江苏省南京市金陵中学2027届高三8月开学考试数学试题

数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知一个圆锥的母线长为，高为3，则该圆锥的表面积为 A． B． C． D． 3．已知向量，，且，，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 4．展开式中项的系数为 A．-160 B．-20 C．20 D．160 5．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”任取“两音”，则“两音”同为打击乐器的概率为 A． B． C． D． 6．已知实数，满足，则下列不等式可能成立的是 A． B． C． D． 7．已知，，对于，恒成立，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则 A．为奇函数 B．为奇函数 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．下列说法中正确的是 A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是7.5 B．随机变量，若，则 C．已知随机事件，，且，，若，则事件，相互独立 D．已知变量，具有线性相关关系，其经验回归方程为，若样本中心点为，则实数的值为2 10．已知正三棱台，，，下列说法正确的是 A．正三棱台体积为 B．侧棱与底面所成角的余弦值为 C．点到面的距离为 D．三棱台的外接球的表面积为 11．在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则 A．为的极大值点 B． C． D．设直线的斜率为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，则_________． 13．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_________． 14．在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的投影向量模的最大值_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．函数（，，）的一段图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求在上的单调减区间； （3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 16．某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的500人（其中300人为女性）的得分（满分100）数据，统计结果如表所示： 得分 男性人数 20 60 40 40 30 10 女性人数 10 70 60 75 50 35 （1）把员工分为对消防知识“比较熟悉”（不低于70分的）和“不太熟悉”（低于70分的）两类，请完成如下列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别有关？ 不太熟悉 比较熟悉 合计 男性 女性 合计 （2）为增加员工消防安全知识及自救、自防能力，现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛．在每轮比赛中，小组两位成员各答两道题目，若他们答对题目个数和不少于3个，则小组积1分，否则积0分．已知与在同一小组，答对每道题的概率为，答对每道题的概率为，且，理论上至少要进行多少轮比赛才能使，所在的小组的积分的期望值不少于5分？ 附：参考公式及检验临界值表 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，． 17．已知函数（，），在时最大值为2，最小值为1．设． （1）求实数，的值； （2）若任意，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 18．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且，，． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 19．已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数； （3）已知，求证：当时，函数有两个不同的极值点，（），且． 学科网（北京）股份有限公司 $