第三章图形的相似综合练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-性质应用-实际建模”为主线，系统整合相似图形判定、性质及位似变换，通过分层题型培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（如1,8,9）|正多边形相似判定、网格图形相似比计算|从图形共性到相似本质，建立判定条件与图形特征的关联| |性质应用|6题（如3,5,11）|面积比与相似比关系、黄金分割计算|由相似性质推导比例线段，形成“判定-性质-计算”逻辑链| |位似变换|4题（如7,10,14）|坐标变换规律、位似中心确定|结合坐标系实现几何变换与代数表达的转化| |实际应用|3题（如15,19,22）|投影建模、辅助线构造（作平行线）|从实际问题抽象相似模型，培养数学建模与应用意识|

北师大版九年级上册数学第三章图形的相似综合练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．任意两个正五边形 B．任意两个平行四边形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形 2．在中，D为边上一点，则下列条件一定能得到一对相似三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 4．摄影师们通常会将主体放置在画面中的黄金分割点上，以获得更好的摄影效果．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，已知△ABC． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N． （2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P． （3）作射线AP交BC于点D． （4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点． （5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F． 依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（　　） A． B．1 C． D．4 6．在中，与相交于点O，连接，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（    ）    A． B． C． D． 9．9．如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为________________． 12．如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 13．如图，在梯形中，，点分别是腰上的点，连接，，，，，若记，那么可以用表示为____． 14．在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，以O为位似中心，相似比为2，把线段放大，点A的对应点B在双曲线上，则___． 15．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为，则像的长为__________． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．    (1)作关于y轴的轴对称图形，请在平面直角坐标系中画出，并填写，的坐标．点的坐标为（______，______）；点的坐标为（______，______）． (2)的顶点坐标分别为，，，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（______，______） 17．如图，在中，，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 18．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的值． 19．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 20．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)如果的面积为10，则四边形的面积为______． 21．如图，在矩形中，，点是线段上一点，连接，过点作，交于点． 【一般化感知】 如图①，易证：； 【特殊化探究】 （1）如图②，连接交于点．若，求的长； 【拓展性延伸】 （2）如图③，连接，过点作，交的延长线于点．若点是的中点，直接写出的长． 22．【发现问题】 如图①，在中，，点D为的中点，点F在上，且，与交于点E，求的值． 【问题分析】 小明对该问题进行仔细地研究后发现点F、D都是某一边上固定比例的分点，我们可以称之为“定比分点”，过其中一个定比分点作平行线即可得到两组相似三角形．根据相似三角形的性质即可得到相应的比例关系，并解决该问题． 【问题解决】 解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ∵点D为的中点，． 接下来小明想尝试证明．并结合已知条件得出结果． 请帮助小明继续完成上述求解过程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《北师大版九年级上册数学第三章图形的相似综合练习》参考答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．B 10．A 11．15 12．（或或） 13． 14．/0．25 15．/5厘米 16．(1)；0；；2 (2)0； 17．(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴． (2) 18．(1) 证明：， ， ， ， ， 又， ， ， ； (2) 19．(1)米 (2)米 (3)1米 20．(1) 证明：∵， 又∵， ∴． (2) 21． （一般化感知）证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． （1），； （2） 22． 解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ， ∵点D为的中点， ． ． ∵， ， ， ， ， ， ， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $