解判断即可． 【详解】（1）解：∵喷水口距地面2米，距建筑物底部水平距离8米，着火点在轴上，距地面18米，水流在离建筑物底部水平距离2米处达到最高， ∴，，抛物线顶点横坐标为， 设抛物线的表达式为， 将和代入表达式， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为或； （2）解：∵无人机从竖直上升42米到， ∴，且是的顶点， ∵点距地面43米，在轴上，在下方1米， ∴，， 设抛物线的表达式为， 将代入表达式，得 解得， ∴抛物线的表达式为， 步骤3：设平移距离并建立方程 设抛物线向右平移米， ∴平移后的抛物线表达式为， ∵平移后的抛物线需经过， ∴将代入，得 解得或， ∵ “无人机只能在建筑物的左侧移动”，即平移后顶点的横坐标需小于0， ∴ 解得， ∴舍去， ∴米， ∴抛物线向右平移米就能将水流喷射到点处． 【对点练10-4】（2026·湖北武汉·一模）如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 【答案】(1)；洒水车喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，即可求得抛物线的解析式；令，求得x的值，即可确定最大射程； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即可得点B的坐标； （3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：，，且是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ，解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则，解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为. （2）解：∵， ∴的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为． （3）解：由题意可得，当点与点重合时，最小， 点的坐标为， ， 的最小值为， 当点在抛物线上时，最大，也最大 ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， 的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为：． 题型11 其他问题 【例11】（2026八年级下·陕西西安·学业考试）在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式；把已知点代入解析式求出系数a，即可得到抛物线表达式． （2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段的二次函数关系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出最大值． 【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为．点的坐标为． 设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点，分别在抛物线和抛物线上， ∴设点的坐标为（），点的坐标为， ． ，， ∴当时，的最大值为． 【对点练11-1】（2026·安徽合肥·三模）综合与实践 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 实验数据：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合实验数据，完成以下任务： (1)分别求出抛物线和的函数表达式； (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，当高度的长为，求此时宽度的长． (3)若要求电子显示屏的宽度不小于，问：它的高度的最大高度是多少？ 【答案】(1)的表达式为；的表达式为 (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）由题意可设，则，根据对称轴为直线，则的横坐标为，得出，，根据列出方程，解方程，即可求解； （3）由（2）可得，根据题意得出，，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 由对称性可得，抛物线的顶点为，即， 设表达式为：， 代入得，， 解得 ∴抛物线的表达式为； 由对称性可得，抛物线的顶点为， 设表达式为：， 代入得，， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：抛物线：；抛物线： 由题意可设，则， ∵对称轴为直线，则的横坐标为 ∴， ∴ 当时 解得或（舍去） ∴， （3）解：由（2）可得 ∵，即 解得： ∵，，当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为： 【对点练11-2】（2026·山东济南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为轴，锅的竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】   如图，建立基础模型 (1)求抛物线 (2)初始状态下的函数表达式为_______________________． 【任务二】 如图，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为_______________________． 【任务三】 安全空间评估 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图，点是锅盖上任意一点，平行于轴交进风口于点，求线段的最小值；若大于才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？ 【答案】(1) (2) (3) (4)解：设， 则 ， 是m的二次函数， ， 开口向上， 对称轴为直线， 当时，， ， 该距离满足安全要求． 【分析】（1）先求出顶点坐标，设顶点式，利用待定系数法求解； （2）设初始状态下抛物线的解析式为，将B点坐标代入即可求解； （3）在锅口上放上高的蒸笼时，抛物线向上平移，由此可解； （4）设出P，M坐标，列出关于m的二次函数，结合m的取值范围求出，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，， 为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线可由基础抛物线上下平移得到， 设初始状态下抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 初始状态下的函数表达式为； （3）解：由题意知，平移后抛物线的函数表达式为：． （4）略 基础通关 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 4．（2022·山东泰安·二模）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先理解题意，算出以及点在，，线段上的时间，然后分别讨论点在上运动的情况，然后根据面积公式列式，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴ ∵设点P的运动时间是时，的面积是， ∴①当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向上的二次函数； ∴②当点在上运动时，即： ； 这是一次函数； ∴③当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向下的二次函数； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意． 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）“科教兴国，强国有我”某中学在科技实验活动中，设计了“水火箭”升空实验．已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为，当“水火箭”的飞行时间为时，升空的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将给定的飞行时间代入高度h与t的关系式，计算即可得到对应升空高度． 【详解】解：当时，． 6．（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 7．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【答案】 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是， 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ∵原抛物线的顶点为， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为． 8．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 9．（2026·陕西西安·一模）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； （2）略 10．（19-20九年级上·江苏淮安·期中）如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 【答案】(1) (2)球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【详解】（1）解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：； （2）∵当时，， ∴球能越过球网． 11．（25-26九年级下·甘肃定西·开学考试）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）设每月获得利润元，根据题意，可得，整理得，，再根据二次函数的性质取最值即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，涨价元，则每月可少销售个， 每月的销售量为个， 销售量要大于或等于0， ，解得，则； 故答案为：（，为正整数）； （2）解：设每月获得利润元， 由题可得，， 整理得，， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 12．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【答案】(1) (2)53元 (3)900元 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，根据已知条件列出函数表达式是解题的关键． （1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每罐降价x元，则平均每天多销售罐， 因此每天的销售量y与x之间的关系式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得或， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 为了让消费者获得更多实惠， 则每罐排骨藕汤的定价为元； （3）解：根据题意得：， 解得， 设商店销售排骨藕汤的总利润为w元， 则， 由于， 则抛物线开口向下， 由于对称轴为直线，且x为整数， 当或时，w取最大，w的最大值为元， 则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元． 素养提升 1．（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 【答案】(1)，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为 (2)运动员着陆时他能越过点 【分析】（1）由题意可得，，将其代入抛物线解析式即可得到的值，进而求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，利用函数的性质即可求解； （2）在函数解析式中令，求出的值，再与比较，即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得，， 将代入，得， 解得， ， 化为顶点式为， ， 当时，有最大值，最大值为， ，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为； （2）由（1）可得，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线， 令，则， 解得，， ，且， ，舍去， ， ， ， ， 即运动员着陆时他能越过点． 4．（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 【答案】(1)8，1000 (2) (3) 【分析】（1）取，代入可求；取，代入，可求； （2）由（1）知，求出，消去即可； （3）把代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得； 把，代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知，． ． ． 钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为． （3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远． ． 当，即，解得（负值已舍去）． 箱子左侧到点O的水平距离最远是． 5．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）综合实践 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 试验说明 数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1所示的平面直角坐标系． 实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d米（即掷球成绩）． 男生实心球评分标准如下表所示． d/米 8.4 8.2 7.8 7.6 7.0 6.7 得分 10 9.5 9.0 8.5 7.8 7.6   从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同． 试验过程 【第一次试验】：实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离x/米 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/米 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 n 【第二次试验】：实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图2所示，其中A为第二次试验抛物线的顶点．    解决问题 (1)根据第一次试验数据，直接写出： ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米； (2)求第二次试验的抛物线的解析式； (3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？ 【答案】(1)3.2；3.6 (2) (3) 该男生两次投掷试验的最好成绩是10分 【分析】（1）由对称性可得第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线 ，据此可得对应的顶点坐标，则可得到第二空的答案，再由对称性可得第一空的答案； （2）根据题意可得第二次试验的抛物线的顶点坐标为，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）求出第一次试验的抛物线的解析式，进而求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第一次试验中， 时的函数值与 时的函数值相同， ∴第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线 ， ∴第一次试验中，对应的抛物线的顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是 米， 由对称性可得 时的函数值与 时的函数值相同，即 ； （2）解：∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴第二次试验的抛物线的顶点坐标为， 设第二次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第二次试验的抛物线的解析式为 ； （3）解：设第一次试验的抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴第一次试验的抛物线的解析式为 ， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， 在 中，令 ，得 ， 解得 或 （舍去）， 米， ， ∴第一次试验成绩最好； ， ∴第一次试验成绩为10分， ∴该男生两次投掷试验的最好成绩是10分． 6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)灯带两端水平距离的最大长度为 【分析】（1）设抛物线表达式为：，根据题意可得点坐标为，代入求解即可； （2）要求离地高度不低于，即，将代入抛物线表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为轴，顶点坐标为， 设该抛物线表达式为， ，， 由对称性得点的坐标为， 将代入表达式得：， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：要求离地高度不低于，即， 令代入抛物线表达式得 ， 整理得， 解得，， 两个交点的水平距离为：， 因此灯带两端水平距离的最大长度为． 迁移创新 1．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 2．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 3．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 4．（2026·浙江绍兴·二模）电子跳蚤可在复杂环境中执行任务．将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变．实验中，跳蚤从水平地面上的点起跳，最终落在水平地面上的点P．以点为原点，所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，以为一个单位长度建立平面直角坐标系．已知，轨迹最高点距地面（x轴）． (1)求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式． (2)跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形，与运动轨迹在同一平面内．已知，，．若跳蚤先向挡板垂直方向爬行米，再按（1）中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段（含端点C、D），求爬行距离的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可知最高点设顶点式，将代入求解即可； （2）令，得到，根据“跳到挡板上底面”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题可知最高点 设顶点式 将代入得 所以 （2）解：米， ∵，， ∴， 在中，令，求得（舍去）， ∵跳到挡板上底面， ∴， 解得：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $