专题 1.6 二次函数的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数的应用核心知识点，通过知识梳理构建“解题步骤-最值公式-五大应用模型-易错点”的学习支架，衔接二次函数的图像性质与实际问题解决，形成完整知识脉络。 资料特色在于以模型化思维整合销售利润、几何面积等五大应用场景，分层设计基础与提升题型，如自变量受限的最值问题培养数学思维，同步检测结合生活实例强化数学眼光，助力教师高效教学与学生查漏补缺。

专题 1.6 二次函数的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数实际应用通用解题步骤 1 【知识点二】二次函数最值核心公式 2 【知识点三】五大常考应用模型 2 【知识点四】高频易错点汇总 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】图形问题（必考压轴基础） 3 【题型 2】运动轨迹问题 3 【题型 3】拱桥隧道问题 4 【题型 4】销售利润问题（必考压轴基础） 5 三.题型精析（巩固提升） 5 【题型 5】几何面积问题 5 【题型 6】自变量受限的最值问题（易错拔高） 6 四.同步检测 7 （一）选择题（共4题，每小题4分，合计16分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 10 一.知识梳理 【知识点一】二次函数实际应用通用解题步骤 一审、二设、三列、四解、五验。 1. 审：审题，分析题目中的变量、常量，理清数量关系； 2. 设：设自变量（通常设x为变化量）、因变量（y为所求量）； 3. 列：根据等量关系，列出二次函数解析式 ； 4. 解：利用配方法、顶点公式或图像性质，求解最值、对应变量的值； 5. 验：检验结果是否符合实际自变量取值范围，舍去不合理答案。 【知识点二】二次函数最值核心公式 对于二次函数 ： 1. 当 ，抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值； 2. 当 ，抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值； 3. 顶点坐标最值：当 时，。 【要点提示】实际问题中，若顶点横坐标不在自变量取值范围内，最值在取值范围端点处取得。 【知识点三】五大常考应用模型 模型1：销售利润最值模型（中考高频） 核心公式：总利润 = 单件利润 × 销售数量 模型2：几何面积最值模型 常见场景：矩形围栏、无盖长方体、三角形面积等，通过边长关系列出面积与边长的二次函数，求最大面积。 模型3：抛物线轨迹模型 投篮、抛球、喷水、导弹飞行等运动轨迹为抛物线，通过建立平面直角坐标系，代入已知点坐标求解析式，求解高度、水平距离、最值等问题。 模型4：拱桥、隧道模型 拱形结构为抛物线，通常以拱顶或水面中点为原点建系，求拱桥高度、通行宽度、限高距离等。 模型5：增长率/动态变化模型 连续变化、动态增减问题，根据变化率建立二次函数，分析变化趋势与最值。 【知识点四】高频易错点汇总 1. 忽略自变量实际取值范围，直接套用顶点最值导致答案错误； 2. 利润问题中，涨价过高会导致销量为0，需提前确定x的最大取值； 3. 建系错误：轨迹、拱桥问题未合理建立坐标系，导致解析式求解繁琐或出错； 4. 混淆开口方向，开口向上求最小值、开口向下求最大值，切勿颠倒。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】图形问题（必考压轴基础） 【例题1】（25-26九年级上·陕西安康·期末）抛物线与轴的两个交点之间的距离是（      ） A． B．2 C． D．4 【变式1】（23-24九年级上·吉林·阶段检测）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【变式3】（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（    ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A． B． C． D． 【题型 2】运动轨迹问题 【例题2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段检测）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【变式3】（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【题型 3】拱桥隧道问题 【例题3】（2026·陕西西安·三模）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）方程的两个根分别为，，则抛物线的对称轴是______． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是______． 【题型 4】销售利润问题（必考压轴基础） 【例题2】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）根据一元二次方程的根的情况，可以判断二次函数的______与______的公共点的个数． 【变式1】（25-26九年级上·青海西宁·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是______． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 【变式3】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】几何面积问题 【例题5】（25-26九年级上·山东泰安·期中）抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【变式1】（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的图象与轴交于点，求一元二次方程的解． 【变式3】（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为． （1）求经过，两点的直线的解析式． （2）当抛物线函数值时，直接写出的取值范围． 【题型 6】自变量受限的最值问题（易错拔高） 【例题6】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，而一次函数的图象也经过，两点． （1）求k，b的值； （2）结合图象直接写出的解集． 【变式1】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为． （1）求一元二次方程的两个根分别是多少？ （2）根据函数图象直接写出不等式的解集是多少？ 【变式2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，一抛物线经过A、B两点且其对称轴为，求： （1）抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点坐标； （3）抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点的三角形的面积． 【变式3】（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． （1）若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 四.同步检测 （一）选择题（共4题，每小题4分，合计16分） 1．（23-24九年级上·河南新乡·期末）一个球从地面竖直向上弹起，经过t秒时球距离地面的高度h（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（    ） A．10 B．5 C．3 D．2.5 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，钉子位于原点，钉子位于轴的正半轴上，与钉子距离为3个单位长度，将一根绳子系在钉子上，自由下垂，近似抛物线，则该抛物线表达式为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 5．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为________ ． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则的周长最小为________，此时点M的坐标是________． 9．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 10．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． （1）求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； （2）求当时，t的值． 11．（2023·安徽宣城·二模）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型支架，其中点在拱桥上，点在上，点在上． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若，用含的式子表示出图形“”的长为，并求出的最大值． 12．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； （2）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 13．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）某公园有一个直径为的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，如图，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系（仅考虑截面在第一象限部分）． （1）若喷出的水柱在距水池中心处达到最高，且高度为，求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ 14．（2025·陕西西安·模拟预测）某乡间民宿的院子里安装了一个喷泉装置，喷泉底座安装在点O处，喷泉的出水口为点B，且．如图，这是喷泉喷水时的截面示意图，根据实际情况调整喷泉落地点A，使点A到底座O的距离为．以过点O并垂直于地面的直线为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷泉在y轴两侧的水流最高点C与之间的距离为，喷泉水流近似抛物线． （1）求点C所在抛物线的函数表达式． （2）现打算在喷泉内侧增加圆形花架作为点缀，花架的直径为，花架的中心在喷泉所在的抛物线的对称轴上．为了不影响美观，喷泉与花架上边缘的距离至少保持，则花架的最大高度为多少？ 15．（2026·河南周口·模拟预测）河南浚县“泥咕咕”深受大家的欢迎，将泥咕咕玩具从地面向上抛出，其飞行轨迹可近似的看作抛物线．为了研究运动规律，游戏者记录了泥咕咕飞行高度和飞行时间的几组对应数据如下表： 飞行时间 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 飞行高度 0 1.75 3.75 4 3.75 3 1.75 （1）填空： ________， _______； （2）根据表格，请确定抛物线的函数表达式； （3）已知当泥咕咕高度为时适合拍摄特写，请问泥咕咕被抛出后多长时间时，拍摄效果最佳？ 16．（25-26九年级下·山东泰安·期中）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．在销售过程中发现该纪念册每周的销售量（本）与每本纪念册的售价（元）之间满足一次函数关系：；设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 17．（2022·河南安阳·模拟预测）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为25元时，月销售量为1050件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少50件．设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额月进价）为w（元）． （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 18．（2025·江苏连云港·二模）连云港市某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． （1）根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲      乙 x x （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，求每件乙产品可获得的利润； （3）如何安排工人，可获得的总利润（元）最大？并求w的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.6 二次函数的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数实际应用通用解题步骤 1 【知识点二】二次函数最值核心公式 1 【知识点三】五大常考应用模型 2 【知识点四】高频易错点汇总 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】图形问题（必考压轴基础） 2 【题型 2】运动轨迹问题 5 【题型 3】拱桥隧道问题 6 【题型 4】销售利润问题（必考压轴基础） 9 三.题型精析（巩固提升） 11 【题型 5】几何面积问题 11 【题型 6】自变量受限的最值问题（易错拔高） 14 四.同步检测 18 （一）选择题（共4题，每小题4分，合计16分） 18 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 26 一.知识梳理 【知识点一】二次函数实际应用通用解题步骤 一审、二设、三列、四解、五验。 1. 审：审题，分析题目中的变量、常量，理清数量关系； 2. 设：设自变量（通常设x为变化量）、因变量（y为所求量）； 3. 列：根据等量关系，列出二次函数解析式 ； 4. 解：利用配方法、顶点公式或图像性质，求解最值、对应变量的值； 5. 验：检验结果是否符合实际自变量取值范围，舍去不合理答案。 【知识点二】二次函数最值核心公式 对于二次函数 ： 1. 当 ，抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值； 2. 当 ，抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值； 3. 顶点坐标最值：当 时，。 【要点提示】实际问题中，若顶点横坐标不在自变量取值范围内，最值在取值范围端点处取得。 【知识点三】五大常考应用模型 模型1：销售利润最值模型（中考高频） 核心公式：总利润 = 单件利润 × 销售数量 模型2：几何面积最值模型 常见场景：矩形围栏、无盖长方体、三角形面积等，通过边长关系列出面积与边长的二次函数，求最大面积。 模型3：抛物线轨迹模型 投篮、抛球、喷水、导弹飞行等运动轨迹为抛物线，通过建立平面直角坐标系，代入已知点坐标求解析式，求解高度、水平距离、最值等问题。 模型4：拱桥、隧道模型 拱形结构为抛物线，通常以拱顶或水面中点为原点建系，求拱桥高度、通行宽度、限高距离等。 模型5：增长率/动态变化模型 连续变化、动态增减问题，根据变化率建立二次函数，分析变化趋势与最值。 【知识点四】高频易错点汇总 1. 忽略自变量实际取值范围，直接套用顶点最值导致答案错误； 2. 利润问题中，涨价过高会导致销量为0，需提前确定x的最大取值； 3. 建系错误：轨迹、拱桥问题未合理建立坐标系，导致解析式求解繁琐或出错； 4. 混淆开口方向，开口向上求最小值、开口向下求最大值，切勿颠倒。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】图形问题（必考压轴基础） 【例题1】（25-26九年级上·陕西安康·期末）抛物线与轴的两个交点之间的距离是（      ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解． 解：当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的两个交点之间的距离． 故选：D． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解法，正确理解题意，求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·吉林·阶段检测）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可． 解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：， 当时，，故不在此抛物线上，故A选项不合题意； 当时，，故在此抛物线上，故B选项符合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故C选项不合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解． 解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与， ∴的两根为：，． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（    ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据上面的表格，可得二次函数的图象与轴的交点坐标即为方程的解，当时，；当时，；则二次函数的图象与轴的交点的横坐标应在2.24和2.25之间． 本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是：熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法． 解：∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是：， 故选：C． 【题型 2】运动轨迹问题 【例题2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段检测）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题． 解：， 二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值， ，且，，离对称轴越远，函数值越大， 当时，二次函数的最大值为， 在时，关于x的方程有解， 即可以看在与在时有交点， ， 故选：D． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 【变式2】（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 【变式3】（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【题型 3】拱桥隧道问题 【例题3】（2026·陕西西安·三模）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向上抛物线的性质，点离对称轴越远函数值越大，比较和的大小，再结合和的范围，判断、与的大小关系 解：∵抛物线中，开口向上 ∴对称轴为 ∵， ∴，即对称轴在区间内 ∵，点横坐标， ∴，在对称轴右侧 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大 计算点到对称轴的距离：，由 点到对称轴的距离： ∴离对称轴更远，得 比较、和的大小： 整理得 对于：， ，得 对于：， ，得 综上可得 【变式1】（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）方程的两个根分别为，，则抛物线的对称轴是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵方程的两个根分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点，根据题意得出，然后求出当时的值，即可以得到与轴的交点坐标，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 解：当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【题型 4】销售利润问题（必考压轴基础） 【例题2】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）根据一元二次方程的根的情况，可以判断二次函数的______与______的公共点的个数． 【答案】 图象 轴 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数图象与轴交点的情况与一元二次方程的解的关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：根据一元二次方程的根的情况，可以判断二次函数的图象与轴的公共点的个数， 故答案为：图象，轴． 【变式1】（25-26九年级上·青海西宁·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可． 解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线， ∴点也在的图象上． ∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，． 故答案是：，． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】几何面积问题 【例题5】（25-26九年级上·山东泰安·期中）抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】先设抛物线的顶点式，再求出交点坐标，代入顶点式求出二次项系数，即可得到抛物线表达式． 解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点相距个单位，且两点关于对称轴对称， 两个交点的横坐标为，，即交点为和， 将代入，可得，解得， 抛物线的表达式为． 【变式1】（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系． 根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与x轴交点个数，结合二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A，点B关于对称轴对称，结合点A坐标，求出点B坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④． 解：对于说法①：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∴①正确，符合题意； 对于说法②：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴②错误，不符合题意； 对于说法③：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∵二次函数， ∴， ∴即， ∴③正确，符合题意； 对于说法④：∵该二次函数图象与x轴的两个交点分别为，B， ∴点与点B关于对称轴对称， ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴点， 将点代入二次函数中，得：， 即， ∴④正确，符合题意． 综上，说法正确的是：①③④． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的图象与轴交于点，求一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与二次函数的关系． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：，解不等式可得：； 一元二次方程的解就是二次函数的图象与轴交于点的横坐标，根据二次函数的对称性，二次函数与轴的另一个交点坐标，两个交点的横坐标即为一元二次方程的解． 解：（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得：， 解得：； （2）解：二次函数的对称轴是直线， 设二次函数与轴的另一个交点坐标是， 二次函数的图象与轴交于点， 可得：， 解得：， 二次函数与轴的另一个交点坐标是， 一元二次方程的解是，． 【变式3】（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为． （1）求经过，两点的直线的解析式． （2）当抛物线函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可求出点坐标，令，即可求出点坐标，用待定系数法即可求解， （2）当时，求出抛物线与轴的两个交点坐标，根据抛物线的开口方向，即可求解， 本题考查了，把抛物线解析式化成顶点式，抛物线与坐标轴的交点，根据抛物线交点，确定不等式解集，解题的关键是：熟练掌握抛物线的性质． 解：（1）解：将化成顶点式：， ， 当时，， ， 设直线的解析式为：，则：，解得：， 直线的解析式为：， 故答案为：， （2）解：当时，， 或， ，， 抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线开口向上， 当时，， 故答案为：． 【题型 6】自变量受限的最值问题（易错拔高） 【例题6】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，而一次函数的图象也经过，两点． （1）求k，b的值； （2）结合图象直接写出的解集． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是： （1）利用二次函数的解析式求得、点的坐标，然后利用待定系数法即可求得、的值； （2）找到二次函数图象在一次函数图象下方（含交点）时自变量的范围即可． 解：（1）解：中，令，则， ， 令，则，解得，， ， 一次函数的图象经过，两点， ， 解得； （2）观察图象，的解集是． 【变式1】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为． （1）求一元二次方程的两个根分别是多少？ （2）根据函数图象直接写出不等式的解集是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，轴对称的性质，掌握二次函数的这些性质是解题的关键． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系及抛物线的轴对称的性质回答即可； （2）根据抛物线的开口方向及抛物线与x轴的交点横坐标回答即可． 解：（1）解：二次函数图象关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为。 根据对称轴性质：，解得, 所以，一元二次方程的两个根为． （2）解：由图象可知： 二次函数开口向上，由（1）知，图象与轴交于和， 因此，当时，的取值范围是． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，一抛物线经过A、B两点且其对称轴为，求： （1）抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点坐标； （3）抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点的三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）2 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质等知识，求出二次函数的解析式是关键． （1）求出，再利用待定系数法求出答案； （2）根据抛物线的性质即可得到答案； （3）求出抛物线与x轴和y轴的交点分别为，利用三角形面积公式进行解答即可． 解：（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∵直线与x轴交于A点，与y轴交于B点， ∴， ∵一抛物线经过A、B两点且其对称轴为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得到 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （3）当时，， 当时，，解得 ∴抛物线与x轴和y轴的交点分别为， ∴抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点坐标的三角形的面积为． 【变式3】（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． （1）若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）①；②抛物线与轴的交点坐标为；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）①运用待定系数法求解即可； ②由①得，令，即，解方程即可； （2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论． 解：（1）解：①把点代入中， 得 解得 ②由题意得抛物线的表达式为． 令，即， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为 （2）解：点， ， 点的坐标为， 拋物线开口向下， 将点代入得，解得． 将点代入得，解得． 抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是 四.同步检测 （一）选择题（共4题，每小题4分，合计16分） 1．（23-24九年级上·河南新乡·期末）一个球从地面竖直向上弹起，经过t秒时球距离地面的高度h（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（    ） A．10 B．5 C．3 D．2.5 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用．令，求出的值即可．掌握二次函数的性质，是解题的关键． 解：∵， ∴当时，即：， 解得：或， ∴球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是； 故选D． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 3．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，钉子位于原点，钉子位于轴的正半轴上，与钉子距离为3个单位长度，将一根绳子系在钉子上，自由下垂，近似抛物线，则该抛物线表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意得，得到抛物线的轴对称为直线，设该抛物线表达式为，把代入得到，于是得到结论． 解：根据题意得， ∴抛物线的轴对称为直线， 设该抛物线表达式为， 把代入得， 解得， ∴该抛物线表达式为， 即该抛物线表达式为， 故选：A． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，求出点的坐标为，从而得到答案． 解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， 即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是． 故选：C． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 5．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为________ ． 【答案】 【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式． 解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则的周长最小为________，此时点M的坐标是________． 【答案】 / 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解． 解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，此时，的周长为最小， 令，解得或3， 令，则， ∴点A、B、C的坐标分别为、、， ∴， ∴此时的周长， ∴周长的最小值是． 由，得函数的对称轴为直线， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 当时，， 故点M的坐标为． 故答案为：；． 9．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 10．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． （1）求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； （2）求当时，t的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二次函数的应用，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据三角形的面积，即可求解； （2）当时，，解方程即可求解． 解：（1）解：由题意得，， ； （2）解：当时， ， 解得． 所以经过2秒或4秒时的面积为． 11．（2023·安徽宣城·二模）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型支架，其中点在拱桥上，点在上，点在上． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若，用含的式子表示出图形“”的长为，并求出的最大值． 【答案】（1）；（2），的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． （1）由题意得，，，再利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线的对称性可得，则，，，进而得到，用含的式子表示出周长，再利用二次函数的性质即可求出的最大值． 解：（1）解：（1）由题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性可得， ∴，，， 当时，；当时，； ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 同理可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值为． 12．（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； （2）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】（1）抛物线的解析式为：，不能射进球门；（2）1 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 解：（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【点拨】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 13．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）某公园有一个直径为的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，如图，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系（仅考虑截面在第一象限部分）． （1）若喷出的水柱在距水池中心处达到最高，且高度为，求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ 【答案】（1）；（2）为了不被淋湿，身高的王师傅站立时必须在离水池中心以内． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握二次函数的应用是解题的关键． （）设水柱所在抛物线的函数解析式为，将代入求出的值即可； （）当时，有，然后求出的值即可． 解：（1）解：设水柱所在抛物线的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴水柱所在抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，有，解得（舍去），， 答：为了不被淋湿，身高的王师傅站立时必须在离水池中心以内． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）某乡间民宿的院子里安装了一个喷泉装置，喷泉底座安装在点O处，喷泉的出水口为点B，且．如图，这是喷泉喷水时的截面示意图，根据实际情况调整喷泉落地点A，使点A到底座O的距离为．以过点O并垂直于地面的直线为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷泉在y轴两侧的水流最高点C与之间的距离为，喷泉水流近似抛物线． （1）求点C所在抛物线的函数表达式． （2）现打算在喷泉内侧增加圆形花架作为点缀，花架的直径为，花架的中心在喷泉所在的抛物线的对称轴上．为了不影响美观，喷泉与花架上边缘的距离至少保持，则花架的最大高度为多少？ 【答案】（1）；（2）花架的最大高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）首先根据题意求出点B的坐标为，点C的坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，然后将当代入解析式求解即可． 解：（1）由题意，得， ∴点C所在抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点B的坐标为，点A的坐标为． 设点C所在抛物线的函数表达式为． ∵， ∴． 将点代入表达式，得， 解得， ∴点C所在抛物线的函数表达式为； （2）∵花架的直径为，且抛物线的对称轴为直线， ∴当时，． ∵喷泉与花架上边缘的距离至少保持， ∴花架的最大高度为． 15．（2026·河南周口·模拟预测）河南浚县“泥咕咕”深受大家的欢迎，将泥咕咕玩具从地面向上抛出，其飞行轨迹可近似的看作抛物线．为了研究运动规律，游戏者记录了泥咕咕飞行高度和飞行时间的几组对应数据如下表： 飞行时间 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 飞行高度 0 1.75 3.75 4 3.75 3 1.75 （1）填空： ________， _______； （2）根据表格，请确定抛物线的函数表达式； （3）已知当泥咕咕高度为时适合拍摄特写，请问泥咕咕被抛出后多长时间时，拍摄效果最佳？ 【答案】（1），；（2）；（3）泥咕咕被抛出后或时，拍摄效果最佳 【分析】（1）根据表中数据求得对称轴为，再利用对称性求解即可； （2）设抛物线的函数表达式为，把代入解析式求解即可； （3）把代入解析式求解即可． 解：（1）解：根据表中数据，当和时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴， 解得：， ∵当和时的函数值相等， ∴． （2）解：设抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （3）解：当时， ∴， 解得：，， ∴泥咕咕被抛出后或时，拍摄效果最佳． 16．（25-26九年级下·山东泰安·期中）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．在销售过程中发现该纪念册每周的销售量（本）与每本纪念册的售价（元）之间满足一次函数关系：；设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】销售单价定为28元时，所获利润最大，最大利润是192元 【分析】本题根据利润等于每本利润乘以销售量，列出利润关于售价的二次函数，再结合给定的售价范围和二次函数的增减性，即可求出最大利润和对应的销售单价． 解：由题意可得，每本纪念册的利润为元，销售量，售价满足 总利润 整理得： 配方得： 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大 又 当时，取得最大值 将代入得：（元） 答：将该纪念册销售单价定为28元时，文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 17．（2022·河南安阳·模拟预测）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为25元时，月销售量为1050件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少50件．设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额月进价）为w（元）． （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 【答案】（1）；（2），当销售单价为33元时，月获利最大，最大月获利为8450元 【分析】（1）根据月销售量销售单价上涨钱数，即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据月利润=单件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数关系式，配方后再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 解：（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：． ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为8450． ∴当销售单价为33元时，月获利最大，最大月获利为8450元． 18．（2025·江苏连云港·二模）连云港市某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． （1）根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲      乙 x x （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，求每件乙产品可获得的利润； （3）如何安排工人，可获得的总利润（元）最大？并求w的最大值． 【答案】（1） 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 （2）每件乙产品可获得的利润是元；（3）安排名工人生产乙产品，40名工人生产甲产品获得利润最大，为元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）以“每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元”为等量关系列出方程进行求解，并保留符合实际意义的解； （3）写出W关于x的函数，利用二次函数的性质求最值． 解：（1）解：每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有人， 共生产甲产品件， 在乙每件元获利的基础上，每增加1件，利润减少元每件，则乙产品的每件利润为元； （2）解：由题意得， ， ∴ 解得，（不合题意，舍去）， ∴（元）， 答：每件乙产品可获得的利润是元； （3）解：根据题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值为， 此时（人）， 所以安排名工人生产乙产品，40名工人生产甲产品获得利润最大，为元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $