专题05 相似三角形的性质（专项训练）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 聚焦相似三角形性质的5类常考题型与综合应用，题型覆盖基础计算、网格作图、动点问题、判定性质综合及实际应用，逻辑递进且突出高频难点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|25题|基础计算（性质直接应用）、网格作图（空间观念）、动点问题（动态推理）、综合题（高频）、实际问题（模型意识）|从性质概念（对应比关系）到应用拓展（作图、动态、实际）| |综合攻坚·知能拔高|12题|综合选择、填空、解答，融合多知识点与复杂情境|综合考查性质与判定的综合应用及问题解决能力|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05相似三角形的性质 内容概览 目常考题型精准突破 考点一相似三角形的性质 题型1利用相似三角形的性质求解 题型2在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型3相似三角形动点问题（难) 题型4相似三角形的判定与性质综合（高频） 题型5相似三角形的实际问题（重） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 一●考点一相似三角形的性质。 ◆题型1利用相似三角形的性质求解 1.B 【详解】解：，△ABC∽aDEF,对应中线比为2：3， ·△ABC与△DEF的相似比为2：3， .△ABC与△DEF的周长比为2：3， 2.B 【详解】解：：△4 BCADEF,相似比为4， 3 ∴BC边上的中线与EF边上的中线的比为4： ,BC边上的中线长为1， 34 ·EF边上的中线长为l÷ 43 3.4 【详解】解：△ABC∽aDEF,△ABC与△DEF的面积比为l:4, 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角形边长为正数， AC 1 DF2' AC=2, .DF=2×2=4. 4.60 【详解】解：：一个三角形的三边长分别为4,5,6，与其相似的三角形的最长的边为24， 61 其相似比244' 设较大三角形的周长为L, 4+5+6_1 L4' 解得L=60 即较大三角形的周长为60， 5.(1)8cm (2)40cm (3)16cm2 AB 1 【详解】(1)解：△ABC964B'C,B2,AB边上的中线CD=4cm' CDI 'CD'2, .C'D'=8cm; AB 1 (2)解：64BC64B'C,B=2,△ABC的周长为20cm' CAARC 2 ∴.CMBC=40cm; AB 1 (3)解：ABC64BC,AB=2,△ABC的面积是64cm2, 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.SA4c=16cm2 ◆题型2在网格中画与已知三角形相似的三角形 6.B 【详解】解：△ABC中，AB是正方形的对角线， .∠ABC=135°，且AB=V12+12=V2,BC=2, 4B 即BC=2' 要使△ABCn△PDE, 则∠PDE=∠ABC=135°、 观察图形，只有BD是正方形的对角线，即∠PDE=135°， 且DD=V22+22=2W2,DE=4, DR2N2√2 即 DE42· ∴点符合题意， B D E P P P2↑ P 故选：B. 似”是解题的关键。 7.(1,2)、(5,2)、(4,4) 【详解】解：以AB为共同的斜边时，△CBA兰△OAB,得C坐标为(1,2)， 过点A作AB的垂线，当AC=2AB=2V5时，△ABC~AOAB,得C,(5,2), 过点B作AB的垂线，当BC=2AB=2V5时，△BAC~AOAB,得C,(4,4) 3/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 1 故答案为：(1,2)、(5,2)、(4,4) 8.如图所示，△4BCG即为所求： B 【详解】解：根据网格得： AB=V22+42=2N5,AC=V22+42=25,BC=4, 若要△4BC△4BC,且相似比为2：1， AB=4W5,AC=45,BC=8, 如图2，△4BG即为所画三角形. 9.(1) 如图所示：△4BG即为所求： (2) 如图所示：△EFC即为所求. 4/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ME 10.(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】(1)解：如图1所示：△DEF即为所求： D 图1 :AB=VT?+12=√2，AC=VP+22=V5,BC=3, DE=V22+22=2√2，DF=V22+42=2N5,EF=6, AB AC BC 1 ∴DEDFEF2' .△DEF∽△ABC,相似比为2：l; (2)解：如图2所示：△GHⅢ即为所求； 图2 :AB=VP+P=√2，AC=VP+22=V5,BC=3, GH=2,G1=V+32=V10,HⅢ=V32+32=3√2， 5/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GH_GL-HIL ·AB-AC BC ,△GHI∽△ABC,相似比为√2：1： (3)解：如图2所示：△KL即为所求： 图3 :AB=VP+12=V2,AC=V+22=√5，BC=3, JK=4,JK=V22+62=210,KL=V6+62=6V2, KL=K紅=22」 .AB AC BC 1 六△KL∽AABC,且Sm=×4x6=I2, ◆题型3相似三角形-动点问题 11.C 【详解】解：：ADI/BC,∠B=90°， ,∠A=180°-∠B=90°，∠A=∠B=90°， 若△DAE与△EBC相似，分两种情况： ①当△DAEAEBC时， 、ADAE32 ∴EB=BC,即EB6,解得EB=9: ②当△DAEACBE时， AD AE 3 2 ∴CB=BE,即6EB,解得EB=4 综上所述，EB的长为4或9. 12.3或4.8 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：AD=xcm,CE=2xcm,则AE=(12-2x)cm, 6/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE 当△4DE∽△ABC时，AB=AC: :=12-2x 612，解得x=3: AD AE 当ADEA4CB时，ACAB' x_12-2x 126 ,解得x=4.8 综上，以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为3或4.8 2 13.4或5 【详解】解：设运动时间是t秒， ,点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动. .AP=t,CQ=2t,AQ=16-21 :∠BAC=∠PA犯，且以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似， AP AO AP AO ·ACAB或ABAC t_16-2tt_16-2t 8=16或16=8 32 “1=4或5： 32 即当以A,P,Q为顶点的三角形与。4BC相似时，运动时间是4或5， 14.1或3/3或1 【详解】过点M作MD⊥BC交BC于点D,且∠B=∠B, M C N ∴.Rt△ABC∽Rt△MBD」 MD AC ·MB=AB 根据题意可知：MB=31,BN=8-21,AB=10, 7/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MD 6 .3610’ .MD=2 5 SAmy=9 ∴2*8-202=9x1 1 -×二×6×8 5402 化简整理得：2-41+3=0， 解得：4=1，专=3 15.(1)5 (2)PQ= 16+204 3T35父 6-专政-0 41 【详解】(1)解：：AC=4,BC=3,∠ACB=90°， .AB=V32+42=5: (2)解：如图，当0<1< 5时， :∠AP9=∠ACB=90°，∠A=∠A, .△AP9~△ACB. AP PO ·ACCB' :动点P的速度为每秒4个单位长度，AC=4,BC=3, 4t PO .4=3’ 8/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .P0=31: 如园，当1<时 4 C B ∠BP2=∠ACB=90°，∠B=∠B, .△BP2~aBCA, PO BP ·ACCB ,动点P的速度为每秒4个单位长度，AC=4,BC=3, P95-4t 43 3 3 30<) 综上所述：P= 3 (3)解：如图， Q 当∠PD0=90°时， .∠ACB=90°， .PD∥BC, .D是AC的中点， 9123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP AD :PB CD =1, 由(1)得：AB=5, 1 :MP=24B=2 动点P的速度为每秒4个单位长度， 5 5 1=2*4=8: 如图， A D 9 当∠P2D=90°时， :∠PD=∠BPe=90°， .DQ∥AB 同理可得，0=CQ=8C-多 :∠ACB=∠BP2=90°，∠B=∠B, .△BP2~aBCA. BP BO BC AB' ·BC=3,AB=5, .BP-2, 35 .BP=9 10: ·AP=AB-BP=5-9=4I 1010’ 10 40 10/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 41 综上所述，1=8或1= 40 ◆题型4相似三角形的判定与性质综合 16.B 【详解】~四边形ABCD是平行四边形， .DC∥AB ∴.△DFE∽△BFA. SDEF:S。4BF=4:25, .EF:FA=2:5. ∴.SADr:S。ADF=2:5 17.A 【详解】解：：AD=AG=2.5,AB=AC=10, 4D=AG2.51 ·ABAC=104, ∠A=∠A, .△ADGP△ABC, DG AD 1 BC AB 4' :BC=12, DG 1 124: ∴.DG=3 18.2或 4w10-8 3 【详解】解：由折叠可得FC=FD, ①当BF=FD时，则CF=BF=)BC=2: ②当BF=BD时， 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, .'AB=AC2+BC2=5, 如图，延长BC至G,使得CG=1, 11/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B D .∠ACB=90° .∠ACG=180°-∠ACB=90°， 在Rt△ACG中，AG=VCG+AC2=VP+32=V10, ..BG=BC+CG=AB=5, BF BG BD BA BF BD BGBA· ∠B=∠B, ∴.△BFD∽△BGA, DE BF AG BG' 设CF=x,则DF=CF=x,BF=4-x, x=4-x V105, 解得x=4V10-8 3: 4W10-8 综上所述， Cp=2或3 19.1:3 【详解】解：DE‖AC, .∴△DOEACOA SADOR:SAcO=1:16 DE SADOE 1 4· .DEll AC, ∴.△BDEn△BAC, BE DE 1 BC AC 4, 12/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE 1 EC-3. .∵SARDE与SACDE等高， SABDE-BE1 S△CDE CE3· 20.3 【详解】解：过点E作EHI‖AC,交BD于点H, D H F E 在△ABC中，，D是AC的中点， ∴.AD=CD ,E是BC上靠近B的三等分点， :BE=BC, 3 EH∥CD, ∴.△BEH∽△BCD EH BE1 CD BC 3' .CD=3EH, .AD=CD=3EH. ,EH∥AD ∴.△EFH∽AAFD, FE EH 1 ·AF=AD3' .AF=3FE ..AF =AFE, .AFE =3FE, 元=3 ◆题型5相似三角形的实际问题 13/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21. g 【详解】解：设小强的影长为x米，根据题意得 1.81.6 3.216 解得x= 1.89 1 经检验x= 9是原方程的解。 16 小强的影长为9米。 22.小明站在伞脚的右侧，离伞脚1m到2.2m处，不会被太阳光晒到 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作EF⊥AD于F,设小明站在MW处时，其影子的最外端与点 H重合， 2m 4m Q 1m 2m .NH∥EG. ∴.∠NHM=∠EGF 又，∠EFG∠NWMH=90°， .△EFG∽△NMH, EF FG ·NMMH' 42 .1.6MH .MH=0.8, .AM=3-0.8=2.2(m). ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚lm到2.2m处，不会被太阳光晒到. 23.136步 【详解】解：已知OB=120,OD=60,OC=80,OA=40, 14/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0D_601OA401 0B-120-2'0C-80-2 .OD OA OB OC' :∠AOD与∠COB是对顶角， ∴.∠AOD=∠COB 两边对应成比例且夹角相等，故△OAD∽aOCB AD OA 1 BC OC 2' 已知AD=68步，代入得：BC=68×2=136, ∴.B、C之间相距136步. 24.树AB的高度为15.5米 【详解】解：根据题意可得：∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB, .△DEF ADCB, EF CB DE DC' .EF =0.4m,DE=0.6m,AM =CD=21m, .0.4BC 0.621 ∴.BC=14, .AB=AC+BC=1.5+14=15.5(m. 答：树AB的高度为15.5米， 25.塔的高度AB为37米 【详解】解：设AB=xm,BD=m, EF =2m,PF=4m, .PB=PF+FD+BD=4+17.5+y=(21.5+y)m, :EF‖AB .△EFPAABP, .EF PF AB PB' 2 4 x21.5+y, 15/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CD=2m,D9=3m. .OB=OD+DB=(3+y)m. .CDI AB .△CDQ△ABQ, CD_DO AB BO :23 x 3+y' 3 4 3+y21.5+y 解得y=52.5(检验成立)， 23 x3+52.5 解得x=37(检验成立). 答：塔的高度AB为37米. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.D 二、填空题 5.15√6 三、解答题 6. 【详解】解：：△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9， AE6 EC9· 16/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE 6 2 AC155 DE BC .△ADEAABC DE AE2 BC AC 5 .DE BC, ∴.ADOE∽△COB OE DE 2 OBBC5· 0E=4, ∴.OB=10 ..BE=OB+OE=14 7. 【详解】解：设DP-x, ,四边形ABCD为矩形， ∴.BC=AD=2,CD=AB=5,∠D=∠C=90°， .PC=5-x, .∠D=∠C, .DA DP 六当CB=Cp时， ADAP∽ACBP, 即吃5解得。 2_x DA DP 当CP=CB时， ADAPACFB, 2= 即5-x2,解得 x=1,x2=4, 5 综上所述， DP的长为2或1或4. 8. 【详解】(1)解：当PO∥BC时，AP:AB=A0:AC, 17123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP=4x,A0=30-3x, 4x30-3x 20=30, 10 解得：x=3: (2)解：BA=BC .∠A=∠C, AP AQ ①当△AP0n△COB时，有CgBC, 4x30-3x 即：3x20 10 解得：x= 9· AP=4x=40 9(cm), AP AO ②当△APO∽△CB0时，有BCCQ, 4x30-3x 即：20=3x 解得：x=5或x=-10(舍去)， .PA=4x=20(cm), 40 综上所述，当AP-gcm或20cm时，△4PO与△COB相似. 9 【答案】(1)5 (2) ①如图2所示，点P即为所要找的点： ②如图3所示，点P即为所要找的点 B D B 图2D 图3 18/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：图1中， AB∥CD. PC CD 1 ·PB=AB3, 1 故答案为：3 (2)解：①在网格图②中，AB=V32+42=5, 如图2所示，连接CD,交AB于点P, :BC∥AD AP AD 3 AP 3 BP CB2'5-AP2' 解得：AP=3, ∴点P即为所要找的点： ②如图3所示，作点A的对称点A', 连接AC,交BD于点P, :AB∥CD, .△APB∽aCPD ∴点P即为所要找的点 D B 图2 图3 【点睛】本题考查了作图一相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相 似三角形. 10 【答案】(1)如图，△4BC即为所求作，12： 19123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 图2 (2)如图，△4，B,C2即为所求作，4+V10+3V2 B A 图3 【详解】(1)解：作△4BG略， △48G的面积为2×6x4=12: (2)解：作△4，B,C2略， :△4，B,C2△ABC,面积之比为2：1， ·.△A,BC2和△ABC的相似比为V2:1, :AB=2+2=22,AC=V22+1P=5,BC=3, 4B,=V2×2V2=4,4,C2=V2×5=10,B,C2=32, ∴△4，B,C2的周长4，B,+4,C+B,C2=4+V10+3V2 11 【详解】(1)解：如图1， D B 图1 .·AC⊥BC ∴.∠ACB=90° :AD∥BC, 20/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAC=∠ACB=90°. AD=9,AC=12,BC=16, .AB=20,DC=15. BC AC 4 ACAD3,∠DAC=∠ACB ∴.△ABC∽△DCA, ∴.∠B=∠ACD :∠EAF=∠BAC .∠BAE=∠CAF, ∴.△ABEn△ACF, AB BE ACCF, 20_x .12CF CF-*: 3 (2)解：△ABEAACF, AB AE .AC AF 又∠EAF=∠BAC, ∴△AEF∽△ABC, EF BC 16 4 ∴AFAC123: r号r ,AD∥CG, ∴.ACFG∽△DFA, FG CF ∴，FADF, 3 ..y -FG=FG=3.CF-3 5x 3a万4D415、3 3x 整理得：y= (0<x≤16)： 100-4x 21/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 (3)解：当。4BG是等腰三角形时，BE的长为2、10或7， 解题过程如下： △ABC~ADCA,∴∠BAC=∠D, ∴.∠EAF=∠BAC=∠D AD∥BC,.∠G=∠FAD, ∴.△ADF~△GAE, .当△GAE是等腰三角形时，△ADF也是等腰三角形. ①当AF=DF时， 则有∠FAD=∠D, :∠FAD+∠CAF=90°，∠D+∠ACD=90°. ∴.∠CAF=∠ACD, :.FA=FC, .CF=DF=15 2 315 :5x=2 =25 29 ②当AD=DF=9时，CF=CD-DF=6, 3 =6, .x=l0: ③当AF=AD=9时， 作AH⊥DF于H,如图2， 则有 E 图2 DH=FH IAC-AD=CD-AH. 2 AH=AC:AD 36 CD 59 22/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷FH=DH=VAD2-AH-27 3 =15-2×27 5 5 .x=7 12. 【答案】(1)该校旗杆的高度AB为18m (2)解：设计方案：测量示意图如解图. 1 H h m K am F bm B 某时刻，该校旗杆的影子BF长为bm,在旗杆影子的一端F处垂直于地面放置一根长度为hm的测量标杆 HF,并测得此时测量标杆HF的影子FK长为am, KH∥AF, ∴.∠HKF=∠AFB ∠HFK=∠ABF=90°， ∴.△FHK∽△BAF B语，即AB-B_m】 HF KF a 【详解】(1)解：根据题意，得∠CED=∠AEB 又：∠CDE=∠ABE=90°， ∴.ACDE∽AABE CD DE ABBE· CD=1.5m,DE =2m,BE =24m, AB-CD-BE-18(m). DE 答：该校旗杆的高度AB为18m, (2)略 23/23 专题05 相似三角形的性质 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的性质 题型1利用相似三角形的性质求解 题型2在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型3相似三角形-动点问题（难） 题型4相似三角形的判定与性质综合（高频） 题型5相似三角形的实际问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的性质 ◆题型1利用相似三角形的性质求解 1．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 2．已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 3．已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 4．一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为________． 5．，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． ◆题型2在网格中画与已知三角形相似的三角形 6．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是______． 8．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 9．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点及线段的端点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)画出一个格点，使（相似比不为1）． 10．如图1，在方格纸中，的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上， (1)请在图1中画一个三角形，使它与相似，且相似比为； (2)请在图2中画一个三角形，使它与相似，且相似比为． (3)请在图3中画一个三角形，使它与相似，且面积为12 ◆题型3相似三角形-动点问题 11．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 12．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 13．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 14．如图，中，，，.动点M从点B出发，在BA边上以每秒的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒的速度向点B运动，运动时间为t秒（），连接MN，若，则t的值为______． 15．如图，在中，，，，D是的中点．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作的垂线交或于点Q，连接．设点P的运动时间为t秒．    (1)__________； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)连接，当是直角三角形时，求t的值． ◆题型4相似三角形的判定与性质综合 16．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 17．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 19．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 20．如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． ◆题型5相似三角形的实际问题 21．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 22．在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 23．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 24．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 25．某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．已知，且与的相似比为2：3，若的面积为4，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 2．如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 3．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 4．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知，的周长为的周长为________． 三、解答题 6．如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 7．如图，矩形中，为边上的动点，当与相似时，求长． 8．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．    (1)当时，求x的值． (2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 9．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，　 　． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 10．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 11．如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设．    (1)使用的代数式表示； (2)设，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 12．综合与实践 【活动主题】 测量学校旗杆的高度． 【测量工具】 测量标杆（尖头端可插入地面用以固定，长度可拼接）、平面镜、皮尺． 【方案设计】 某综合与实践小组利用平面镜与皮尺测量学校旗杆的高度．如图，该小组在地面上点处放置平面镜，当小组成员站在点处时，刚好能从平面镜中看到旗杆顶端的像．测得该小组成员的眼睛距离地面的高度，到平面镜的水平距离，平面镜到旗杆底部的距离，点均在同一竖直平面内，且点在同一直线上． 【问题解决】 (1)请你利用以上数据计算该校旗杆的高度． 【评价反思】 (2)请你设计其他方案计算旗杆的高度．要求：选用【测量工具】中的工具，简要说明设计方案，画出测量示意图，测量数据用等小写字母表示． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形的性质 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的性质 题型1利用相似三角形的性质求解 题型2在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型3相似三角形-动点问题（难） 题型4相似三角形的判定与性质综合（高频） 题型5相似三角形的实际问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的性质 ◆题型1利用相似三角形的性质求解 1．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 2．已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：∵，相似比为， ∴边上的中线与边上的中线的比为， ∵边上的中线长为， ∴边上的中线长为. 3．已知，面积比为，的对应边为，，则的长为______． 【答案】4 【详解】解：∵，与的面积比为， ∴， ∵三角形边长为正数， ∴， ∵， ∴． 4．一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为________． 【答案】60 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为4，5，6，与其相似的三角形的最长的边为24， ∴其相似比， 设较大三角形的周长为L， ∴， 解得． 即较大三角形的周长为60． 5．，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：，，边上的中线， ， ； （2）解：，，的周长为， ， ； （3）解：，，的面积是， ， ． ◆题型2在网格中画与已知三角形相似的三角形 6．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是______． 【答案】、、 【详解】解：以为共同的斜边时，，得坐标为， 过点作的垂线，当时，，得， 过点作的垂线，当时，，得． 故答案为：、、 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 8．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． 9．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点及线段的端点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)画出一个格点，使（相似比不为1）． 【答案】(1) 如图所示：即为所求； (2) 如图所示：即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了轴对称的作图，以及作相似三角形，解题的关键是熟练掌握轴对称的作图方法，以及相似三角形对应边成比例，对应角相等． 10．如图1，在方格纸中，的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上， (1)请在图1中画一个三角形，使它与相似，且相似比为； (2)请在图2中画一个三角形，使它与相似，且相似比为． (3)请在图3中画一个三角形，使它与相似，且面积为12 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图1所示：即为所求； ； ∵，，， ， ，， ∴， ∴,相似比为； （2）解：如图2所示：即为所求； ； ∵，，， ，，， ∴， ∴，相似比为； （3）解：如图2所示：即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴，且． 【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键． ◆题型3相似三角形-动点问题 11．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 12．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 13．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 14．如图，中，，，.动点M从点B出发，在BA边上以每秒的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒的速度向点B运动，运动时间为t秒（），连接MN，若，则t的值为______． 【答案】或/3或1 【详解】过点作交于点，且， ∴， ∴ 根据题意可知：，，， ∴， ∴， ∵ ∴， 化简整理得：， 解得：， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和三角形的面积公式，熟练运用知识点是解决问题的关键 15．如图，在中，，，，D是的中点．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作的垂线交或于点Q，连接．设点P的运动时间为t秒．    (1)__________； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)连接，当是直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：如图，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，，， ∴， ∴； 如图，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，，， ∴， ∴， 综上所述：． （3）解：如图，    当时， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵动点P 的速度为每秒4个单位长度， ∴； 如图，    当时， ∵， ∴， 同理可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到相似三角形、勾股定理等，综合性较强，灵活合理的运用分类讨论思想是解题关键． ◆题型4相似三角形的判定与性质综合 16．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 17．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 18．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 19．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 【答案】 【详解】解：， ． ， ． ， ， ， ． 与等高， ． 20．如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【答案】3 【详解】解：过点E作，交于点， 在中，∵是的中点， ∴， ∵是上靠近的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型5相似三角形的实际问题 21．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 【答案】/ 【详解】解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 22．在沙滩上撑开的太阳伞如图所示，伞檐离地面的距离是，伞面撑开最宽处有，伞形成的阴影离伞脚，试问身高的小明在什么范围内不会被太阳光晒到？ 【答案】小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到 【详解】解：如图，过太阳伞的一个端点E作于F，设小明站在处时，其影子的最外端与点H重合， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明站在伞脚的右侧，离伞脚到处，不会被太阳光晒到． 23．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 24．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 25．某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．已知，且与的相似比为2：3，若的面积为4，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】C 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积比为， 设的面积为， ∵的面积为， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ） A．1 B．4 C．7 D．4或7 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， ， ∴， ∵D为BC的中点， ∴E为的中点， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵D为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为4或7， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 3．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 4．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 二、填空题 5．已知，的周长为的周长为________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 6．如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 【答案】14 【详解】解：的面积等于，的面积等于， ． ． ， ． ， ， ． ， ， ． 7．如图，矩形中，为边上的动点，当与相似时，求长． 【答案】或1或4 【详解】解：设，     ∵四边形为矩形， ， ∴当时， 即，解得； 当时， 即，解得 综上所述，的长为或1或4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质．分类讨论是解题的关键. 8．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．    (1)当时，求x的值． (2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，AP＝cm或20cm 【详解】（1）解：当时，AP：AB＝AQ：AC， ∵AP＝4x，AQ＝30－3x， ∴， 解得：x＝； （2）解：∵BA＝BC ∴， ①当△APQ∽△CQB时，有， 即：， 解得：， ∴（cm）， ②当△APQ∽△CBQ时，有， 即：， 解得：x＝5或x＝－10（舍去）， ∴PA＝4x＝20（cm）， 综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，　 　． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 【答案】(1) (2) ①如图2所示，点P即为所要找的点； ②如图3所示，点P即为所要找的点． 【详解】（1）解：图1中， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：①在网格图②中，， 如图2所示，连接，交于点P， ∵， ∴， 解得：， ∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A的对称点， 连接，交于点P， ∵， ∴， ∴点P即为所要找的点． 【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形． 10．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 11．如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设．    (1)使用的代数式表示； (2)设，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为、10或7 【详解】（1）解：如图1，   ， ． ∵， ． ，，， ，． ，， ， ． ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． ∵， ， ， ， 整理得：； （3）解：当是等腰三角形时，的长为、10或7． 解题过程如下： ，， ． ∵，， ， 当是等腰三角形时，也是等腰三角形． ①当时， 则有， ，， ， ， ， ， ； ②当时，， ， ； ③当时， 作于，如图2，   则有． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到了面积法、分类讨论的思想，有一定的难度，证到是解决第（1）小题的关键，证到，从而得到是解决第（2）小题的关键，证到，从而把是等腰三角形转化为是等腰三角形是解决第（2）小题的关键． 12．综合与实践 【活动主题】 测量学校旗杆的高度． 【测量工具】 测量标杆（尖头端可插入地面用以固定，长度可拼接）、平面镜、皮尺． 【方案设计】 某综合与实践小组利用平面镜与皮尺测量学校旗杆的高度．如图，该小组在地面上点处放置平面镜，当小组成员站在点处时，刚好能从平面镜中看到旗杆顶端的像．测得该小组成员的眼睛距离地面的高度，到平面镜的水平距离，平面镜到旗杆底部的距离，点均在同一竖直平面内，且点在同一直线上． 【问题解决】 (1)请你利用以上数据计算该校旗杆的高度． 【评价反思】 (2)请你设计其他方案计算旗杆的高度．要求：选用【测量工具】中的工具，简要说明设计方案，画出测量示意图，测量数据用等小写字母表示． 【答案】(1)该校旗杆的高度为 (2)解：设计方案：测量示意图如解图． 某时刻，该校旗杆的影子长为，在旗杆影子的一端处垂直于地面放置一根长度为的测量标杆，并测得此时测量标杆的影子长为， ∵， ∴， ， ∴． ，即． 【详解】（1）解：根据题意，得． 又， ． ． ， ． 答：该校旗杆的高度为． （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $