《14.2三角形全等的判定》 同步练习题 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档综合、提高探究三层设计，覆盖三角形全等判定全知识点，梯度进阶培养推理能力与几何直观，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）|单选题考概念辨析（如第2题判定定理正误），填空题结合简单计算（如第9题直角三角形全等应用）| |中档|判定与性质综合应用|网格问题（第5题）、动态几何（第13题动点全等），需辅助线构造全等（如第6题延长线证全等）| |提高|复杂情境与探究迁移|综合题（第20题对角互补四边形）、变式拓展（第19题钝角三角形改编），培养空间观念与创新意识|

2026-2027学年人教版八年级数学上册《14.2三角形全等的判定》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.AB=3,BC=4,AC=8 B.AB=4,BC=3,∠A=30° C.∠C=60°，∠B=45°，AB=4 D.∠C=90°，AB=6 2.下列说法中，错误的是（) A.两角对应相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等 B.两边对应相等且其中一组等边上的高对应相等的两个三角形全等 C.两边对应相等且其中一组等边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.两角对应相等且其中一组等角的平分线对应相等的两个三角形全等 3.如图，点E,F在CD上，且CE=DF,AE=BF,AE‖BF,则△AEC≌△BFD, 其依据是() A.SAS B.ASA c.SSS D.HL 4.如图所示，已知AC=AE,∠1=∠2，AB=AD,若∠D=25°，则∠B的度数为 () B A.15° B.30° C.25° D.30或15° 5.如图，在由大小相同的小正方形组成的3×3的网格中，A、B、C、D都是该网格的 格点，连接AB、CD,则下列关于∠1与∠2的关系中正确的是() A.∠1小于∠2B.∠1小于∠2C.∠1等于∠2 D.∠1与∠2互补 6.如图，在△ABC中，AB=BC,E是边AC上一点，连接BE并延长至点D,连接DC, 过点B作BM⊥AC于点M,若∠BCD=∠ABC=120°，AB=2DC,AE=7,则CE 的长为() B A.2 B.3 c 7.如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G,AE平分 ∠CAD交BC于E,交CF于M,连接BM交AD于H,且BM⊥AE,有以下结论中：① ∠AMC=135°；②△AMH≌△BME;③BC=BH+2MH;④AH+CE=AC.正确 的结论是() G M H B A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 8.如图，AB=AD,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=50°，则∠BAE 的度数为 D A 9.如图，∠ABC=90°，AB=BC,BP为一条射线，AD⊥BP,CE⊥PB,若 AD=4,EC=2.则DE的长为 D B 10.如图，小刚在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他 想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了40米到达一棵树C处，接着再向前走了 40米到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条 直线时，他一共走了140米.估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为 米 …} A 11.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，∠ABC的平分线BD交边AC于E,且 AD⊥BD,若BE=6,则AD=一 B 12.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，高AD,CE交于点H.若AB=15,CE=9,则 CH= 13.如图，AB=12m,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,Q点从B向D运 动，每分钟走2m,P点从B向A运动，P,Q两点同时出发，P点每分钟走m时 △CAP与△PQB全等， D Q A D B 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,当点D在AB的延长线上时，且 ∠ADE=号∠ABC,AH⊥DH,垂足为H,DE交AC于点B,交BC于点P,且满足 DF=2CF,若AH=7,BD=4,则BC= H B 三、解答题 15.用尺规作图：已知：如图，线段a及∠.求作：△ABC,使BC=2a,AC=a, ∠BCA=∠C. a 人 16.如图，已知AB‖DE,AB=AD,∠ACB=∠E. D B (1)求证：△ABC≌△DAE (2)若DE=3,AB=9,求CD的长. 17.如图，AB=AD,BC=DE,∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE交于点F,连接 CD、EB. (1)请找出图中的全等三角形： (2)你认为线段CF与EF之间存在怎样的数量关系，请说明理由. 18.如图，已知∠B=∠E,点C,F在线段BE上，AC与DF交于点O,AB=DE, BF=EC. D C E (1)求证：△ABC≌△乙. (2)若∠AOF=56°，求∠ACB的度数 19.如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA=BP,点Q在 CE上，QC=AB B B 图1 备用图 (1)判断：∠1∠2（用“>”、“<”、“=”填空）； (2)探究：PA与AQ之间的关系； (3)若把(1)中的△ABC改为钝角三角形，AC>AB,∠A是钝角，其他条件不变，试探 究PA与AQ之间的关系，请画出图形并直接写出结论. 20.综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上 日<EAF三)≠BAD,请探究线段EE,BE,FD之间的数量关系.下面 员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整. 解：延长EB到G,使得BG=DF,连 接AG 在△ABG和△ADF中 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF △ABG≌△ADF SAS, AG=AF,∠BAG=∠DAF GB E 图1 ∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE ∴∠EAF= 2∠BAD, ∠GAE=∠EAF (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形ABCD中，若AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F 分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=号<BAD,4)中的结论仍然是成立的，请你写 出结论并说明理由、 B 图2 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边 BC,CD延长线上的点，且∠卫F=∠BMD,请判断线段EF,BE,FD之间的数量关系， 并说明理由. B E 图3 参考答案 1.C 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，根据相关知识逐个选项判断 即可. 【详解】解：A、3+4=7<8,不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意. B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意. C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意 D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意， 故选：C 2.B 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，需逐一判断每个选项是否能判定两个三角形全 等，找出错误的说法， 【详解】解：A.两角对应相等且其中一组等角的对边对应相等，符合全等三角形的AAS 判定定理，可判定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意： B.两边对应相等且其中一组等边上的高对应相等时，高可能在三角形内部，也可能在三角 形外部，能得到不全等的两个三角形，因此不能判定两个三角形全等，该说法错误，符合 题意： C.两边对应相等且其中一组等边上的中线对应相等，可通过延长中线构造全等，推导出第 三边对应相等，根据SAS可判定两个三角形全等，该说法正确，不符合题意； D.两角对应相等且其中一组等角的平分线对应相等，可通过证明包含该角平分线的小三 角形符合AAS判定定理全等，进而推导出原三角形全等，该说法正确，不符合题意， 3.A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出∠AEC=∠BFD,进而 即可证明△AEC≌△BFD SAS, 【详解】证明：AE‖BF ∴.∠AEC=∠BFD 在△AEC,△BFD中， CE=DF ∠AEC=∠BFD AE=BF .△AEC≌△BFD SAS. 故选：A 4.C 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，解题的关键是利用边角边证明 △ABC≌△ADE,即可得解. 【详解】解：，∠1=∠2， ∴.∠BAC=∠DAE 又.AC=AE,AB=AD, ,△ABC≌△ADE|SAS, .∠B=∠D=25° 故选C. 5.c 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由网格可知DE=AF, ∠DEC=∠AFB=90°，EC=FB,所以△AFB≌△DEC SAS,然后通过全等三角 形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 【详解】解：如图， E 由网格可知，DE=AF,∠DEC=∠AFB=90°，EC=FB, ∴.△AFB≌△DEC SAS, .∠1=∠2， 故选：C. 6.D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判 定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形 由AB=BC,∠ABC=120°，BM⊥AC,则有∠A=∠ACB=30°，AM=CM ∠AMB=∠CMB=90,可得BM=号AB,从而可得BM=CD,再证明 △MEB≌△CED|AAS,所以ME=CE,设CE=X,则ME=X, AM=AE-ME=7-X,由AM=CM,可得7-X=2X,解得x=3即可. 【详解】解：：AB=BC,∠ABC=120°，BM⊥AC, ∴.∠A=∠ACB=30°，AM=CM,∠AMB=∠CMB=90°， ..BM-ZAB. .AB=2CD. ..BM=CD. .∠BCD=120°， ∴.∠DCE=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90° ∴.∠BMC=∠DCE=90°， 在△EMB和△ECD中， ∠BME=∠DCE ∠BEM=∠DEC, BM=DC ∴.△MEB≌△CED AAS, .ME=CE, 设CE=x,则ME=x,AM=AE-ME=7-x, .AM=CM, 7 ∴.7-X=2X,解得X= 3 6 故选：D 7.B 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判 定和性质等，由三角形的高可得∠CAD+∠CD=90°，进而由角平分线的定义得 ∠MAC+∠MCA=号∠CAD+号∠ACD=45,即得到 ∠AMC=180°-∠MAC+∠MCA=135°，即可判定①；证明 △CAM≌△CBM AAS,得到MA=MB,进而可证△AMH≌△BME ASA,即可 判定②；由全等三角形的性质得AC=BC,AH=BE,进而由BE+CE=BC得 AH+CE=AC,即可判定④；延长BM交AC于点N,可证△AMH≌△AMN ASA, 得到MH=MN,即得BH+2MH=BH+MH+MN=BN,由∠BNC>∠BCN可得 BC>BN,即得BC>BH+2MH,即可判定③，综上即可求解；正确作出辅助线是解题 的关键。 【详解】解：，AD是△ABC的高， ∴.∠ADC=90, .∠CAD+∠CD=90°， ,CF是△ABC的角平分线，AE平分∠CAD, ∠MAC=3CAD.∠MCA=∠ACD. ∠MC+∠MCA=<CAD+3∠ACD=2CD+∠ACD=×90=45, :∠AMC=180°-∠MAC+∠MCA=180-45°=135°，故①正确： ,AD是△ABC的高，BM⊥AE, ∴.∠ADB=∠ADC=∠AMB=∠EMB=90°， ,∠AHM=∠BHD, .180°-∠AMB-∠AHM=180°-∠ADB-∠BHD, 即∠HAM=∠CBM, ,CF是△ABC的角平分线，AE平分∠CAD, .∠CAM=∠HAM,∠ACM=∠BCM, 在△CAM和△CBM中， ∠CAM=∠CBM ∠ACM=∠BCM CM=CM ∴.△CAM≌△CBMAAS, ∴.MA=MB, 在△AMH和△BME中， ∠HAM=∠EBM MA=MB ∠AMH=∠BME .△AMH≌△BME ASA,②正确： :△CAM≌△CBM, .AC=BC, ,△AMH≌△BME, .AH=BE, .BE+CE=BC, ∴.AH+CE=AC,故④正确： 如图，延长BM交AC于点N, .∠AMN=180°-∠AMB=180°-90°=90°. ∴.∠AMN=∠AMB=∠AMH, 在△AMH和△AMN中， ∠HAM=∠NAM MA=MA ∠AMH=∠AMN ∴.△AMH≌△AMN ASA, ∴.MH=MN .BH+2 MH=BH+MH MN=BN. ,∠BNC=∠AMN+∠NAM=90°+∠NAM>90°，是钝角， .∠BNC>∠BCN, ..BC>BN 即BC>BH+2MH,故③错误： 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：B 8.80° 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质.根据题意证明△BAC≌△ADC SSS, 得出∠BAC=∠DAC,结合∠EAC=50°求得∠DAC,根据 ∠BAE=∠BAC-∠EAC,即可解题. 【详解】解：，'AB=AD,CB=CD, ∴.在△BAC与△DAC中， AB=AD CB=CD AC=AC .△BAC≌△ADCSSS, ∴.∠BAC=∠DAC, .∠EAC=50° .∴.∠DAC=∠BAC=180°-50°=130°， ∴.∠BAE=∠BAC-∠EAC=80°， 故答案为：80°」 9.2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用直角三角形的特殊判定方法“HL”求 解更加简便.根据垂直的定义可得∠ADB=∠BEC=90°，再根据同角的余角相等求出 ∠A=∠CBE,然后利用“HL”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相 等可得DB=EC=2,AD=BE=4即可解决问题. 【详解】解：.AD⊥BP,CE⊥PB, ∴.∠ADB=∠BEC=90°， 在Rt△ABD和Rt△BCE中， AB=BC BE=AD ∴.Rt△ABD≌Rt△BCE(HL), .∴.AD=BE=4,DB=EC=2, ∴.DE=BE=BD=4-2=2, 故答案为：2. 10.60 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题意，画出图形，得到 △CAB≌△CDE,得到DE=AB,即可得出结果。 【详解】解：由题意，画图如下： 由题意，∠D=∠A=90°，AC=CD=40m,AD+DE=140m,∠ACB=∠DCE .DE=60m,△CAB≌△CDE, ∴.AB=DE=60m: 故答案为：60 11.3 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质 等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键.延长AD、BC 交于点F,由BD⊥AD且BD平分∠ABC,证得△AFC≌△BEC,可得AD=FD,再 根据∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，∠CEB=∠AED,证得 ∠FAC=∠CBE,进一步证明△AFC≌△BEC,则可得AF=BE,从而得到 AD=-BE=3. 【详解】解：如图，延长AD、BC交于点F, D E .·BD⊥ADBD ∠ABC B 且平分 ∴.∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90, BD=BD, .△ADB≌△FDB ASA, ∴.AD=FD, .∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，∠CEB=∠AED, ∴.∠FAC=∠CBE, 在△AFC和△BEC中 , .∴△AFC≌△BEC(ASA), ∴.AF=BE, ..AD=1AF=1BE=3, 故答案为：3. 12.3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确找出两个 全等三角形是解题关键.先根据等腰三角形的性质可得CE=AE,则可得BE=6,再证出 △AEH≌△CEB,根据全等三角形的性质可得HE=BE=6,最后根据线段的和差求解 即可得. 【详解】解：，AD⊥BC,CE⊥AB, .∠AEH=∠CEB=90°，∠B+∠BAD=90°=∠AHE+∠BAD」 .∠B=∠AHE, ,∠BAC=45°， .∠ACE=90°-∠BAC=45°， .∠ACE=∠BAC, ..CE=AE, AB=15,CE=9, .BE=AB-AE=AB-CE=6. 在△AEH和△CEB中， ∠AEH=∠CEB=90° ∠AHE=∠B AE=CE .△AEH≌△CEB AAS, .HE=BE=6. ∴.CH=CE-HE=9-6=3. 故答案为：3. 13.1或3 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属 于中考常考题型.分两种情况：①若BP=AC=4,AP=BQ=8,则△CAP≌△PBQ: ②若BP=AP=6,AC=BQ=4,则△ACP≌△BQP即可得出结果. 【详解】解：CA⊥AB于A,DB⊥AB于B, .∠A=∠B=90, 设P点每分钟走xm, ①若BP=AC=4,此时AP=BQ=8,△CAP≌△PBQ, t=8=4, 2 ②若BP=AP=6,AC=BQ=4,△ACP≌△BQP, t=4=2, x号3 故答案为：1或3 14.9 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助 线构建全等三角形是解本题的关键。 过点D作DP‖BC交AC延长线于P,延长DP交AH的延长线于Q,过点B作BN⊥DF于 N,多次证明三角形全等，最后由线段的和差得 2AH=DE=EF+DF=BD+2FN=BD+2(BC-BF=BD+2BC-BD)=2 BC-BD 进而即可得解 【详解】证明：如图，过点D作DP‖BC交AC延长线于P,延长DP交AH的延长线于Q, 过点B作BN⊥DF于N, Q DP‖BC 0 图2 .∴.∠BDQ=∠ABC, :∠ADE=3∠ABC. .∴.∠ADE=∠QDE, .'AH⊥DH, ∴.∠AHD=∠QHD, 在△ADH和△QDH中， ∠AHD=∠QHD ∠ADE=∠QDE DH-DH ∴.△ADH≌△QDH(ASA), ∴.AD=QD, .AH⊥DH, ∴.AQ=2AH, 在等腰Rt△ABC中，AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB=90°， .'∠BDQ=∠ABC, ∴.∠CAB=∠BDQ=45°， ∴.AP=DP,∠APD=90°， .AH⊥DH, ∴.∠AHD=∠APD, ∴.∠QAP=∠EDP, 在△APQ和△DPE中， ∠QAP=∠EDP AP=DP ∠APQ=∠DPE=90° .∴.△APQ≌△DPE(ASA), .'AQ=DE, AQ=2AH, ∴.DE=2AH. :∠ADE= :∠ABC,∠ABC=∠ADE+∠BFD, .∠ADE=∠BFD, ∴.BD=BF, ∴.DN=FN, DF=2CF, ∴.CF=NF, 在△CFE和△NFB中， ∠CFE=∠NFB CF=NE ∠ECF=∠BNF=90° ∴.△CFE≌△NFB(ASA), ∴.EF=BF BD=BF, ∴.EF=BD, .DE=EF+DF=BD+2CF=BD+2(BC-BF=BD+2(BC-BD=2BC-BD :.2AH=2BC-BD,BC=BD+2AH=9. 2 故答案为：9. 15.见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，先作一个角∠ECF=∠α，再以C为圆心a为半径画弧， 交CE于A,交CF于D,则AC=CD=a,再以D为圆心a为半径画弧交CF于B,则 BD=CD=a,BC=2a,最后连接AB即可得到满足要求的△ABC. 【详解】解：如图，△ABC,其中BC=2a,AC=a,∠BCA=∠a. 16.(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. (1)根据平行线的性质可得∠CAB=∠D,结合已知条件根据AAS,即可证明 △ABC≌△DAE (2)根据△ABC≌△DAE得出AC=DE=3,AD=AB=9,根据线段的和差，即可求 解。 【详解】(1)证明：，AB‖DE, ∴.∠CAB=∠D, 在△ABC和△DAE中 ∠CAB=∠D ∠ACB=∠E AB=AD ∴.△ABC≌△DAE AAS (2)解：，△ABC≌△DAE .AC=DE=3,AD=AB=9 .∴CD=AD-AC=9-3=6 17.(1)△ABC≌△ADE:△ADC≌△ABE:△CDF≌△EBF 2)CF=EF:理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理 SAS,ASA,AAS,SSS （1)利用全等三角形的判定定理判定即可； (2)利用△CDF≌△EBF得到CF=EF即可. 【详解】(1)解：在△ABC和△ADE中， AB=AD ∠ABC=∠ADE=90° BC=DE .△ABC≌△ADE SAS: ∴.∠CAB=∠EAD,AC=AE,∠ACB=∠AED, .∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB, .∠CAD=∠EAB, 在△ACD与△AEB中， AC=AE ∠CAD=∠EAB AD=AB ∴.△ACD≌△AEB SAS: .CD=EB,∠ACD=∠AEB, ∴.∠ACB-∠ACD=∠AED-∠AEB,即∠DCF=∠BEF, 在△CDF与△EBF中， ∠DCF=∠BEF CD=EB ∠CFD=∠EFB .△CDF≌△EBF AAS: 综上，全等三角形有△ABC≌△ADE:△ACD≌△AEB:△CDF≌△EBF: (2)解：CF=EF 证明：由(1)知△CDF≌△EBF, .CF=EF」 18.(1)见解析 (2)28° 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用“边角边”证明三角形全等 成为解题的关键 (1)先说明BC=EF,再运用“边角边”即可证明结论； (2)由全等三角形的性质可得∠ACB=∠DFE,再根据三角形外角的性质可得 ∠ACB+∠DFE=∠AOF=56°，进而完成解答， 【详解】(1)证明：，BF=EC, ∴.BF+FC=EC+FC, ..BC=EF, 在△ABC和△就中， AB=DE ∠B=∠E BC=EF ∴.△ABC≌△gSAS (2)解：△ABC≌△乙， ∴.∠ACB=∠DFE, .∠ACB+∠DFE=∠AOF=56°， ∠ACB=3A0F=28. 19.(1)= (2)AP=AQ'AP⊥AQ1 3)AP=AQ'AP1AQ画图如下： 【分析】(1)设CE、BD交于F,由三角形的高的定义可得∠BEF=∠CDF=9O°， 再由三角形内角和定理计算即可得解； (2)证明△QAC≌△APB SAS,得出AQ=AP,∠QAC=∠P,再结合三角形内角 和定理计算即可得解； (3)证明△QAC≌△APB SAS,得出AQ=AP,∠QAC=∠P,再结合三角形内角 和定理计算即可得解， 【详解】(1)解：设CE、BD交于F, 图1 ,BD、CE是△ABC的高， .∠BEF=∠CDF=90°， ,∠BFE=∠CFD, 又，∠2=180°-∠BEF-∠BFE=90°-∠BFE, ∠1=180°-∠CDF-∠CFD=90°-∠CFD, .∠1=∠2： (2)解：结论：AP=AQ,AP⊥AQ, 证明：由(1)可得，∠1=∠2， 在△QAC和△APB中， QC=AB ∠1=∠2 CA=BP .△QAC≌△APBSAS, .AQ=AP,∠QAC=∠P .BD⊥AC ∴.∠DAP+∠P=180°-90°=90°， .∠DAP+∠QAC=90°， 即∠QAP=90, .AQ⊥AP: 即AP=AQ,AP⊥AQ: (3)解：结论：AP=AQ,AP⊥AQ,理由如下： 如图所示： D B 同理可得，∠1=∠2， 在△QAC和△APB中， QC=AB ∠1=∠2 CA=BP .△QAC≌△APBSAS, .AQ=AP,∠QAC=∠P, ∠PDA=90, .∠P+∠PAD=90, .∠QAC+∠PAD=90° .∠QAP=180°-90°=90° .AQ⊥AP, 即AP=AQ,AQ⊥AP 20.（1)见解析 (2)EF=DF+BE' 理由见解析 (3)EF=BE-DF,理由见解析 【分析】(1)证明△AEF≌△AEG,即可得出结论： (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌△AGF,即可得出结论： (3)在BC上取一点G,使BG=DF,先证明△ABG≌△ADF,再证明 △AEG≌△AEF,即可得出结论. 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形 【详解】(1)解：延长EB到G,使得BG=DF,连接AG, D G B E 图1 在△ABG和△ADF中 AB=AD ABG=∠ADF=90, BG=DF :.△ABG≌△ADF SAS, .AG=AF,∠BAG=∠DAF, .∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE, ∠EAF=3∠BAD, .∠GAE=∠EAF, 在△AEG和△AEF中 AG=AF ∠GAE=∠EAF AE=AE .△AEG≌△AEF, .EF=EG=BE+BG=BE+DF; (2)EF=DF+BE:理由如下： 延长FD到点G,使DG=BE,则∠ADF+∠ADG=180°， G B 图2 :∠B+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADG, .AB=AD ∴.△ABE≌△ADG, .AG=AE,∠1=∠3， :∠EF=7∠BMD, ·∠1+∠2= ∠BAD, 2 ∴∠3+∠23∠BAD,即：∠AG= ∠BAD, ,∠EAF=∠FAG, 又AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF, .'EF=GF, .GF=DF+DG, .EF=DF+BE: (3)EF=BE-DF,理由如下： 在BC上取一点G,使BG=DF, 图3 :∠ADF+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°， .∠B=∠ADF, 又AB=AD, .△ABG≌△ADF, .AG=AF,∠1=∠2， ·∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=} ∠BAD, :∠GAE=号∠BAD=∠EAP, 又AE=AE, ∴.△AGE≌△AFE, .EF=EG=BE-BG=BE-DF.