河北保定市唐县第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高三开学数学试卷聚焦基础巩固与能力衔接，通过函数性质、概率应用等模块考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配高三起点学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数定义（题1）、函数奇偶性（题2）|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3/18|扇形面积计算（题9）、排列组合（题10）|多维度知识整合，考查思辨能力| |填空题|3/15|函数单调性（题12）、切线方程（题13）|强调数学运算与几何直观| |解答题|5/77|三角函数求值（题15）、概率统计（题17）、函数极值与证明（题18-19）|融入党的二十大情境（题17），突出逻辑推理与创新应用，贴合高考命题趋势|

2026～2027学年高三上学期开学考试 数 学 试 题 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．角的终边经过点且，则b的值为（ ） A．3 B． C． D．5 2．设函数为奇函数，则实数( ) A．-1 B．1 C．0 D．-2 3．已知，，，则的最小值是( ) A.4 B. C.5 D.9 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．在中，内角满足，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 6．若在定义域R上为减函数，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 7．的展开式中的系数为（ ） A． B． C．5 D．25 8．已知函数若函数有三个零点，则( ). A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．下列说法正确的是（ ） A． B． C．已知角的终边过点，则 D．已知扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10．、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法 C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法 11．已知函数，则( ) A.当时，恒成立 B.当时，是的极值点 C.若有两个不同的零点，则a的取值范围是 D.当时，只有一个零点 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12．若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是________. 13．已知函数，过点作曲线的切线l，则l的方程为________. 14．已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则________；当时，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 16．已知函数是奇函数．  Ⅰ求函数的定义域及实数的值；  Ⅱ若函数满足且时，，求的值． 17．党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立. (1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率； (2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及. 18.已知函数，. （1）求函数的极值点； （2）若恒成立，求实数m的取值范围. 19.已知函数. (1)若函数在上恒成立，求a的取值范围； (2)若是函数的两个零点，证明：. 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B A D C D C BCD AC BD 12、 13、 14、2 15【解】（1）因为，且， 所以， 所以. （2）由（1），， ． （3）因为， ， ． 16. 17、【解】（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为，则， 可得甲进入正赛的概率， 乙进入正赛的概率， 故甲、乙两人进入正赛的概率分别为. （2）由题意可得：的可能取值为，则有： ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 则， 故. 18、【解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以是的极大值点，无极小值点． （2）解法一：设，， 则， 令，，则对任意恒成立， 所以在上单调递减． 又，， 所以，使得，即，则，即． 因此，当时，，即，则单调递增； 当时，，即，则单调递减， 故，解得， 所以当时，恒成立． 解法二：令，，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． 因为，所以，当时等号成立， 即，当时等号成立， 所以的最小值为1． 若恒成立，则， 所以当时，恒成立． 19、【解】（1）的定义域为，在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则 当时，；时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则. 若函数在上恒成立，则，则的取值范围是. （2）， 是的两个零点， 故，两式相减得. 要证，只需证， 即证，即证， 即证，即证成立，即证成立. 不妨设，则，故只需证， 令，则，设， 则在时恒成立， 则，故，即成立， 则不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $