25.3.1 实际问题与一元二次方程-几何问题（培优课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何问题，梳理解题核心思路、常考模型及标准步骤，通过“应用方程解实际问题步骤”导入，衔接直角三角形边长、矩形面积等探究点，搭建从基础到提升的学习支架。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，通过例2多方法设未知数、道路问题变式训练等实例，强化数形结合与方程建模。课堂小结突出验根必要性，助力学生发展创新意识和应用能力，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 25.3.1 实际问题与一元二次方程 -几何问题 第25章 一元二次方程 25.3.1 实际问题与一元二次方程（几何问题）同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 解题核心思路：几何图形问题的本质是利用几何面积、周长、边长关系列一元二次方程，将图形中的未知边长、宽度、增减长度设为未知数，结合图形公式建立方程求解。 2. 常考几何模型：主要包含矩形、正方形边长与面积变化问题、道路留白问题、边框宽度问题、图形裁剪拼接问题，是本章最基础、最高频的几何应用题型。 3. 标准解题步骤：①审题，找出图形已知边长、面积等条件；②设未知数，通常设变化的宽度、边长为$$x$$；③根据几何面积公式列出一元二次方程；④解方程；⑤检验根的合理性，舍去负数、大于原边长等不符合实际的根。 4. 关键注意点：几何应用题必须验根，边长、长度均为正数；道路、边框类问题需准确分析剩余图形的长和宽，避免边长对应错误。 二、基础练习题 （一）填空题 1. 一个正方形边长增加2cm后，面积增加16cm²，设原正方形边长为$$x$$ cm，可列方程为________。 2. 矩形长为8cm，宽为5cm，长和宽同时增加相同长度$$x$$ cm，面积变为60cm²，列方程为________。 （二）基础解答题 3. 一个矩形的长比宽多3cm，面积为28cm²，求这个矩形的长和宽。 三、提升练习题 （三）拔高解答题 4. 现有一块长20m、宽12m的矩形草坪，要在草坪四周修筑宽度相同的小路，剩余草坪面积为180m²，求小路的宽度。 5. 一张长方形卡纸长30cm、宽20cm，在四个角各剪掉一个相同的小正方形，剩余部分折成一个无盖长方体盒子，底面积为416cm²，求剪掉的小正方形的边长。 四、参考答案与解析 1. $$(x+2)^2-x^2=16$$ 解析：新正方形面积减去原正方形面积等于增加的面积，直接根据面积差列方程。 2. $$(8+x)(5+x)=60$$ 解析：长宽同时增加$$x$$，新长为$$8+x$$，新宽为$$5+x$$，根据矩形面积公式列方程。 3. 解：设矩形宽为$$x$$ cm，则长为$$(x+3)$$ cm。由题意得：$$x(x+3)=28$$，整理得$$x^2+3x-28=0$$，因式分解得$$(x+7)(x-4)=0$$，解得$$x_1=4$$，$$x_2=-7$$（舍去）。长：$$4+3=7$$（cm）。答：矩形长7cm，宽4cm。 4. 解：设小路宽度为$$x$$ m，则剩余草坪长为$$(20-2x)$$m，宽为$$(12-2x)$$m。列方程：$$(20-2x)(12-2x)=180$$，整理得$$x^2-16x+15=0$$，解得$$x_1=1$$，$$x_2=15$$（15＞12，舍去）。答：小路宽度为1m。 5. 解：设小正方形边长为$$x$$ cm，折成的长方体底面长为$$(30-2x)$$cm，宽为$$(20-2x)$$cm。列方程：$$(30-2x)(20-2x)=416$$，整理得$$x^2-25x+46=0$$，解得$$x_1=2$$，$$x_2=23$$（舍去）。答：剪掉的小正方形边长为2cm。 总结：几何类应用题解题关键是数形结合、找准边长变化关系，准确列出面积方程，所有解必须结合实际意义取舍，负数、超出原图形尺寸的根一律舍去，这是此类题型的必考易错点。 学习目标 1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.(重点) 2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.(难点) 3. 通过实际问题的解答，再次让学生认识到对 方程的解进行检验的必要性 学习目标 问题： 应用方程解实际问题的步骤是什么？ 实际问题 审题 设未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 找等量关系 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？ a²＋b²＝c² 追问：若存在这样的直角三角形，该怎样设未知数求解？ 探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x＋1，x＋2，其中 x 为正整数. 由勾股定理，得 x²＋(x＋1)²＝(x＋2)². 解方程，得 x1 = 3，x2 = －1 (不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题 归纳总结： 在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁. 探究点1：一元二次方程解决图形的边长问题 例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为 96 m² 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为 x m，由周长为 40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20－x) m；再由矩形的面积为96 m²，得 例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ x(20－x)＝96. 解方程，得 x1 = 12，x2 = 8. 追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 可知 12 m 和 8 m 分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m² 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 思考 对于例2 中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： (1) 可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m； (2) 可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 m； 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2 吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. (10 - x) 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 方法一：设一边长为 x cm，邻边长为 m. 根据矩形周长公式 2 解方程，得 x1 = 12，x2 = 8. 方法二：可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 (10 - x) m； 根据矩形周长公式 (10 + x)(10 - x)＝96 解方程，得 x1 = 2，x2 = - 2. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 则其两邻边长分别为 12 m，8 m. 特点： 方法一：直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程. 方法二：利用“周长为 40，则长 + 宽 = 20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 【练一练】1.将一条长 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 解：设一个正方形的周长为 x cm，则另一个正方形的周长为 (20－x) cm. ＋＝17 解此方程，得 x1＝16，x2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为 16 cm和 4 cm. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 (1) 由题意可列方程 (2) 两个正方形的面积之和可能等于 12 cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． (2)由题意可列方程 此方程化为一般形式为 x2－20x＋104＝0. ∵ b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16<0， ∴ 此方程无解． ∴ 两个正方形的面积之和不可能等于 12 cm2. ＋＝12 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 【练一练】2. 现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，做成一个底面积为 1500 cm² 的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为 x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80－2x) cm，宽是 (60－2x) cm， 由题意，得 (80－2x)(60－2x)＝1500， 解得 x1＝55，x2＝15. 又 60－2x＞0，∴x＝55(舍). ∴小正方形的边长为 15 cm. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设出未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 例3 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 还有其他列法吗？ 方法一： 20×32－32x－20x＋x²＝540. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 方法二： 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 变式一 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540， 可列方程为 x 20-x 32-x 答：道路的宽为 2 m. 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 20 32 x 2x 20-x 变式二 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜16. (32 − 2x)(20 − x) = 540. 可列方程为 32-2x 解得 x1 = 18 - x2 = 18 + (舍去). 答：道路的宽为 (18 - ) m. 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 20 32 2x 2x 32−2x 20−2x 变式三 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m，且 x＜10. (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. 可列方程为 ∴ x = 1. 答：道路的宽为 1 m. 解得 x1 = 1，x2= 25(舍去). 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 【方法点拨】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路). 探究点2：一元二次方程解决图形的面积问题 应用1 边框问题 1. 软笔书法承载着中华五千年 的灿烂文化，如图①是李叔叔的软笔作 品，是长，宽 的矩形.为了 #1.1 美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边 衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图 ②，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，面积变成原作品的 1.21倍，求上下边衬的宽度是多少？#1 中考考法 23 【解】 设上下边衬的宽度是 ，则左 右边衬的宽度是 ， 依题意得 , 则 , 解得, （不合题意,舍去）. 因此,此作品上下边衬的宽度是 . 中考考法 24 应用2 靠墙问题 2.[2026淮南期末] 园林部门计划在某 公园建一个长方形苗圃 .苗圃的 一面靠墙（墙最大可用长度为 ） ，另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开， 分成两个区域，并在如图所示的两处各留 宽的门 （门不用木栏），建成后所用木栏总长为 ，设苗圃 的一边的长为 . 中考考法 25 （1）的长为__________（包含门宽，用含 的代数式表 示） 中考考法 26 （2）若苗圃的面积为，求 的值； 【解】根据题意得 ， 即， , ， 解得， . 当时， ， 当时， , 不符合题意,舍去， . 中考考法 27 （3）苗圃的面积是否可以达到 ，请说明理由. 中考考法 28 不可以达到 .理由如下： 若可以达到，则 ， 化简得 . ， 方程 无解. 苗圃的面积不可以达到 . 中考考法 图形、面积问题 几何图形中的面积问题：面积公式 (不规则图形采用平移或割补进行转化) 直角三角形中的边长问题：勾股定理 课堂小结 $