精品解析：湖南常德市临澧县第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2026年上学期高一年级期末考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，虚数单位的幂次具有周期性，周期为4，所以， 所以，所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求一元二次不等式的解集，再求集合A与集合B的交集即可. 【详解】∵，∴. 故选：A. 3. 在中，角所对的边分别为，已知， ，则 (　 ) A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理的式子，代入题中数据解出，结合三角形内角的范围和三角形中大边对大角，可得B的大小. 【详解】因为中，，， 由正弦定理得， 解得， 又且 ，所以. 4. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥的独立事件的性质和概率逐项判断可得. 【详解】对于A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，即， 所以A与B相互独立，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则，故D正确. 故选：B. 5. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 6. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算． 【详解】设圆锥母线长为，高为，底面半径为， 则由，得，所以， 所以． 故选：B． 7. 已知，，则等于（ ） 　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的和差公式得到，再利用诱导公式即可得解. 【详解】因为 ， 所以， 而. 故选：C. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若幂函数的图象经过点，则该函数在上单调递减 B. 命题“，”的否定是“，” C. 函数的单调递增区间为 D. 函数与函数互为反函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,依题求出函数解析式，再判断即得；对于B，根据全称量词命题的否定要求即得；对于C，根据复合函数的单调性判断“同增异减”原则即可求得递增区间；对于D，按照互为反函数的两函数之间的关系分析即得. 【详解】对于A项，设依题意，，解得：，则因，故函数在上单调递减，即A项正确； 对于B项，否定量词和结论即得命题“，”的否定是“，”，即B项正确； 对于C项，设，由解得：或，因在定义域内为增函数， 且在上递减，在上递增， 根据同增异减原则知，函数的单调递增区间为，即C项错误； 对于D项，因的定义域为R，值域为，由可得：， 交换即得：，即，其定义域为，值域为R.即D项正确. 故选：ABD. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若在上恰好有三个零点，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由图象可得最小正周期，从而求出；B选项，，代入，结合得到；C选项，先求出，进而可得到，求出答案；D选项，先求出，结合函数的最小正周期，得到答案. 【详解】A选项，设的最小正周期为，由图象可知，，即，A正确； B选项，由图象可知，故， 将代入解析式得，即， 又，故，解得，B错误； C选项，由B知，， 当时，， 在上恰好有三个零点，故，解得，C正确； D选项，由A知，的最小正周期为6， 其中， ，，， 故， 所以 ，D正确. 故选：ACD 11. 棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 B. 点在直线上运动时，直线始终与平面平行 C. 直线与直线所成的角为 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据的面积为矩形的面积的一半，且点到平面的距离不变，可判定A正确；由平面和平面，证得平面平面，可判定B正确；取的中点，把直线与直线所成的角即为直线与所成的角，在中，利用余弦定理求得，可判定C正确；结合，可判定D错误. 【详解】对于A中，点在直线上运动时，的面积为矩形的面积的一半， 且点到平面的距离不变，所以三棱锥的体积不变，所以A正确； 对于B中，点在直线上运动时， 由分别为的中点，可得， 又由平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，所以B正确； 对于C中，取的中点，分别连接， 因为的中点，所以，又由，所以， 所以异面直线与直线所成的角即为直线与所成的角，设， 设正方体的棱长为，可得， 在直角中，可得，所以， 所以，可得，所以C正确； 对于D中，由， 所以，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由恒过定点得出的值，再根据“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】令，得，所以， 所以，， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 13. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先应用余弦定理计算，再结合基本不等式计算得出，最后应用面积公式计算求解. 【详解】在中，,，故, 由余弦定理，得. 又（当且仅当时取等号），所以， 所以， 所以面积的最大值为. 14. 在三棱锥中，.若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得是等腰直角三角形，从而求出，在中利用余弦定理求出，根据勾股定理可判断，从而得知平面，从而可将三棱锥补为直三棱柱，外接球球心为的中点，根据几何关系即可求解. 【详解】由题意得，所以，且， 所以. 在中，由余弦定理得， 所以， 所以. 又，平面，所以平面， 故可将三棱锥补为直三棱柱，如图所示， 则直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球. 设外接圆圆心为，的外接圆圆心为， 则直三棱柱的外接球球心为的中点，连接， 则即为外接球的半径. 在中，根据正弦定理可得， 所以， 所以， 所以该外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，解集合中的不等式，求集合中函数的定义域，得到这两个集合，再由并集的定义求； （2）由题意，集合是集合的真子集，分类讨论解集合中的不等式，由包含关系求实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，， ， 所以． 【小问2详解】 因“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集． 当时，，所以只需，解得； 当时，是集合的真子集，符合题意， 综上所述，实数的取值范围是． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案. （2）由正弦定理可得，根据的范围求出的值域，即可求出周长的取值范围. 【小问1详解】 ∵，∴， 由正弦定理，得． 又，∴， 由于，∴． 【小问2详解】 ∵，， 由正弦定理，得，． ． ∵，∴，则． ∴． ∴，则． 故周长的取值范围为． 17. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】（1） （2）83.33 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数； （3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得. 所以满意度评分的分位数为83.33. 【小问3详解】 因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有，共有8个基本事件， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：在正方形中，， 又侧平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为△是正三角形，M是的中点，则， 又，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直性质证平面得，再结合正三角形中线，利用线面垂直判定定理证平面； （2）取上下底中点构造辅助线，先证底面、平面，确定为二面角平面角，再通过边长计算直角三角形边长求出其余弦值； （3）先由面面垂直推平面得到，进而求得面积，利用等体积法，转换三棱锥与体积列方程求解点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取，的中点分别为，连接， 则，因为，所以， 因为△PAD是正三角形，所以， 又侧面平面，侧面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角． 因为正方形的边长为2，则，， 所以，所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为． 【小问3详解】 因为在正方形ABCD中，， 又侧面平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以△为等腰直角三角形，， ， 设到平面的距离为d，则， 解得，即到平面的距离为． 19. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T. （1）已知，，若函数为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； （2）已知，设（，），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求. （3）已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将变成已知条件的形式，再根据“和谐向量”及向量的模的坐标公式计算即可得解； （2）设，再求出，再根据“和谐函数”的定义结合三角恒等变换化简函数，再根据三角函数的性质即可求出，即可得解； （3）结合（1）求出“和谐向量”，进而可得，的解析式，设出点的坐标，再根据数量积的坐标公式，计算分析即可得解. 【小问1详解】 ， 所以函数的“和谐向量”向量， ， 因为，所以， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 设， 则， 所以 ， 此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中， 所以，即，所以， 所以的最大值， 所以； 【小问3详解】 由（1）知，当时，最小，此时， 所以， 设，令， 则， 因为， 所以，即， 所以，所以，即， 而，则，当且仅当时，等式成立， 所以在的图象上存在一点，使得. 【点睛】关键点点睛：理解“和谐向量”和“和谐函数”是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高一年级期末考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角所对的边分别为，已知， ，则 (　 ) A. B. C. 或 D. 4. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 5. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则等于（ ） 　　 A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若幂函数的图象经过点，则该函数在上单调递减 B. 命题“，”的否定是“，” C. 函数的单调递增区间为 D. 函数与函数互为反函数 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若在上恰好有三个零点，则 D. 11. 棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 B. 点在直线上运动时，直线始终与平面平行 C. 直线与直线所成的角为 D. 三棱锥的体积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________. 13. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为______. 14. 在三棱锥中，.若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的取值范围． 17. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T. （1）已知，，若函数为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； （2）已知，设（，），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求. （3）已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $