精品解析：湖南长沙市博纳二附中青山高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

湖南长沙市博纳二附中青山高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（ ） A. A，B为互斥事件 B. B，C为对立事件 C. C，D为互斥事件 D. D，E为对立事件 4. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 5. 若m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为，若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则（ ） A. 三人都解出的概率为 B. 没有人能解出的概率为 C. 恰有一人解出的概率为 D. 恰有两人解出的概率为 7. 中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ） A. 16 B. C. D. 4 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 已知函数，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 有1个零点是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使得 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当点在侧面且满足时，二面角的正切的最大值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营投篮投中的比例为________. 13. 在三棱锥中，已知底面是边长为的等边三角形，侧棱平面．若二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为_________． 14. 已知函数，若，使得不等式成立，则实数的最大值是______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： （3）若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 16. 已知函数在区间上的最大值为6， （1）求常数m的值，及在上的最小值； （2）的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市博纳二附中青山高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 所以. 2. 已知圆锥的体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件结合圆锥的几何性质求出底面半径和母线、高的关系，根据圆锥的体积公式求出底面半径、母线和高，根据圆锥外接球的性质求出外接球半径，最后利用球的表面积公式计算求解． 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长， 故，则，解得， 圆锥的高， 则，解得，故，， 圆锥外接球的球心在圆锥的高线上，设外接球半径为， 则，展开整理得， 外接球的表面积为：． 3. 抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（ ） A. A，B为互斥事件 B. B，C为对立事件 C. C，D为互斥事件 D. D，E为对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意写出样本空间和各事件的样本点，再根据互斥和对立的定义，判断各选项正误. 【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，则样本空间． ． 因为，所以A与B不互斥，A错误． 因为，所以B与C互斥，但不对立，B错误． 因为，所以C与D不互斥，C错误． 因为，所以D与E对立，D正确． 故选：D. 4. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 5. 若m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线、平面平行的性质，直线、平面垂直的性质、判定推理并判断A，C，D，举例说明判断B作答. 【详解】对于A，因，则存在过直线n的平面，使得，于是有，而，有，所以，A正确； 对于B，因，令，当，且时，满足，若，必有，B不正确； 对于C，因，则存在过直线m的平面，使得，于是有，又，则，所以，C正确； 对于D，因，，所以，D正确. 故选：B 6. 有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为，若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则（ ） A. 三人都解出的概率为 B. 没有人能解出的概率为 C. 恰有一人解出的概率为 D. 恰有两人解出的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式，求各选项对应事件的概率即可. 【详解】对A，三人都解出的概率为，故A错误； 对B，没有人能解出的概率为，故B错误； 对C，恰有一人解出的概率为，故C错误； 对D，恰有两人解出的概率为，故D正确. 故选：D. 7. 中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 8. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ） A. 16 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理整理等式，再根据正弦和角公式求得角的正弦值，利用同角三角函数关系式求得角的正弦值，再结合正弦定理，可得答案 【详解】由，则， 即，由，则， 由，则， 因为,所以， 所以. 故选：B. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确. 对于B，因为，所以z的共轭复数为，所以B正确. 对于C，，所以C正确. 对于D，，所以D错误. 10. 已知函数，则（     ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 有1个零点是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦函数的性质，利用函数解析式，求函数最小正周期和值域验证选项AB；代入检验法判断对称轴和零点验证选项CD. 【详解】， 对于A，的最小正周期为，故A选项正确； 对于B，，所以，故B选项正确； 对于C，，其中，故C选项错误； 对于D，，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使得 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当点在侧面且满足时，二面角的正切的最大值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过点位于处时，可判断A，通过点是到平面距离最大的点，即可判断B，确定的轨迹是以为圆心、1为半径的一段圆弧，再得到即为二面角的平面角，进而可判断C，通过确定是与平面所成角，得到点轨迹是线段，及圆弧，即可判断D. 【详解】 因为，分别是棱，的中点，则， 又，所以，即当点位于处时，显然满足，故A正确； 对于B，在正方体中，易知为正三角形，， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 又在正方体表面上，点到平面距离最大， 此时三棱锥是棱长为的正四面体， 又点到平面的距离， 则，故B正确； 对于C，且在侧面矩形内，则的轨迹是以为圆心、1为半径的一段圆弧， 因为，，，平面， 所以平面，故， 又因为平面平面平面，平面， 根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角， 在矩形内，过作交于点， 中，，越大，二面角越大，即越大， 当取圆弧与的交点，即与圆弧相切时，最大，所以， 即二面角的正切的最大值为2，故C错误； 对于D，由平面平面，得直线与平面所成的角为， 连接，，由平面平面，且， 则点为线段或上任意点（除点外）， 在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧， 当点为圆弧上任意点时，连接， 由平面，得是与平面所成角， 而，则，因此点轨迹是线段，及圆弧（除点外）， 所以点轨迹长度为，故D正确． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营投篮投中的比例为________. 【答案】0.6## 【解析】 【分析】先求出投中的平均次数，即可得出所求. 【详解】10名学员投中的平均次数为＝6，所以投中的比例约为＝0.6. 故答案为：0.6. 13. 在三棱锥中，已知底面是边长为的等边三角形，侧棱平面．若二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合线面垂直的判定性质求出，再将三棱锥补形成三棱柱，借助三棱柱的外接球求解即得. 【详解】如图，取的中点为，连接、， 因为是边长为的正三角形，则，， 又平面，、平面，则，， 又因为，、平面，于是平面， 而平面，则，因此为二面角的平面角， 即，所以， 将三棱锥补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，显然的外接圆半径， 因此， 所以该三棱锥外接球表面积为. 14. 已知函数，若，使得不等式成立，则实数的最大值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性、奇偶性，结合对勾函数的单调性、存在性的性质进行求解即可. 【详解】构造函数， 因为， 所以函数是奇函数， 当时， ， 因为，所以， 因此有， 所以有，因此此时函数单调递减，而，函数是奇函数，所以函数是实数集上的减函数， ， 因为，所以由，， 令 当时， 单调递减，当时，单调递增， 因为，,∴在上的最大值为， 要想，使得不等式成立，只需 ，则实数的最大值是 故答案为： 【点睛】关键点睛：构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，结合对勾函数的单调性是解题的关键. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： （3）若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】（1）2 （2）71， （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【小问1详解】 由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； 【小问2详解】 平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； 【小问3详解】 记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 16. 已知函数在区间上的最大值为6， （1）求常数m的值，及在上的最小值； （2）的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求． 【答案】（1），在上的最小值为3 （2）或 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式，结合三角函数的性质求的值与函数的最小值. （2）先确定角的值. 方法一：建立坐标系，利用平面向量的数量积的坐标运算求解. 方法二：分点在的角平分线和角平分线的反向延长线上，分别求值. 【小问1详解】 ， 因为，所以，所以. 所以. 由. 所以在上的最小值为3. 【小问2详解】 ， 因为，所以. 方法一：以点A为原点，建立如图所示的坐标系，则，， 设，则， 所以，， ， ， ， 所以，，， 所以或. 方法二：按图甲，点在的角平分线上， ， 按图乙，点在的角平分线的反向延长线上， . 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【小问1详解】 由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． 【小问2详解】 由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明:因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， （3） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直证明为棱锥的高，再根据棱锥的体积公式计算即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面即可； （3）设，连接，找到为直线与平面所成的角，由等面积法求出，再有勾股定理求出，最后计算正弦值即可； 【小问1详解】 因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为， 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设，连接， 因为平面， 所以为直线与平面所成的角（或补角）， 在中，，又， 即，所以， 又在中，， 所以. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在和上单调递减；证明如下： ，定义域为， 设，且， 则 因为，且，所以， 所以，所以在上单调递减， 同理可证，所以在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案. （2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性. （3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案. 【小问1详解】 由已知函数需满足，当时，函数的定义域为， 函数为奇函数，所以， 即在上恒成立，即，（舍）， 当时，，函数的定义域为， 又函数为奇函数，所以， 此时，函数定义域为， ，函数为奇函数，满足， 综上所述：； 【小问2详解】 在和上单调递减，证明略； 【小问3详解】 函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 时，，所以当时的值域， 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $