精品解析：江苏省南京市高淳区湖滨高级中学2024-2025学年高三上学期期初测试数学试卷

南京市高淳区湖滨高级中学 2024～2025学年度第一学期期初测试 高三数学 2024.8 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，集合A为奇数集，求出集合B，根据交集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合， 所以， 故选：B. 2. 某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意得到求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为. 又圆锥底面周长为，所以，即圆锥的母线长. 所以圆锥的侧面积为， 解得. 故选：C. 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质求得，然后依次求得，公差，最后求得． 【详解】∵是等差数列， ∴，，所以， ∴公差， ∴， ∴， 故选：D． 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】，时是纯虚数，是纯虚数，则，得到答案． 详解】， 时是纯虚数，充分；是纯虚数，则，不必要． 故选：A 5. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分两个2之间是8和不是8两大类讨论即可. 【详解】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828； 828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种 若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878； 878212，共4种； 则总共有16种， 故选：B. 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（ ） A. E是一条垂直于x轴的直线 B. E是一个半径为1的圆 C. E是两条平行直线 D. E 是椭圆 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题有，，代入化简即可得出答案. 【详解】设，由题有，， 所以，， 所以，即， 所以点的轨迹是一个半径为1的圆， 故选：B． 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可. 【详解】令，，得，则， 即，整理得，且， 那么，则. 故选：C. 8. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得：， ，设， 根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则， 则在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到，最后对原式变形再利用基本不等式即可求出其最小值. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但选不全的部分得分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据的第60百分位数为14 B. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70 C. 若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由百分位数求解判断A，由分层抽样判断B，由平均值性质判断C，由二项分布性质判断D. 【详解】对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误； 对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确； 对C， 设数据的平均数为， 由平均值性质可知：样本数据的平均数为， 解得，故C正确； 对D，由题意可知，解得或， 则或，故D错误. 故选：BC 10. 已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 的最小值为2 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共轭复数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D，根据复数的除法运算和复数模的计算即可判断. 【详解】设， 对A，，， 当至少一个为0时，，当均不等于0，，故A错误； 对B，，则， 而，故，故B正确； 对C，若，即，即， 即，则在复平面上表示的是以为圆心，半径的圆， 的几何意义表示为点到点的距离，显然， 则点在圆外，则圆心到定点的距离， 则点与圆上点距离的最小值为，故C错误； 对D，，， ， 而，故，故D正确； 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. D. 函数是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，利用赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解. 【详解】对于A中，令，可得，令， 则，解得，所以A正确； 对于B中，令，且，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最大值，所以B错误； 对于C中，令，可得， 即， 所以 ，所以C正确； 对于D中，令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法可求解出，函数是奇函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为15，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解n即可. 【详解】的二项展开式的通项为, 依题意, 解得, 故答案为：. 13 已知数列满足，且，则其前2023项之和＝_______. 【答案】3034 【解析】 【分析】利用分组求和并结合等差数列求和公式可得答案. 【详解】由题意得 . 故答案为：3034 14. 已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点，则函数的极小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的导数与，即可求出切线方程，又切线过点，代入求出参数的值，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极小值. 【详解】解：因为，所以，即切点， 又，， 所以切线为，又切线过点， ∴，解得， 所以，则， 所以当或时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，. （1）若，求△ABC的面积; （2）若，求BP的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案； （2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可. 【小问1详解】 中，设角A、B、C的对边分别为、、， 在中由余弦定理得， 即① 因，即， 整理得② ①②解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以在中由余弦定理可得， 所以 解得， 由正弦定理得， 即，解得， 所以， 中由正弦定理得，则， 解得， 所以. 16. 如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成夹角的大小． 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接 因为底面为菱形，， 所以 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解， （2）根据法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为 又 所以即 取，则 为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 平面与平面的夹角为 17. 某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记分，得分在5分以上（含5分）则获奖． （1）求在1次游戏中，获奖的概率； （2）求在1次游戏中，得分X分布列及均值． 【答案】（1）； （2）的分布列为： 2 5 8 .【解析】 【分析】（1）利用组合应用问题，结合古典概率公式求出摸到3个或4个红球的概率，再利用互斥事件求出概率. （2）求出的可能值，及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 设“在1次游戏中摸出个红球”为事件， 设“在1次游戏中获奖”为事件，则，且互斥， ，， 所以在1次游戏中，获奖的概率. 【小问2详解】 依题意，所有可能取值为，由（1）知， ，， ， ，， 所以的分布列为： 2 5 8 数学期望. 18. 已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）直线的斜率或 【解析】 【分析】（1）由题意首先依次得出，，进一步结合离心率公式以及的关系式即可求解； （2），则，进一步表示出点以及的面积，结合已知可得点的坐标，由此即可得解. 【小问1详解】 圆过， ， 又圆过， ， 又 ， 椭圆的方程为. 小问2详解】 设，则， 由题知且， 则， ， 由，解得， ， 又， ， 又， ， 直线的斜率或. 19. 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中c为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比三角函数的三个性质：①倍角公式 ；②平方关系 ；③求导公式 写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； （2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数k的取值范围； （3）若，，证明：． 【答案】（1） 平方关系：； 倍角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系: ； 倍角公式：； 导数：，； 以上三个结论，证对一个即可． （2） （3） 因为， 所以原式变为， 即证， 设函数，即证，， 设，， 时，在上单调递增，即在上单调递增， 设，（），则， 由于在上单调递增，， 所以，即，故在上单调递增， 又，所以时，， 所以，即， 因此恒成立，所以原不等式成立，得证． 【解析】 【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明； （2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）结合新定义将所证变为，设函数，即证，先利用导数求得在上单调递增，再设，利用导数得其单调性及，从而，得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， ①当时，由， 又因为，故，等号不成立， 所以，故为严格增函数， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令，， 则，可知是严格增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在上为严格减函数， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数k的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市高淳区湖滨高级中学 2024～2025学年度第一学期期初测试 高三数学 2024.8 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 10 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（ ） A. E是一条垂直于x轴的直线 B. E是一个半径为1的圆 C. E是两条平行直线 D. E 是椭圆 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但选不全的部分得分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据的第60百分位数为14 B. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70 C. 若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 10. 已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 的最小值为2 D. 11. 已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. D. 函数是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为15，则________． 13. 已知数列满足，且，则其前2023项之和＝_______. 14. 已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点，则函数的极小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，. （1）若，求△ABC的面积; （2）若，求BP的长. 16. 如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成夹角的大小． 17. 某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记分，得分在5分以上（含5分）则获奖． （1）求在1次游戏中，获奖的概率； （2）求在1次游戏中，得分X的分布列及均值． 18. 已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 19. 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中c为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比三角函数的三个性质：①倍角公式 ；②平方关系 ；③求导公式 写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； （2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数k的取值范围； （3）若，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $