25.3.1 实际问题与一元二次方程-几何问题-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的几何应用，涵盖常用几何公式、经典题型模型及通用解题步骤，通过等腰梯形面积、直角三角形边长等情境问题，衔接方程解法与几何知识，搭建从数学建模到实际问题解决的学习支架。 其亮点是分层练习题（基础到拓展）与易错点总结，结合数学思维的推理意识与运算能力，以边框平移、动点问题为例，培养数学眼光的抽象与模型意识，助力学生提升问题解决能力，为教师提供系统教学资源与分层指导支持。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3.1 实际问题与一元二次方程-几何问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 人教版数学九年级上册25.3.1实际问题与一元二次方程（几何问题）专项练习 一、核心知识点梳理 几何图形问题是一元二次方程实际应用的核心题型，主要利用常见几何图形的周长、面积、体积公式建立等量关系，通过列、解一元二次方程求解边长、宽度、半径、平移距离等未知量。解题核心思想为几何建模、等量代换、方程求解、取舍验根，是中考应用题高频考查内容。 1. 常用几何公式：矩形面积=长×宽，正方形面积=边长的平方，三角形面积=底×高÷2，圆形面积$$S=\pi r^2$$；矩形、正方形周长公式为边长之和，是列方程的主要依据。 2. 经典题型模型：一是边框、道路平移问题，通过平移拼接图形，利用“空白面积、阴影面积”列方程；二是图形裁剪、拼接问题，根据裁剪前后面积不变建立等量关系；三是边长增减、图形扩充问题，根据边长变化后的面积、周长关系列方程。 3. 通用解题步骤：审题标注已知边长、面积等条件；设合适的未知量（通常设边长、道路宽度）；根据几何公式列出一元二次方程；解方程求出两根；结合几何实际意义取舍根，边长、距离不能为负数，且需符合题干范围。 4. 核心解题原则：几何实际问题中，方程算出的根不一定都符合题意，必须舍去负数根、超出图形范围的不合理根，这是区别于纯解方程题型的关键要点。 二、分层专项练习题 （一）基础巩固题（共4题） 1. 已知一个矩形的长比宽多2cm，面积为48cm²，求矩形的长和宽。 2. 一个正方形的边长增加3cm后，面积增加45cm²，求原正方形的边长。 3. 已知直角三角形的两条直角边相差2cm，面积为24cm²，求两条直角边的长度。 4. 矩形场地长10m、宽8m，现将长和宽同时增加相同的长度，使场地面积增加44m²，求增加的长度。 （二）能力提升题（共4题） 1. 现有一块长30cm、宽20cm的矩形铁皮，在四个角各剪去一个相同的正方形，剩余部分折成一个无盖长方体盒子，底面积为336cm²，求剪去的小正方形的边长。 2. 矩形草坪长40m、宽30m，在草坪内部修筑一条宽度均匀的十字道路，剩余草坪面积为1064m²，求道路的宽度。 3. 一个矩形的周长为28cm，面积为48cm²，求矩形的长和宽。 4. 已知等腰三角形的底边长为8cm，腰长为整数，面积为12cm²，求三角形的腰长。 （三）拓展培优题（共2题） 1. 一块长24m、宽18m的矩形空地，沿平行于两边的方向修建三条宽度相同的小路（一横两纵），剩余空地全部栽种花草，花草总面积为288m²，求小路的宽度。 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AC向C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB向B以1cm/s的速度移动，两点同时出发，几秒后△PCQ的面积为5cm²？ 三、参考答案及详细解析 （一）基础巩固解析 1. 解析：设矩形宽为$$x$$ cm，则长为$$(x+2)$$ cm。列方程：$$x(x+2)=48$$，整理得$$x^2+2x-48=0$$，因式分解得$$(x+8)(x-6)=0$$，解得$$x_1=6$$，$$x_2=-8$$（舍去）。长为$$6+2=8$$cm。答：长8cm，宽6cm。 2. 解析：设原正方形边长为$$x$$ cm。列方程：$$(x+3)^2-x^2=45$$，展开化简得$$6x+9=45$$，解得$$x=6$$。答：原正方形边长为6cm。 3. 解析：设较短直角边为$$x$$ cm，较长直角边为$$(x+2)$$ cm。列方程：$$\dfrac{1}{2}x(x+2)=24$$，整理得$$x^2+2x-48=0$$，解得$$x=6$$（负根舍去），另一直角边为8cm。答：直角边为6cm和8cm。 4. 解析：设增加的长度为$$x$$ m。原面积80m²，新面积124m²，列方程：$$(10+x)(8+x)=124$$，整理得$$x^2+18x-44=0$$，解得$$x=2$$（负根舍去）。答：增加的长度为2m。 （二）能力提升解析 1. 解析：设小正方形边长为$$x$$ cm，折后底面长$$(30-2x)$$cm，宽$$(20-2x)$$cm。列方程：$$(30-2x)(20-2x)=336$$，整理得$$x^2-25x+81=0$$，解得$$x=3$$（另一根大于边长，舍去）。答：小正方形边长为3cm。 2. 解析：设道路宽为$$x$$ m，利用平移法，剩余草坪可拼接为完整矩形，长$$(40-x)$$m，宽$$(30-x)$$m。列方程：$$(40-x)(30-x)=1064$$，整理得$$x^2-70x+136=0$$，解得$$x=2$$（大根舍去）。答：道路宽度为2m。 3. 解析：设长为$$x$$ cm，宽为$$(14-x)$$ cm。列方程：$$x(14-x)=48$$，整理得$$x^2-14x+48=0$$，解得$$x_1=8，x_2=6$$。答：长8cm，宽6cm。 4. 解析：设等腰三角形底边上的高为$$h$$ cm，由面积得$$\dfrac{1}{2}\times8\times h=12$$，解得$$h=3$$。由勾股定理得腰长$$=\sqrt{4^2+3^2}=5$$cm。答：腰长为5cm。 （三）拓展培优解析 1. 解析：设小路宽度为$$x$$ m，平移后花草区域为完整矩形，长$$(24-2x)$$m，宽$$(18-x)$$m。列方程：$$(24-2x)(18-x)=288$$，整理得$$x^2-30x+72=0$$，解得$$x=3$$（大根舍去）。答：小路宽度为3m。 2. 解析：设$$t$$秒后面积为5cm²，此时$$PC=(8-t)$$cm，$$CQ=t$$cm。列方程：$$\dfrac{1}{2}(8-t)t=5$$，整理得$$t^2-8t+10=0$$，解得$$t_1=4+\sqrt{6}$$，$$t_2=4-\sqrt{6}$$，两根均符合题意。答：$$(4\pm\sqrt{6})$$秒后满足条件。 四、易错点总结 1. 忽略几何实际意义，未舍去负数根、超范围根，是此类题型最核心易错点；2. 道路、边框问题不会平移拼接，错误计算有效边长，导致方程列写错误；3. 裁剪折叠问题，误将边长只减一次宽度，实际需双向减去两倍宽度；4. 混淆周长与面积公式，等量关系建立出错；5. 动点几何问题，无法准确用含未知数的式子表示变化后的边长，导致建模失败。解题需牢记“先建模、列对方程、解出全根、验根取舍”，贴合几何实际场景解题。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 通过复习回顾学生可以根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型. 通过教师讲解学生可以根据几何图形的周长或面积公式，建立一元二次方程来解决几何问题，培养学生的模型意识. 学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能列出一元二次方程，提高学生解决问题的能力. 新课探究 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高. 分析：本题可设高为 x cm，上底和下底都可以用含x的代数式表示出来，然后利用梯形的面积公式来建立方程求解. 知识点 几何图形问题 情境导入 解：设这个梯形的高为 x cm，则上底为（x+4）cm，下底为（x+20）cm. 根据题意得 整理，得 x2+ 12x -160 = 0 解得 x1= 8 ，x2= - 20（不合题意，舍去） 答：这个梯形的高为8cm. 情境导入 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有 多少个？ 例1 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得 x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5. 探究新知 知识点1 数字问题 1.［教材习题 变式］两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数 为 ，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 6 2.有一个正两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并且十位上的 数的平方比个位上的数大1，那么这个正两位数是____. 23 返回 举一反三 7 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 探究新知 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m； 再由矩形的面积为 96m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 思考：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 探究新知 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如： (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 m； (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. (1)根据题意，得 2(x + ) = 40. 解得 = 12, = 8. (2)根据题意，得 (10 + x)(10 - x) = 96， 解得= 2, = -2. (1)的设元方法简单直接， (2)的设元方法求解简便. 探究新知 知识点2 几何问题 类型1 一般图形问题 3.［教材习题变式］一个直角三角形的两条直角边长相差 ， 面积是.设这个直角三角形较长的直角边长为 ，依题意，可 列出方程为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 11 4.如图是一个矩形木门 ，有一根木竿与门的对角线恰好相等，将 木竿横放，木竿比门宽多；将木竿竖放，木竿比门高 多 .则木竿的长为____ . 10 （第4题） 返回 举一反三 12 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中. ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）. 有单位的要带单位. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 遵循 “问什么答什么” 的原则. 列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 一般步骤如下： 探究新知 类型2 边框与甬道问题 （第5题） 5.在一幅长，宽 的风景画的 四周镶一条金色纸边（风景画四周的金色 纸边宽度相同），制成一幅矩形挂图，如 图，若要使整个挂图的面积是 ， 设金色纸边的宽度为 ，则所列方程为 ___________________________. 返回 举一反三 14 6.[天津期中] 如图，在一块长、宽 的矩形空地上，修建同样宽 的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分 栽种花草，要使剩余部分的面积为 ，求修建的道路的宽为多少. 举一反三 15 解：设修建的道路的宽为 ， 由题意得 ， 整理得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：修建的道路的宽为 . 返回 举一反三 16 类型3 围墙问题 （第7题） 7.[福建中考] 为加强劳动教育，增加学生实践机会， 某校拟用总长为 的篱笆，在两边都足够长的直角 围墙的一角，围出一块 的矩形菜地作为实践基地， 如图所示.设矩形的一边长为 ，根据题意可列方程 为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 17 （第8题） 8.如图，某学校用一段 长的围栏围成一个一 边靠墙（墙长）的矩形小花园 ，其面 积为，则 的长为( ) B A.或 B. C. D. 返回 举一反三 18 9. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立.甲行 率六，乙行率四.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问：甲、乙行各 几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6， 乙的速度为4.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走 了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲走了( ) D A.26步 B.30步 C.32步 D.36步 返回 举一反三 19 实际问题 数学问题的解 数学问题 ax2+bx+c=0 (a≠0) 实际问题的答案 解方程 检验 设未知数列方程(建模思想) 课堂小结 谢谢观看 THANKS $